立体几何“动态”之折叠问题

■胥子伍

立体几何中常求一些固定不变的点、线、面的位置关系,若给静态的立体几何问题赋予“活力”,渗透了“动态”的点、线、面元素,在点、线、面运动变化的几何图形中,探寻点、线、面的位置关系或进行有关角与距离的计算,立意会更新颖、更灵活,能很好地培养同学们的空间想象能力。

一、折叠之轨迹问题

例1如图1,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE//平面SBD。

图1

则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是( )。

解：分别取CD,SC的中点M,N。

因为E是BC的中点,所以EM//BD,EN//SB。因为EM,EN⊄平面SBD,BD,SB⊂平面SBD,所以EM//平面SBD,EN//平面SBD。

又因为EM∩EN=E,EM,EN⊂平面EMN,所以平面EMN//平面SBD,所以当P在线段MN上移动时,PE⊂平面EMN,此时能保持PE//平面SBD,则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形符合选项A。应选A。

点评

变量的变化引发空间位置关系的变化,将一些变化的线与角合理转化,集中到一个平面内,则可将空间的“动态”问题转化为平面的“动态”问题,再利用平面几何知识加以解决。本题利用线面平行、面面平行,在动态问题中提炼一些不变的“静态”的量,建立“不变量”与“动点”之间的关系,从而确定动点的轨迹。

二、折叠之范围问题

例2在如图2 所示的长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点。现将△AFD沿AF折起,使平面AFD⊥平面ABCF,得到如图3所示的四棱锥。在平面ABD内过点D作DK⊥AB,垂足为K。设AK=t,则t的取值范围是_____。

图2

图3

解：过点F作FM⊥AB,交AB于点M。设FC=x,0＜x＜1,则MF=BC=1,MB=FC=x。易知AK＜AD=1。因为AB=2,所以点K一定在点M的左边,则MK=2-t-x。在Rt △ADK中,DK2=1-t2,在Rt△FMK中,FK2=1+(2-t-x)2。

点评

“动”与“静”是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,建立变量与不变量的有机统一体。本题是一个动态的翻折问题,需要同学们发现其中不变的垂直关系,从而得出相关变量间的关系,最终转化成函数的值域问题求解。

三、折叠之最值问题

例3设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为定值2a,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,如图4,则下列说法正确的是( )。

图4

A.矩形ABCD的面积有最大值

B.△APD的周长为定值

C.△APD的面积有最大值

D.线段PC有最大值

点评

一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决。

感悟与提高

已知菱形ABCD的边长为1(如图5),∠BAD=60°,对角线AC与BD交于点O。将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为θ的二面角(如图6),若θ∈[60 °,120°],则折后点O到直线AC距离的最值是( )。

图5

图6