矩形中线段（和）的最小值

刘家良

以矩形为载体，求线段或线段和最小值的问题，在中考试卷上多次“登场”. 现举两例简要说明此类题的基本解题思路.

一、“锁定”三角形法

将变量线段“锁定”在一个有两条边为定长的三角形中.

例1（2022·山东·泰安）如图1，四边形ABCD为矩形，AB = 3，BC = 4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM = ∠BAP，则BM的最小值为（）.

解析：如图2，取AD的中点O，连接OB，OM.

反思：由∠ADM = ∠BAP得△AMD为直角三角形，它是解题的启动点. 由动点M为直角顶点、斜边AD为定长，联想到斜边上的中线性质，取斜边AD的中点O，至此打开思维的闸门.

二、全等变换法

通过轴对称法、平移法或二者的协同，将变量线段用与之相等的线段来替换.

例2 （2022·四川·自贡）如图3，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF = 1，则GE + CF的最小值为____________.

解析：题中有两个动点E，F，怎样使这两个动点“合二为一”呢？可将两条变量线段中的一条线段通过轴对称法用与之相等的线段来替换，另一条变量线段通过平移法用与之相等的线段来替换，且使这两个动点重合.

如图4，作点G关于AB的对称点G'，

则AG' = AG，GE = G'E.

在CD上截取CC' = 1，然后连接C'G'交AB于E，

在EB上截取EF = 1，此时GE + CF的值最小.

∵CC' = EF = 1，CC'[?]EF，

∴四边形EFCC'是平行四边形，

∴EC' = CF，∴G'C' = G'E + EC' = GE + CF.

∵CD = AB = 4，AD = BC = 2，G为AD的中点，

∴DG' = AD + AG' = 2 + 1 = 3，DC' = CD - CC' = 4 - 1 = 3.

反思：通過轴对称、平移变换将变量线段用与之相等的线段替换，并使两个动点合并为一个定点，最终转化为“两点之间，线段最短”的问题，转换思想孕育其中.

变式：求四边形CGEF周长的最小值. （答案见本页）

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）