解直角三角形在解决实际问题中的应用

黄金珠

【摘要】数学来源于生活又应用于生活，把课本知识与实际问题结合起来是理论联系实际的途径之一，是学生在课本知识学习的过程中形成应用数学意识途径之一.利用直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题，是理论联系实际的重要内容，考查了学生的抽象能力.其解题关键在于抽象出几何图形，再通过有关三角函数知识找到解决方案，列出相关的等式，最终求出答案.本文列举解直角三角形应用于解决实际问题的常见案例，分析解题思路，并对解题的一般步骤做出总结，破解其解题过程，帮助学生在运用直角三角形解决实际问题时找准切入点，从容作答.

【关键词】初中几何；三角形；解题教学

1解直角三角形在实际问题中的常见概念

1.1仰角、俯角

仰角和俯角是观察者的视线相对于观察者的水平线所形成的夹角，“上仰下俯”，即视线高于水平线所形成的角叫仰角，视线低于水平线所形成的角叫俯角，如图1.

1.2方向角

以观测点O为中心，过观测点作一条水平线（一般向右为东，向左为西）和一条铅垂线（一般向上为北，向下为南），表示南北方向的铅垂线，与观测点到目的地之间的连线所形成的夹角叫做方向角，如图2.

1.3坡角、坡度

水平面与坡面所形成的夹角α叫坡角，而坡度就是坡面的铅直高度h除以坡面的水平宽度l，如图3.

2直角三角形解实际问题的一般步骤

直角三角形解实际问题的思路一般是首先将实际问题转化为数学问题，对数学问题进行求解，得出的数学问题解即为实际问题解.因此解决实际问题的一般步骤如下：

（1）理解题干中出现的数学名称的概念和意义，比如前面提及的仰角俯角、坡角坡度等，然后根据题干的问题描述，画出对应的平面图形，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；

（2）将转化的数学问题与三角形的边和角建立联系，并运用直角三角形的边角关系，构造等式，解答问题.（对于锐角或钝角的非直角三角形，可先采用辅助线法，将它们进行分割或补充，构造出直角三角形或矩形）；

（3）寻找出与解题有关的直角三角形，并解这些三角形，最后得到答案.

3直角三角形解实际问题例题解析

3.1运用解直角三角形解决视角相关问题

例1如图4所示，某测量队为测量小区内其中一栋居民楼的高度，设该居民楼最高点为点A，测量队在居民楼附近一个小超市的楼顶D处测得A处的仰角为45°，底部B处的俯角为22°.已知小超市的高CD约为61米，请计算居民楼的高AB.（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

分析实际问题中利用三角函数求实际问题中视角的度数时应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.而已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.

解如图4所示，过点D作DF⊥AB于点F，

有四边形CDFB是矩形，

则CD=BF=61，

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠ADF=45°，

所以AF=DF，

在Rt△DFB中，

tan22°=BFDF，

所以DF=BFtan22°=610.40=152.5，

则AB=AF+BF=152.5+61=213.5≈214，

即居民楼的高约为214米.

3.2运用解直角三角形解决方向角相关问题

例2在我国的某段海岸沿线处有A、B、C三个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，且与A港口的距离为60海里.有一艘货船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C港口处，求C港口与B港口之间的距离（结果保留根号）.

分析方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程（组）来求解.

解如图5，因为B港口在A港口北偏西30°的方向上，

所以∠BAE=30°，

因为BF∥AE，

所以∠ABF=30°，

又因为∠FBC=75°，

所以∠ABC=45°，

因为∠CAE=45°，

所以∠BAC=75°，∠C=60°，

过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ADB中，∠ABD=45°，AB=60，

则BD=AD=302，

在Rt△ADC中，∠C=60°，AD=302，

则CD=106，

BC=302+106，

即该船与B港口之间的距离为（302+106）海里.

3.3运用解直角三角形解决坡角、坡度相关问题

例3如图6，某居民房的后面是一个泥土山坡，坡上面是一块平地，房子的主人为了防止山体滑坡，决定对该斜坡进行改造以减缓坡面.经专业人员的勘测，发现斜坡AB长26m，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB的坡比为12∶5.而只有当坡角不超过50°时，山体不易滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B至少向左移多少米，才能確保山体不滑坡.（tan50°=1.2）

分析解决坡角、坡度相关问题时，要看清题目，理解题意，结合坡角、坡度的定义，以及坡角与坡度的内在关系，充分使用题干提供的有关于坡角、坡度的数据，正确选择关系式解答.

解如图6，设点B沿BC向左移动至点H时，

恰好坡角∠HAD=50°，

过点H作HF⊥AD于点F，因为斜坡AB的坡比为12∶5，

设BE=12aa>0，AE=5a，

根据勾股定理得AE2+BE2=AB2，

即（5a）2+（12a）2=262，

解得a=2，

所以BE=24，AE=10，

HF=BE=24，

所以，在Rt△AFH中

tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2，

解得AF=20，BH=EF=10，

故坡顶B至少向左移10m，才能确保山体不滑坡.