一类半线性分数阶发展包含初值问题解的存在性

杨慧慧,杨 和

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

0 引 言

由于Banach空间中的半线性发展包含理论具有广泛的实际应用背景而受到人们的关注,许多工程问题可以用发展包含来描述。近年来,半线性发展包含初值问题解的存在性被许多学者所研究[1]。2007年,Fan等去掉了发展系统的紧性和等度连续性,通过定义新的非紧性测度证明了一阶半线性发展包含

mild解的存在性结果[2]。

分数阶微分方程在物理学、生物学、力学和工程等领域应用广泛,进而引起众多学者的关注[3-8]。分数阶发展包含和分数阶发展方程初值问题解的存在性也成为热点问题。2009年,Muslim利用解析半群理论研究了Banach空间E中半线性分数阶发展方程初值问题

受上述文献的启发,本文研究具有非紧非等度连续半群的半线性分数阶发展包含初值问题

(1)

局部mild解、饱和mild解和整体mild解的存在性,其中-A生成Banach空间E中一致有界的C0半群{T(t)}t≥0,F是多值映射。

本文在-A生成的C0半群既非紧又非等度连续的情况下,利用新的非紧性测度方法得出解算子是紧算子,并且运用Schauder不动点定理证明半线性分数阶发展包含局部mild解、饱和mild解以及整体mild解的存在性。

1 预备知识

Pb(E)={H∈P(H)|H是有界的}

Pk(E)={H∈P(H)|H是紧的}

Pv(E)={H∈P(H)|H是凸的}

Pkv(E)={H∈P(H)|H是紧凸的}

定义1.1[1]设E为Banach空间,(A,≥)为部分有序集。如果映射Φ：Pb(E)→A满足：对∀ Ω⊆Pb(E),有

一般地,非紧性测度Φ具有以下性质：

(1) 单调性：对E中所有有界子集Ω1,Ω2,有

Ω1⊆Ω2⟹Φ(Ω1)≤Φ(Ω2)

(2) 非奇异性：对每个a∈E,Ω⊆Pb(E),有

Φ({a}∪Ω)=Φ(Ω)

(3) 正则性：Φ(Ω)=0⟺Ω在E中相对紧。

作为非紧性测度的典型例子,考虑Hausdorff非紧性测度：

χ(Ω)=inf{ε>0：Ω有一个有限ε-网}

设Ω⊆Pb(C(I,E)),定义

其中Δ(Ω)表示Ω的所有可数子集,D(t)={u(t)|u∈D}。由Hausdorff非紧性测度的定义易知,α有定义且是单调的、非奇异的非紧性测度。再定义

其中

则β有定义且是单调的、非奇异的。现在定义

H(Ω)=α(Ω)+β(Ω)

引理1.1H是C(I,E)上的单调的、非奇异的、正则的非紧性测度。

证明先证明单调性。对∀Ω1,Ω2⊆Pb(C(I,E)),因为

α(Ω1)≤α( Ω2),β(Ω1)≤β( Ω2)

所以

H(Ω1)≤H( Ω2)

即H是单调的。

再证明非奇异性。对∀f∈C(I,E),Ω⊆Pb(C(I,E)),由于

α({f}∪Ω)=α(Ω),β({f}∪Ω)=β(Ω)

且

H({f}∪Ω)=α({f}∪Ω)+β({f}∪Ω)

故

H({f}∪Ω)=α(Ω)+β(Ω)

即H是非奇异的。

最后证明正则性。充分性：若Ω⊆C(I,E)相对紧,则由Arzela-Ascoli定理可知α(Ω)=0,modc(Ω)=0,故β(Ω)=0。

必要性：设H(Ω)=0,则由非紧性测度的非负性可得α(Ω)=0,β(Ω)=0。下证Ω是等度连续的。

由于

其中D∈Δ(Ω),对上式关于n→∞取极限,可得

=β(Ω)

所以0<ε0≤0,得出矛盾。故Ω⊆C(I,E),等度连续。

定义1.2[1]设,是两个拓扑空间。

定义1.3[9-10]函数u：[0,∞)→R的q阶Riemann-Liouville分数阶积分可定义为

其中Γ(·)是Gamma函数。

定义1.4[9-10]函数u：[0,+∞)→R的q阶Caputo分数阶导数可定义为

其中0≤n-1

注1如果u是一个抽象函数,则定义1.3和1.4中出现的积分是在Bochner意义下的。

对∀t0≥0,先考虑线性发展方程初值问题

(2)

引理1.2[4]设h∈L1([t0,b],E)。线性发展方程初值问题(2)有唯一mild解u∈C([t0,b],E),且u可表示为

其中

函数hq(s)具有如下性质：

hq(s)≥0,s∈(0,∞)

且

引理1.3[9]算子Tq(t)(t≥0)和Sq(t)(t≥0)有下列性质：

(1)对∀t≥0,Tq(t)和Sq(t)是线性有界算子,即对u∈E,有

(2)Tq(t)(t≥0)和Sq(t)(t≥0)均是强连续的。

则对∀t∈I,有

引理1.5[2]设E为实可分的Banach空间,K为C(I,E)中的紧子集,O：K→P(L1(I,E))是非空下半连续且可分解的闭值映射。则至少存在一个连续函数p：K→L1(I,E),使得对∀u∈K,p(u)∈O(u)。

‖lm‖1≤‖l‖r‖m‖p

引理1.7(Gronwall不等式)[12]设c≥0,β>0,a(t)是区间0≤t

则

u(t)≤a(t)Eβ(cΓ(β)tβ),t∈[0,T)

其中

在本文中,引入以下假设条件：

(F1)-A是一致有界C0半群{T(t)}t≥0的无穷小生成元,即存在M≥1,使得‖T(t)‖≤M,t≥0。

(F2)F：I×E→P(E)是闭值可测多值映射,使得对∀t∈I,F(t,·)是下半连续的。

(F3)对任意非空有界子集B⊂E,存在函数μB∈L2(I,R+),使得对x∈B,有

‖F(t,x)‖≤μB(t),t∈I

(F4)存在函数l∈L2(I,R+),使得对任意可数子集D⊂E以及几乎所有的t∈I,有

χ(F(t,D))≤l(t)χ(D)

其中χ是Hausdorff非紧性测度。

由引理1.5和条件(F2)、(F3)可得,对任意的连续函数x∈C(I,E),F(·,x(·))有积分选择f∈L1(I,E)。记

2 局部mild解

本节考虑具有非紧半群的半线性发展包含的初值问题

(3)

mild解的存在性,其中t0≥0,x0∈E,f(t)∈F(t,u(t))。

定义2.1[4]若函数u∈C(I′,E)满足积分方程

则称其为半线性发展包含初值问题(3)的mild解。

定理2.1设E为实可分的Banach空间,若条件(F1)～(F4)成立。则存在h1>0,使得初值问题(3)至少有一个mild解。

证明令

(4)

(5)

考虑闭集

W0={φ∈C(I′,E)：‖φ(t)‖≤b,t∈I′}

则W0是C(I′,E)的有界闭凸子集。定义积分多值算子Ψ(x)：W0→Pb(C(I′,E))如下

其中

(6)

由定义2.1可知,初值问题(3)的mild解等价于算子Ψ的不动点。下面用Schauder不动点定理证明Ψ至少有一个不动点。证明分以下三步：

第一步,证明Ψ(x)：W0→W0。

设x∈W0,对∀φ∈Ψ(x),有

所以,由引理1.3(1)、式(4)和式(6)可得

≤b

故对任意的t∈I′,有φ∈W0,即Ψ(x)：W0→W0。

第二步,证明积分算子Ψ将W0中的非空凸紧集W映入W。

(7)

由式(7)和引理1.4可得

(8)

式(8)右端关于s∈I′取上确界,可得

再由式(5)可得

即

α(Ψ(W0))≤α(W0)k

定义

则W1是C(I′,E)的非空闭凸子集,且

Ψ(W1)⊆Ψ(W0)⊆W1

同理,可得

α(Ψ(W1))≤α(W1)k≤α(W0)k2

定义

则W2是C(I′,E)的非空闭凸子集,且

W2⊆W1⊆W0

α(Ψ(W2))≤α(W0)k3

α(Ψ(Wn))≤α(W0)kn+1

由于

α(Wn)≤α(W0)kn,0

因此

α(Wn)→0,n→+∞

由α的定义可得,对任意的可数子集Dn⊆Wn,一致地在t∈I′上有

χ(Dn(t))→0,n→+∞

(9)

(10)

(11)

≤εn

由式(10)和χ的定义,存在vi∈E,1≤i≤κ,使得

(12)

(13)

(14)

‖Tq(t1-t0)vi-Tq(t2-t0)vi‖≤εn,i=1,2,…,j

(15)

‖φ(t1)-φ(t2)‖≤‖Tq(t1-t0)x0-Tq(t1-t0)vi‖+‖Tq(t2-t0)x0-Tq(t2-t0)vi‖

即

因此,由H的定义可得

第三步,证明半线性初值问题(3)存在mild解。

定义O：W→P(L1(I′,E))如下：

因此S∘p：W→W是单值映射且S∘p(x)∈Ψ(x),x∈W。其中S为初值x0的mild解算子。由Schauder不动点定理,至少存在S∘p的一个不动点,即

是系统(3)的mild解。

3 饱和mild解和整体mild解

定理3.1假设定理2.1的条件满足,则初值问题(1)存在mild解u定义在最大存在区间[0,T0)(T0<∞)上,且u是无界的。

证明由定理2.1,得到局部mild解u*∈C(I′,E)。当t0=0时,可得到初值问题(1)的局部mild解u1∈C([0,h1],E),即对∀t∈[0,h1],

(16)

所以可以考虑以下问题：

可得到局部mild解u2∈C((h1,h2],E),即对∀t∈(h1,h2],有

(17)

设

u(1)(t)=u1(t),∀t∈[0,h1]

因此,结合上式以及式(16)和式(17)可得,对∀t∈[0,h2],有

即u(2)是初值问题(1)在[0,h2]上的mild解。如此进行下去,可以得到对∀t∈[0,hn],有

u(n)(t)=Tq(t-hn-1)Tq(hn-1-hn-2)…Tq(h1)u0

=Tq(t-hn-1)Tq(hn-1-hn-2)…Tq(h1)u0

其中fk(s)∈F(s,uk(s)),n∈。

反设u定义在[0,T0)上且有界,则u是每个区间[0,b](0

对任意的ε>0,存在δ1,使得当t∈[T0-δ1,T0)时,有

(18)

且

(19)

‖Tq(tn-(T0-δ1))u(T0-δ1)-Tq(tm-(T0-δ1))u(T0-δ1)‖≤ε

(20)

故由式(18)～式(20)得

‖u(tn)-u(tm)‖≤‖Tq(tn-(T0-δ1))u(T0-δ1)-Tq(tm-(T0-δ1))u(T0-δ1)‖

定理3.2设E为实可分的Banach空间,假设条件(F1)、(F2)和(F4)成立,且满足

(F′3)存在一个单调递增函数a∈C(J,E),使得对每个u∈E,有

‖F(t,u)‖≤a(t)(1+‖u‖),t≥0

那么对每个u0∈E,初值问题(1)有整体mild解u∈C(J,E)。

证明由定理3.1可知初值问题(1)在最大存在区间[0,T0)(T0<∞)上有饱和mild解u,且u是无界的。若u有界,则初值问题(1)存在整体mild解。因此,只需证对任意的t∈[0,T0),u(t)有界。

对∀t∈[0,T0),有

由(F′3)可得

‖u(t)‖≤C1Eβ(C2Γ(q)tq)

因此,对∀t∈[0,T0),u(t)是有界的。

4 应 用

例考虑下列分数阶微分包含

(21)

取E=L2[0,1],其范数为‖·‖2。设

定义E的算子A：

(P2)存在函数l∈L2([0,+∞),R+),使得对任意可数子集D⊂E以及几乎所有的t≥0,有

(P3)存在一个单调递增函数a∈C([0,+∞),E),使得对每个u∈E,有

则条件(F2)、(F4)和(F′3)分别成立。因此,由定理3.2可知,初值问题(21)存在整体mild解。