基于波利亚解题观例析数学试题及其核心素养探究

冯亚芳　李书海

摘 要：三角函数是高中数学的重点知识和高考的热门考点。三角函数相关习题情境灵活多变，解题方法多种多样，基于波利亚解题观，结合“怎样解题表”的相关提示语，可以较高效率地进行解题。因此，本文根据波利亚解题观对高考中三角函数问题进行实例分析，就如何培养学生数学核心素养进行探索，以期帮助学生更好地掌握这一高效解题方法并深入了解相关问题，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

关键词：波利亚解题观；核心素养；怎样解题表；三角函数；高考试题；解题研究

中图分类号：G424.1  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2023）02-0079-05

1 引言

《普通高中数学课程标准（2020版）》（以下简称“课标”）中规定的课程目标之一是“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1]。处于高中学段的学生，主要的数学活动就是解决问题，而解题能力的培养是提高学生数学学习质量的前提和保障。因此，本文对数学解题研究进行系统论述，以求得出解决此类问题的一般结论。

关于数学解题研究，目前我国学者和研究人员主要集中在中学数学解题能力和教学的研究，其中研究主题主要体现为高中数学、函数、数学思想方法、应用题等，对于数学解题研究集中体现在结合相应的数学思想方法进行论述，其中较为突出的解题理论就是波利亚的解题思想。结合波利亚解题观进行数学解题，对教师而言，可以更有效地开展解题教学，从理论角度出发，上好每一节课，真正将课标的要求落到实处，促进学生的发展；对学生而言，可以更有效地掌握解题的一般思路，提高数学学习的质量，培养学生核心素养，使学生真正学会自己解决问题。

三角函数作为每年高考的必考内容，在高中数学中占有重要地位。对培养学生的逻辑推理、数学运算、数学建模素养都起到重要作用。但在实际解题过程中，学生面对此类问题往往会陷入知道公式却不会用、看到问题解题思路不清晰等困境，而数学教育家波利亚在《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律[2]。而当前，基于波利亚解题观求解函数问题且对三角函数解题的研究并不是很多。通过阅读相关文献，受学者李敏、姜文、骆万丽等人的研究启发，本文将根据波利亚解题观对高考中三角函数问题进行实例分析并就如何培养学生数学核心素养进行探索，以期帮助学生更好地掌握这一高效解题方法并深入了解相关问题[3，4]。

2 实例分析

在历年的高考题中，三角函数题难度往往并不是很大，此题对学生来说，应该是必得分的题型。但是在实际情况中，部分学生并不能做到把这些题完全解决，面对简单的已知条件，学生并不能快速有效地提取相关公式，精准找到解题思路，从而浪费大量时间，增加考试负担，影响学生水平的正常发挥。波利亚“怎样解题”表，展示了解题的四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾，将复杂的问题简单化[2]。结合具体实例，基于波利亚“怎样解题”表的相关提示语，对近两年高考三角函数的题进行分析及其拓展。

2.1 题目1

3 思考与探讨

3.1 掌握基本方法，灵活应用“怎样解题”表

“怎样解题”表为解题提供了一般思路，无论是简单还是复杂题型，都可以结合波利亚的“怎样解题”表进行解题，那么学生应当如何更好的使用呢？在前面已经结合高考三角函数的实例进行了分析。第一，要带有目的性。当拿到一个问题时，应当认真分析题目，确定目标，研究和设计解题思路；第二，要有“化繁为简”“化难为易”的意识。将待解决的问题尽可能地转化为自己熟悉、简单、易解决的问题；第三，要有创新性思维。当用常规思维或正面解决一个问题比较棘手时，克服自己思维的定式，有效利用解析法和分析法，还能从问题的反面进行思考，从而寻求新的解题思路。

3.2 基于波利亚解题观解题，发展学生核心素养

三角函数相关知识作为高考必考点，相关试题灵活多变。因此，对学生的解题能力也提出了更高的要求，基于波利亚解题观求解相关问题，有利于培养学生的数学核心素养。通过前面实例分析，将其归纳为以下几点：第一，发展学生的逻辑推理能力。在解题的过程中，按照波利亚解题观进行解题，学生零散的、不规范的解题思路逐渐变得完整和规范，解题的思维模式也逐渐变得更加科学严谨；第二，发展学生的数学抽象能力。在审题的过程中，基于波利亚解题观，可以将原本的自然语言抽象为数学语言（文字语言、符号语言、图表语言）等，在这些相互转换的过程中，学生的数学抽象能力都可以得到充分地发展；第三，发展学生的数学运算能力。在回顾这一阶段，学生回顾运算求解的过程，去感悟运算对象的多样性和运算应用的广泛性[5]，这对提升学生的数学运算能力具有重要作用。

3.3 结合“怎样解题”表相关提示语，促进素质教育

“怎样解题”表的4个步骤和程序组成了一个完善的解题教学系统[6]。数学教学离不开解题，“怎样解题”表在解题教学中的作用不可忽视，结合“怎样解题”表的相关提示语进行解题教学时，教师不是强调让学生完全遵循这个模式解决问题，而是应当灵活、创造性地使用。这样的解题教学更加注重分析解题过程和解题后的回顾，与之前那种为解题而解题、“题海战术”“熟能生巧式解题”的方式截然相反。这不仅提高数学解题教学的质量，还帮助学生在理解的基础上解题、掌握解题方法，从而领会数学思想，促进学生的可持续发展，对课堂教学有回归素质教育的现实意义。

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参考文献：

〔1〕中华人民共和国教育部.高中数学课程标准（2017版2020修订）.北京：人民教育出版社，2020.

〔2〕乔治·波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

〔3〕李敏.渗透数学思想凸显数学核心素养——以2021年高考三角函数试题为例[J].数理天地（高中版），2022，32（15）：55-57.

〔4〕姜文，骆万丽.基于波利亚解题观求解2020年高考全国Ⅰ卷第20题[J].数学教学研究，2021，40（02）：55-59.

〔5〕瞿兵.基于核心素養的数学解题模型构建[J].教育观察，2019，8（14）：15-17.

〔6〕罗增儒．数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

收稿日期：2022-09-13

通讯作者：李书海（1966-），男，内蒙古通辽人，教授，硕士生导师。研究方向：复分析及其应用，学科教学论。

基金项目：赤峰学院教育硕士专项课题（cfxyjyss12003）