在高等数学教学中融入数学建模思想

李英红

摘 要：建模是应用数学建模分析、解决实际问题的数学思想，在高等数学教学过程中融入数学建模思想，有助于学生将实际问题抽象为数学问题，锻炼学生综合运用已知数学思想和方法的能力。本文在分析学生学习实情的基础上，探讨高等数学教学过程中融入数学建模思想的意义，从在数学概念教学中渗透建模思想、创设建模背景情境、开展项目化建模探究活动、加强模型检验和修改四个方面，论述在高等数学教学过程中融入数学建模思想的策略，以供相关教育人士参考。

关键词：概念教学；建模思想；高等数学

中图分类号：G64          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2023）20-0006-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.20.002

数学建模以实际问题为依据建立数学模型，并求解数学建模，再以结果为依据解决实际问题。作为一种常见的数学教学方法，数学建模思想常被用于高等数学教学环节，能够帮助学生体验学习数学知识的乐趣，感受数学建模的魅力，简化学习数学知识的难度。因此，教师需要结合高等数学教材内容以及学生的实际学情，以建模的方式引导学生学习，并在实践练习等环节着力渗透建模概念，以便提高学生学习数学知识的能力。

一、在高等数学教学中应用数学建模思想的价值

数学是工科类大学的一门公共课，高等数学能够训练学生的思维素养，尤其是在当前素质教育的大背景下，如果依旧使用传统层面的教学模式，并不利于激发学生学习数学知识的兴趣。而通过既有的数学教学技术对数学进行建模，能够在数学理论知识与数学实际问题之间构架一座沟通的桥梁。教师可以将教学的关注点放在课后实验方面，并在教学过程中融入建模思想，通过建模的方式解决数学问题。在了解学生真实的学习情况以及分析学生的数学理论认知能力的前提下，在高等数学教学中融入数学建模思想的意义主要有以下三个方面。

（一）有利于激发学生探究高等数学的兴趣

新时期的高等数学教学追求调动学生自主学习的热情。数学建模思想具有悠久的历史，涉及的知识面非常广泛，同时建构模型的过程也极具趣味性，数学建模能够激发学生探究数学知识的自主意愿。为了便于学生学习，教师可以将涵盖数学建模内容的数学文化资料，如欧几里得几何、牛顿万有引力定律等传递给学生，促使学生接触更多数学建模的光辉典范。在研究复杂的数学问题时，教师也可以引导学生联系问题背景进行模型假设、建立和求解，促使复杂问题变得简明易懂，从而同步强化学生探究高等数学的兴趣和信心［1］。

（二）有利于培养学生综合运用数学知识技能的能力

学生迈入高等数学学习阶段之后，面对的学习内容日益艰深，非常考验学生整合运用已有知识技能的能力。数学建模从本质上来说，就是将各种知识以创意性方式相关联，以培养学生灵活运用数学知识的能力，让学生将学习的关注点从概念性内容转向解题。如在进行模型假设时，教师可以引导学生根据建模的目的和实际对象的特征，联系已有的数学知识经验简化问题，用数学符号、公式、程序、表格、图形等对数学问题作出恰当、合理的模型假设，从而发展学生综合运用数学知识的意识和能力。

（三）有利于促進学生高效解决实际问题

开展高等数学教学的根本目的是让学生在解决实际问题的过程中把各种数学知识技能学以致用，融入数学建模思想旨在简化解决实际问题的难度。即使看起来完全不同的问题，实则其内里的数学模型都是相同或相似的，在高等数学教学过程中融入数学建模思想，对促进学生高效解决实际问题大有裨益。如在高等数学教学中，教师可以根据具体的数学概念或定理引入相关的建模实例。比如，在讲授极值定理时，教师就可以借助磁盘的最大存储量、优化设计会议室等建模实例，帮助学生运用极值定理解决生活中类似的最优化问题，让学生感知建模知识的实用价值，自然能够增强学生的求知意愿［2］。

二、在高等数学教学中融入数学建模思想的策略

（一）数学建模思想与高等数学概念的关系

学习数学知识要求学生具有基本的计算能力，同时应用性强、逻辑性强、抽象性强也是高等数学的固有特点。学习高等数学知识需要从理解数学概念入手，并注意读懂题意，但是部分学生并没有读题思路，难以理解数学问题。学生要理解后续专业课程中遇到的名词、符号等，尤其是相较于初、高中时期的数学知识，高等数学知识的抽象性更强，增加了学生读题的难度。同时，学生在理解概念时更渴望了解概念在实际问题中的原型，这样学生认知数学概念的难度会降低，也能无形中体会数学知识的内在含义。所以，教师需要将建模思想与数学概念相结合，建模思想是以数学思想体现事物本质，在数学概念形成的过程中融入建模思想，让学生体验这个过程，这对帮助学生掌握数学概念、领会数学精髓大有裨益。教师可以通过学生熟悉的数学实际问题或数学模型吸引学生主动思考，然后引导学生用建模的方式探索数学概念的形成过程，从而促使学生有效运用建模思维，同时透彻理解数学概念的来龙去脉。

例如，在讲授定积分概念时，教师就可以出示有关定积分概念的建模问题引例：如何求曲边梯形的面积？提出问题的同时，教师在电子白板上展示曲边梯形的图片，学生交流之后正确列出曲边梯形的面积公式，教师继续设问引导：“能否将这个建模问题转化为一个和式的极限？”学生思考之后认为可行，并求出和式极限值，教师在电子白板上出示对应的函数图像，结合图像讲解和式极限值可以称之为函数区间上的定积分。教师出示定积分f（x）dx提问：“这个定积分在函数图像上表示什么？”学生回答：“表示x轴上方图形面积与x轴下方面积之差。”以此达到通过建模理解积分概念的目的。为了帮助学生认知概念，教师可以引入第二个学生熟悉的建模问题示例：如何求匀变速直线运动的路程？有了之前的建模铺垫，学生通过讨论很快得出结论：假设函数f（x）在区间（a，b）上有界，在（a，b）中任意插入n个分点，把（a，b）分成n个小区间，求出每个小区间的长度，将长度乘以速度就是这个问题的模型。要想得到总路程的精确值，还需要将小区间无限细化，使小区间的长度都趋于零。教师认同学生的结论之后，引导学生联系建立的模型以及对应的函数图像总结、归纳定积分的几何意义及概念，帮助学生认知函数的可积条件，进而通过数学建模理解数学概念［3］。

（二）创设与建模问题相关的实际背景情境

高等数学课程看似复杂，但是却与实际生活密切相关，很多建模问题在现实生活中都能找到应用实例，所以学生关注数学理论知识的同时，也应该重视知识的来源及其应用。融入数学建模思想单凭讲授概念是无法达成的，教师必须将建模问题与现实生活紧密联系起来，让学生通过生活原型理解建模内涵，促使学生通过实际背景寻找建模问题原型。教师还应该注意结合实际生活背景开展建模，引导学生探讨和研究背景内容，并以数学实例为依据提取数学模型，以便提高学生的数学知识总结能力，凸显数学建模的教学价值。

在创设实际背景情境时，教师应该根据课程中具体的建模问题，为学生列举现实生活中的实际例子，搭配展示一些背景资料，引导学生结合实例讨论学习，建构对应的数学模型；还可以启发学生联系自身的生活体验，列举更多的生活实例，教师再因势利导引入新课程模型，以便达到融合数学建模思想的最佳效果。如在教学导数时，导数模型从本质上来说涉及生活中的变化率问题。教师创设实际背景情境时，就可以在电子白板上展示某地一段时间内房价涨跌的折线统计图，引导学生观察折线和数据的变化，分析规律列出对应的公式，学生完成之后教师提问：“这个实例属于什么问题？”学生作答：“变化率问题。”教师再问：“请大家回顾生活经验和所学知识，指出生活中还有哪些类似的变化率模型？”学生交流之后列举：物体的自由落体运动，股票、基金在某一段时间内的涨跌情况，温室效应引起全球变暖等。借助生活问题调动学生学习的积极性，再趁热打铁引出变速直线运动的瞬时速度模型，引导学生探讨质点在时刻t0的瞬时速度。学生根据模型问题和实际背景，学习用平均变化率刻画快慢速度的建模方法。这样通过创设实际背景情境，学生就能真切体会客观世界中变化快慢不同的现象，有效吸收导数概念和建模思想［4］。

（三）组织开展项目化建模学习

教师除了以潜移默化的方式给学生渗透数学建模思想之外，还应该着重锻炼学生自主建模的能力，促使学生形成用建模思想分析和解决问题的习惯。项目化教学具有较强的自主性，是调动学生自主建模的有效方式，教师应该根据课程的知识点和学生发展建模能力的需要设计开展项目化建模探究活动，给学生发布建模项目的内容、目的和要求等，组织学生合作参与建构模型和解决问题，从而强化学生实践应用数学建模思想的能力，具体教学策略如下。

设计开展高等数学项目化建模探究活动时，教师应该根据课程要点为学生出示建模项目的问题、背景资料，促使学生掌握项目对象的各种信息，然后出具建模项目的具体要求，组织学生按照要求合作开展项目化建模探究活动，教师期间要给予必要的点拨和帮扶，促进学生顺畅完成建模项目、解决实际问题。如在教学函数最值时，教师就可以将森林救火问题作为建模项目的探究问题，在电子白板上出示对应的函数式和函数图像，同时提出建模项目的要求：请联系建模项目问题的实际背景，在函数图像上比较各函数值，找出函数闭区间的最大值和最小值，然后在函数图像上标出全部极值可疑点及其函数值，求出区间端点处的函数值，完成模型建立之后再代入函数式的具体数据，计算模型的所有参数。学生参与建模项目探究活动时应该做好建模的准备工作，以数学语言描述问题背景，学生通过讨论简化函数式、提炼函数式的闭区间之后，对闭区间的最值作出建模假设、在假设的基础上，学生求出区间端点处的函数值，并把极值可疑点和函数值添加到函数图像上。在这个环节中，教师适时提问：“大家是如何确定极值可疑点的呢？”学生作答：“比较区间端点处的函数值，其中最大的就是最大值可疑点，反之，最小的是最小值可疑点。”接着，学生按照项目要求的指示，把函数式中的数值代入函數图像模型，计算得出关于数学模型的所有参数，并用最终的计算结果解答森林救火问题。这样通过项目化的数学建模教学引导方式，能够为学生营造一个完整的数学建模过程以及解决实际问题的流程，提高数学建模思想与高等数学课程融合的效率［5］。

（四）加强引导学生检验和修改数学模型

高等数学是一门追求严谨性的学科，在数学建模的过程中，部分数学模型并不是一次成型的。由于逻辑分析和计算失误，有些数学模型会出现与实际情形不吻合的情况，需要进一步校验和修改。检验和修改模型是重要的建模思想，但是却容易被学生忽视，致使最终的解题结果出错。因此，在渗透数学建模思想时，教师必须根据具体的建模探究内容，加强引导学生检验和修改数学模型，提升数学模型的准确性和适用性，培养学生形成严谨、审慎的建模习惯。

教师应该立足具体问题和建模活动，在学生完成模型建立和模型分析之后，指导学生将模型分析结果与实际情形相对照，比较得出模型和客观实际是否吻合。如果吻合，教师需要启发学生用模型计算结果解释实际含义；如果不吻合，教师应该引导学生继续进行逻辑检验，从模型假设中找出矛盾，否定模型之后再重复建模过程，以此确保模型正确、合理和适用。

例如，在建立关于人口增长问题的模型时，教师给出一份10年的人口数据，学生通过探究建立指数模型，并结合数据资料得到指数模型的底数和幂，初步探知人口增长的函数关系。在检验指数模型正确性的环节，教师引导学生思考：这个指数模型的函数关系是否符合人口增长的实际情况？符合程度高不高？如何验证？学生交流之后反馈：从现有的人口数据来看，建立的指数模型符合实际情形。要想知道符合的程度，需要更长时间段的人口数据进行检验。教师顺势再给学生提供一份30年的人口数据，学生把数据代入指数模型进行计算，比较前后的模型计算参数，得出的误差非常小，说明该指数模型和实际情况的吻合度很高，标志着建模成功。这样通过实施模型检验练习，学生的建模思想和严谨意识就能得到进一步突破［6］。

三、结语

综上所述，为了解决数学问题，教师应该引导学生通过抽象及归纳的方式构建一个数学结构。通过建模思想简化学习数学的难度，促进学生主动思考，有效吸收数学概念，创设与建模问题相关的实际背景情境，设计项目化的建模探究活动，加强引导学生检验和修改数学模型，促使学生体会数学建模思想的实用性，提高学生的建模实践能力。

参考文献：

［1］ 古丽努尔·里瓦依丁.高等数学教学中数学建模思想的融入［J］.产业与科技论坛，2021（18）：192.

［2］ 王慧，安然.数学建模思想在高等数学教学改革中的融入与应用［J］.内江科技，2019（7）：150.

［3］ 秦素平.在高等数学教学中融入数学建模思想的探讨［J］.智库时代，2018（46）：215.

［4］ 陈富媛.高等数学教学中融入数学建模思想初探［J］.现代职业教育，2018（4）：38.

［5］ 孙文兵.数学建模思想融入高等数学教学中的实施策略［J］.考试周刊，2016（64）：52.

［6］ 刘君.在高等数学教学中融入数学建模思想的探讨［J］.科技视界，2016（5）：89.

［责任编辑 李永伟］