立体几何中的典型易错题剖析

■袁 华

立体几何中的概念多、定理多,且图形复杂,解题时需要有较强的空间想象能力,稍不注意,就会出错。下面就解题中的典型易错题进行举例剖析。

易错点1：在直线与平面平行中,忽视直线是否在平面内的情况

例1若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是( )。

A.l⊂αB.l//α

C.l⊂α或l//αD.l和α相交

错解：应选A。

错因分析：若平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。错解忽视了“平面外”这个重要条件。题中的直线l与平面α内的一条直线平行,也可能l//α。

正解：直线l与平面α内的一条直线平行,当l⊄α时,由线面平行的判定定理知,l//α,也有可能l⊂α,这时l//α。应选C。

动手实战1：下列结论错误的个数是( )。

①若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;②若直线a//平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;④如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面。

A.0 B.1

C.3 D.2

提示：若一条直线和平面内的一条直线平行,当该直线也在平面内时,那么这条直线和这个平面不平行,①错误。若直线a//平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线只有一条,②错误。一个平面内的两条直线平行于另一个平面,当这两条直线平行时,这两个平面平行或相交,③错误。如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,④正确。应选C。

易错点2：错误认为无数等于所有

例2下列命题正确的是( )。

A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直

B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行

C.各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合

D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥

错解：应选A。

错因分析：一条直线与平面内的无数条直线垂直,这里的“无数条直线”不等于“所有直线”。

正解：对于A,一条直线与平面内的任意直线垂直,则这条直线与平面垂直,而无数条直线可以是一组平行直线,A 不正确。对于B,由平行公理知,过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行,B 不正确。对于C,因为各面都是正三角形的四面体是正四面体,而正四面体的外接球球心和内切球球心重合,所以C 正确。对于D,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=CA=PA=2,PB=PC=3,显然三棱锥P-ABC的侧面都是等腰三角形,而三棱锥P-ABC不是正三棱锥,D 不正确。应选C。

动手实战2：下列命题中正确的个数是( )。

①若直线a上有无数个点不在平面α内,则a//α;②若直线a//平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都平行;③若直线a//直线b,直线b//平面α,则直线a//平面α;④若直线a//平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

A.0 B.1

C.2 D.3

提示：对于①,若直线a上有无数个点不在平面α内,则直线a可能与平面α相交,也可能与平面α平行,①错误。对于②,当直线a//平面α时,直线a与平面α内的直线平行或异面,②错误。对于③,当直线a//直线b,直线b//平面α,则直线a//平面α,或直线a在平面α内,③错误。对于④,当直线a//平面α时,则直线a与平面α无公共点,所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点,④正确。应选B。

易错点3：忽视异面直线所成角的范围

例3如图1,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=120°,E为BB′的中点,则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是( )。

图1

错解：直三棱柱ABC-A′B′C′向上方补形为直三棱柱ABC-A″B″C″,其中A′,B′,C′分别为各棱的中点,取B′B″的中点D′,可知CE//C′D′,则异面直线CE与C′A所成角即为C′D′与C′A所成角。

动手实战3：如图2,空间四边形ABCD中,AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R,且PQ=3,QR=5,PR=7,那么异面直线AC和BD所 成 的 角是( )。

图2

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

感悟与提高

设α,β为两个不同的平面,则α//β的充要条件是( )。

A.α内有无数条直线与β平行

B.α,β垂直于同一平面

C.α,β平行于同一条直线

D.α内的任何直线都与β平行

提示:α内有无数条直线与β平行,这时α与β可能相交,A 错误。α,β垂直于同一平面,这时α与β可能相交,B 错误。α,β平行于同一条直线,这时α与β可能相交,C 错误。若α内的任何直线都与β平行,则α//β,D 正确。应选D。