空翻旋转模型证明全等

赵红余

抚顺市第十五中学赵青丽老师的直播课“借空翻旋转全等 提演绎推理能力”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升.

赵青丽老师的直播课，从几何综合题的四种解题策略七种解题方法进行探究，运用一题多解的方式，从不同的角度寻找空翻旋转中心以证明全等，帮助同学们结合动态图形理解、总结空翻旋转的特点及其在全等证明中的重要作用.

模型识别

1.等边三角形：（1）旋转点P在等边三角形ABC的一边上，如图1，结论为△AEP ≌ △PCD，AP = DP；

（2）旋转点P在等边三角形ABC的一边的延长线上，如图2，结论为△AEP ≌ △PCD，AP = DP.

2.等腰直角三角形：（1）旋转点P在等腰直角三角形ABC的一边上，∠C = 90°，AC = BC，如图3，结论为△AEP ≌ △PBD，AP = DP；（2）旋转点P在等腰直角三角形ABC的一边的延长线上，∠C = 90°，AC = BC，如图4，结论为△AEP ≌ △PBD，AP = DP.

3.一般等腰三角形：旋转点P在等腰三角形ABC的一边上，AC = BC，如图5，结论为△AFP ≌ △PBE，AP = EP.

4.正方形：（1）旋转点P在正方形ABCD的一边上，如图6，结论为△AFP ≌ △PCE，AP = EP；（2）旋转点P在正方形ABCD的一边的延长线上，如图7，结论为△AFP ≌ △PCE，AP = EP.

典例探究

例 如图8，在等边三角形ABC中，E是BC边上的一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM = 60°，交∠ACG的平分线于点M，求线段AE与线段EM的数量关系.

学法指导1：如图9，在 BA上取一点H使AH = CE，连接EH. 利用等边三角形边长相等的特点，证明△AHE ≌ △ECM，即可得到AE = EM.

學法指导2：如图10，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，易证EM[?]CF，CM[?]EF，可得四边形MCFE为平行四边形，从而可知AE = EM.

学法指导3：如图11，作A关于BC的对称点F，连接AF，CF，EF，易证∠BCF + ∠BCA + ∠ACM = 180°，可知M，C，F三点在同一条直线上，则△MEF为等腰三角形，可得AE = EM.

分层作业

难度系数：★★★★解题时间：10分钟

如图12，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF，并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE，交DG的延长线于点H，连接BH.（1）求证：GF = GC. （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明. （答案见第27页）

〔作者单位：辽宁省实验中学（初中部）〕