纲举目张明理念标本兼顾出好课*——“直线的倾斜角与斜率”教学设计及思考

何建东 厉丰群 沈海全|浙江省绍兴市越州中学

遵循以立德树人为核心的育人理念，高中数学教学理应实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.在高中数学教学设计与实践中，教师要重视课堂情境的合理设置、数学素养的发展培养、数学本质的揭示渗透及教学过程的和谐互动，以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）为教学行动之“纲”，以教材为教学行动之“本”，既凸显新课程改革鲜明理念之“目”，又紧抓新教学发展关键之“标”，借教学行动研究之力，出数学教学好课之果.

笔者所在学校的“教学行动研究小组”将新课程、新教材和新高考（以下简称“三新”）下的数学教学研究作为行动内容，注重研讨并实践以“特色鲜明的教学设计、科学严谨的教学组织、清新自然的教学仪态、娓娓道来的教学风格、和谐融洽的教学氛围”为核心特点的课堂教学，取得了一系列优异的教学教研成果.下面，笔者以一节绍兴市高中数学优质课“直线的倾斜角与斜率”（人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第一册第二章第1节）为例，阐述优质课堂教学的设计及思考.

一、把握教学本质，设计有效活动

学科教学关键在课堂，要把握教学本质，教师就需要组织学生开展有目的、有计划的有效学习活动.

教学本身是一个关联两个以上对象的系统性实践活动，需要教师与学生双方深度参与，且一直在不断动态变化、交往实践.学科教学的本质是一种学习的活动，关键在学而不是教，其活动主体是学生.课堂中如果没有学生真正的学习活动，或只有教师讲而没有学生听，或学生听了却不懂，这些都不是真正的教学.只有在教师的科学组织下，学生达成了有效的学习，这才是真正的教学.课堂教学更是一种特殊的学习活动，它有着很强的指向性，需要教师组织实施既包括讲解、评析、辅导，也包括展示、演绎，还包括释疑、评价等活动，让学生的学习活动可以真正进行，最终收到切实可见的成效.

把教学活动的关注点从“教师的教”转向“学生的学——有效学习活动”后，教师才算把握了课堂教学的本质.在这一基础上，我们再去评价课堂教学的质量，其根本点就是学生是否在课堂中进行了积极有效的学习活动.这与新课程理念所倡导的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）相吻合.

二、契合好课特征，实施优质教学

当前，基础教育正在“三新”背景下开启新一轮改革实践，鼓励教师深入透彻地理解《课程标准》，细致全面地研读教材，在“纲举目张，标本兼顾”的基础上，充分发挥自身的个性与潜能，使教学行为富有个性和特色.一个好的高中数学教学设计应当具有确定明晰的教学内容，进行科学的教学预设，创建和谐的教学氛围，采取多样的教学形式，组织有效的教学活动，进而促成学生的有效学习.

（一）精心研究教材，匠心设计教案

《课程标准》指出，数学教学应围绕核心素养的落实，精选、重组教学内容，明确教学要求，设计教学方案.教师要根据教学环境和学生实际，结合自己对数学内容本质和教材编写意图的深度理解，进行科学精到的处理，设计独具匠心的教案，以保证教学活动的有效和生动.

在这节课中，考虑到“直线的倾斜角与斜率”是高中解析几何内容的起始课，执教者设计了一个有趣的拼图游戏“为什么缺了一块”，组织开展活动“为什么用同样的几块几何形状拼图，第二种拼图方案比第一种方案‘少一块’”（如图1所示），从而引发学生认知活动的矛盾冲突，由此揭示：需要用更加入微的数学眼光来研究和思考这个几何问题.这也是该章要学习的一个新的数学分支——解析几何，要求学生能用更加精准的数学语言来表达这个问题.

图1 用同样的几块几何形状拼图（不同方案）

特质评析：这一情境贯穿整节课的始终，是教学设计的一大亮点.既激起学生的好奇心与认知冲突，也紧扣解析几何学习“从形到数再到形”“以入微的视角与方式分析解决直观的几何问题”的必要性，为后续学习、掌握直线的倾斜角与斜率内容之后，从解析的角度进行回答提供素材，同时为课堂小结时回到《课程标准》中提出的“三会”（用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界）观点，使课堂教学前后呼应作铺垫.

紧接着，执教者设计了一个环环相扣的教学环节“思维问题—思想方法—思路途径”，层层递进，使学习得以徐徐展开.

【思维问题】解析几何到底是一门怎样的学科？它经历了怎样的发展历程？本章要学哪些内容？按怎样的路径展开？（引导学生阅读章引言，给出回答）

【思想方法】借助平面直角坐标系，把几何基本元素（点）与代数基本对象（数、有序数对或数组）对应，进而建立曲线的方程（点的轨迹），将几何问题转化为代数问题，然后通过代数方法来研究几何图形的性质.

【思路途径】以平面直角坐标系为工具，确定曲线的基本元素及基本关系、建立曲线的方程、通过方程研究曲线的有关问题.

（二）贯彻课程理念，生成流畅过程

学生的数学学科核心素养是一种逐渐养成的思维习惯和思想，是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考及与他人交流，最终自己“悟”出来并不断发展的.因此，在数学教学活动中，教师把握数学内容的本质、切实贯彻课程理念，设计并生成流畅自然的教学过程，显得特别重要.教师必须明白学生已有的知识基础，明晰课堂需要的教学目标，明了教学过程的环节设置.

为此，执教者组织实施了六个教学环节“阅读引言，先行组织”“探索要素，揭示课题”“推导公式，体会本质”“学以致用，解决问题”“课堂小结，形成结构”“目标检测，作业布置”，并适时适切地设计了一系列的“问题—追问—探究—追问—例题—变式”，把整个教学内容串联起来，使其成为系统.举例如下.

【问题】确定一条直线的几何要素是什么？

【追问1】“两点确定一条直线”是个几何公理，不需要借助于平面直角坐标系，但我们要利用平面直角坐标系给直线“定位”，那么平面直角坐标系的定位功能如何体现？

【追问2】请大家思考，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，……，它们组成一个直线束，如何利用坐标轴把这些直线区别出来？

【追问3】如何用数学的方法刻画“直线相对于x轴的倾斜程度”？

【追问4】你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？

【探究】在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.（教材第52页）

（1）已知直线l经过O（0，0）那么α与O，P的坐标有什么关系？

（2）类似地，如果直线l经过点P1（-1，1），，α与P1，P2的坐标又有什么关系？

（3）一般地，如果直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？

【追问1】当直线P1P2与x轴平行或者重合时，上述式子还成立吗？为什么？

【追问2】我们知道，直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？

【例题】已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

【变式1】设D（m，0），若过A，D两点的直线l的倾斜角为60°，求m的值.

【变式2】经过点A作直线l，若直线l与连接B，C两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

特质评析：这一链式设计不仅流畅自然、丝丝入扣、环环相套，而且充分彰显了新课程新教材的理念，紧紧抓住解析几何的本质，基本思想是“首先需要把图形问题转化成代数形式，然后用代数方法算出结果，最后把算出来的结果再转化成几何形式”.这两次转化的桥梁就是笛卡尔提出的两个基本观点“用坐标表示点，用方程表示曲线”.解析几何主要有两大任务“根据曲线的几何条件，把它的代数形式表示出来；通过曲线的方程来讨论它的几何性质”［1］.

（三）激活学生兴趣，创建和谐课堂

课堂是教学的主阵地，也是教学活动中教师与学生互动生成的场所.学科教学设计无论创设了多少预见的成分，最终都落脚于数学课堂.一节优质高效的数学课，需要教师想方设法去激活学生的数学学习兴趣，同时充分组织创建和谐有序的课堂氛围.

执教者为了能够在课堂教学过程中调动学生的听课积极性和教学参与度，设计了自主思考、课堂板演、小组讨论、解答投屏、问答交流、画图展示等丰富多彩的教学方式.举例如下.

【问题】确定一条直线的几何要素是什么？

［师生活动］学生独立思考作答.

【追问】你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？

［师生活动］教师演示直线l从与x轴平行或重合时开始绕直线上一个点旋转的过程，让学生直观感受直线的倾斜角的变化范围是0°≤α＜180°，然后采取边问边答的方式使学生明确这一判断.

【探究】在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.已知直线l经过O（0，0）那么α与O，P的坐标有什么关系？

［师生活动］学生在平面直角坐标系中画出点O，P及直线l，先进行独立思考，然后在学习小组内交流；与此同时，教师巡视察看指导，让学生将自己的想法在全班交流，或者通过投屏展示分享，适当时候可以对倾斜角进行分类讨论.

特质评析：专家指出，“三新”背景下的课堂教学设计与实施，都需要较为明显地体现在课堂的主体——学生身上.教师应重点关注学生的三种学习状态：参与状态、交流状态、达成状态.从这个角度讲，教师要以优质教学设计的标准为追求，在课堂教学的全过程，充分引导学生积极主动参与教学活动，组织生成形式丰富的活动，达成良好可见的教学效果.

（四）展现综合素质，追求课堂效果

“三新”背景下的高中数学课堂教学对教师提出了更高的要求，从深入领会课程理念，到全面研读教材内容，再到设计实施教学流程，都凝聚着教师的综合素质.在数学课堂教学过程中，教师更应努力追求良好的课堂效果，使课前预设服务并服从于学生数学学科核心素养的发展与数学教学任务的达成.

在这节课中，执教者规范自身的教学行为，如利用三角尺规范地画图，利用投影笔舒服地示范动作，面向全体学生投以亲切关怀的眼神，穿着得体清新的服装等，这就充分展示了其注重细节、尊重学生、尊重课堂的个人素质修养.

例如，执教者特别设计了一个环节，围绕“探索直角坐标系中确定直线位置的几何要素”这一任务，以发挥直角坐标系的定位功能为思维导向，通过问题引导学生开展探究活动.

第一步，明确直角坐标系的定位功能体现在原点为“基准点”、坐标轴为“基准方向”.

第二步，以公共点在x轴上的直线束为特例，探究利用坐标轴把这些直线区分开来的几何条件，实现从“倾斜程度”（定性）到“倾斜角”（定量）的过渡.

第三步，推广到一般，得出倾斜角的定义及倾斜角的范围.

第四步，总结提升，让学生明确用x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角定量刻画直线的方向，这个角是存在的、确定的、唯一的.

这一过程是一种极为自然融洽的教学双向活动，可以让学生情不自禁地置身其中，享受数学与数学教学.

特质评析：一个好的教学设计要通过一个好的课堂实施得以落实与显化.教师如果能够在课堂教学中充分展现自己的综合素质，即教态、语言、板书、应变等，让学生切身感受教育教学的魅力，听课就会成为学生享受知识的过程，由此，教师对于良好课堂教学的预期就必定可以很好地达成.一名优秀的教师总是能去努力抓住学生的心理，用富有吸引力的语言、创新的表达形式，充分调动学生的积极性和求知欲，使学生能充分利用短暂的课堂学习，学到知识，学到方法，开启思维［2］.

（五）设计系列问题，拓展数学思维

基于核心素养的教学，要特别重视情境的创设和问题的提出，注重思维训练的数学教学尤其如此.设计情境和提出问题的目的是启发学生思考，因此教师要引导学生通过解决课堂教学中的系列问题，拓展数学思维，发展数学学科核心素养.

执教者不仅重视在课堂上充分借用问题链把教学过程串联起来，集点成线，织线成网，把知识内容构建成系统的体系，而且重视在课堂小结时，调动学生的主观能动性，引导其积极表达课堂学习体会，并设计如下具有课堂延伸性的课外提问.

通过本节课的学习，同学们获得了哪些数学知识？在获得知识的过程中，你们感悟了哪些数学思想？得到了哪些人生启示？

这为执教者引导学生借用“三会”观点给课堂作结提供了衔接呼应.其设计意图如下.

将该节主要内容“倾斜角”代数化为“斜率”：第一步，数形结合与转化，这是解析几何的根本思想；第二步，由“两个点确定一条直线”而断定倾斜角可以用两点的坐标来表示；第三步，由倾斜角刻画了直线的方向，从而联想到直线的方向向量，并建立倾斜角与方向向量、三角函数之间的联系.这能反映数学的整体性、联系性.以“一个对象的不同表示方式之间一定有内在联系，可以相互转化”的思想指引思考的方向.这些思想、观念蕴含于斜率概念的形成过程中，通过小结将它们揭示出来，有利于学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验，对理性思维的发展也很有好处.而在推导斜率计算公式时，学生需要运用从特殊到一般、分类讨论、数形结合、联系与转化等数学思想方法，这也能助推学生数学学科核心素养的发展.

最后，执教者以一幅展现解析几何思想的框架图（如图2所示）结尾.

图2 解析几何思想框架

特质评析：数学学科相当重视数学思想和思维.教师需要精心研究、挑选并确定课堂例题、课堂提问和课后习题，以确保训练的有效性.在数学课堂教学中，教师还要努力提高思维层次和深度，要从提高问题的“含金量”入手.教师的每一个设计、每一堂课，都要设法提供给学生一系列有思考价值的问题，通过对这些问题的分析、研究、解决、反思来提升和发展学生的数学学科核心素养.