学会“三会”,提升素养

2023-05-30 06:21王海军
初中生学习指导·中考版 2023年1期
关键词:三会钥匙扣网店

王海军

《义务教育数学课程标准》(2022版)明确提出,“通过义务教育阶段的数学学习,学生要逐步会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界”.在2022年的全国中考数学试题中,出现了不少考查上述“三会”的试题,充分体现了课程标准的上述理念.下面举例说明.

例2.(2022·甘肃·兰州)如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC

=3cm,BC=4cm,M为AB边上一动点,BN⊥CM,垂足为N.设A,M两点

间的距离为xcm(0≤x≤5),B,N两点间的距离为ycm(当点M和B点重合

时,B,N两点间的距离为0).

小明根据学习函数的经验,对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进

行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整.

(1)列表:下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值:

x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0

请你通过计算,补全表格:a=     ;

(2)描点、连线:在平面直角坐标系中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象(图6);

(3)探究性质:随着自变量x的不断增大,函数y的变化趋势:                   ;

(4)解决问题:当BN=2AM时,AM的长度大约是 cm.(结果保留两位小数)

分析:(1)当x=1.8时,通过观察或测量可猜想此时CM⊥AB,为此,求出AB边上的高CM',进而求出AM',判断出点M与M'重合,即可得出答案;(2)先描点,再连线,即可画出图象;(3)观察图象的增减性,直接得出结论;(4)利用表格和图象估算出AM的长度.

解:(1)如图7,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,则AC=5.过点C作

CM'⊥AB于M,∴S△ABC= AC·BC= AB·CM',∴CM'= .在Rt△ACM'中,根据勾股定理得AM'=1.8,当x=1.8时,点M与点M'重合,∴CM⊥AB,∴点M,N重合,∴a=BN=BM=3.2;(2)如图8所示;(3)由图象知,y随x的增大而减小;(4)借助表格,观察图象,可知当BN=2AM时,AM的长度大约是1.67cm.

点评:本题是用学习函数的经验来探究几何图形中两个变量间的函数关系,这里用数学的眼光观察(测量)出当x=1.8时CM⊥AB,函数图像的增减性,当BN=2AM时AM的大约长度;用数学的思维确定用重合法求BN(或BM),绘制函数图像,估算AM的长度;用数学的语言表达求a的过程,描述函数的增减性等,都体现了中考对“三会”核心素养考查的基本要求,我们要从中去感悟、体会,领会中考对“三会”核心素养考查的角度与尺度,进而进行高效备考.

例3.(2022·贵州·毕节)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价﹣进货价)

类别

价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣

进货价/(元/件) 30 25

销售价/(元/件) 45 37

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;

(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?

(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?

分析:(1)根据数量关系“第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”,构造一元一次方程组,即可获解;(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80﹣m)件B款钥匙扣,根据数量关系“总价不超过2200元”,构造关于m的一元一次不等式,解之可得m的取值范围.设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,根据总利润=每件的销售利润×销售数量,即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题;(3)设B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a﹣25)元,平均每天可售出(78﹣2a)件,根据平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润=每件的销售利润×平均每天的销售量,构造关于a的一元二次方程,求解即得结论.

解:(1)设购进A款钥匙扣x件,则购进B款钥匙扣(30-x)件,依题意得30x+25(30-x)=850,解得x=20,30-x=10.即购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件.

(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80﹣m)件B款钥匙扣,依题意得:30m+25(80﹣m)≤2200,解得:m≤40.设再次購进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,则w=(45﹣30)m+(37﹣25)(80﹣m)=3m+960.∵3>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=40时,w取得最大值,最大值=3×40+960=1080,此时80﹣m=80﹣40=40.

因此,当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1080元.

(3)设B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a﹣25)元,平均每天可售出4+2(37﹣a)=(78﹣2a)件,依题意得:(a﹣25)(78﹣2a)=90,解得:a1=30,a2=34.

因此,将销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.

点评:本题是日常生活中常见的实际问题,首先要用数学的眼光去审读,将它转化为数学问题,其次要用数学的思维去思考,构造怎样的数学模型来解决问题,这里涉及到方程、不等式和函数这三种初中数学中的重要模型;再次要用数学得语言去规范表达,设、列、解、检、答一应俱全,特别是第(3)小题中的两解均符合题意,不可偏废.

(作者单位:江苏省泰州市姜堰区励才实验学校)

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