怎样判定三角形相似

李贤

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广应用.判定三角形相似的方法较多，但由于有些题目的图形中三角形较多，没有掌握方法的同学往往会感到无从下手.实际上，我们只要掌握了相似三角形的常见模型，就可以从复杂的图形中轻松找到相似的三角形.下面对判定三角形相似的常见模型和方法进行说明.

一、由平行判断两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图1所示，因为 DE ∥ BC，所以△ADE ∽△ABC.图1是判定方法所涉及的幾种基本类型，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形来判定相似.

例1

解：

二、由三边的对应比判定三角形相似

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似. 结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3所示，在△ABC和△A′B′C′中，如果 ABA′B′ = BCB′C′ = CACA′ ，那么△ABC ∽△A′B′C′.由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.

例2

三、由两边和夹角判定三角形相似

如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说，两对应边成等比例且夹角相等的两个三角形相似. 结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A′B′C′中，如果ABA′B′ = CACA′，∠A = ∠A′， 那么△ABC ∽△A′B′C′.在利用两边及一角判定相似时，应注意这个角必须是两边的夹角，而不是其他的角.

例 3 如图 5，在 4×4 的正方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

（1）∠ABC=_____，BC=_____;

（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.

解：

四、由两角对应相等判定三角形相似

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简单地说：两角对应相等，两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A =∠A′，∠B =∠B′，那么△ABC ∽△A′B′C′.由两个角判定三角形形相似的方法是所有方法中最常见的方法，运用的关键是找准对应角.一般地公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，解题时应注意挖掘题中的隐含条件.

例4如图6，已知△PMN 是等边三角形，∠APB =120°，求证：AM?PB = PN?AP .

证明：

以上四种判定三角形相似的方法，在具体应用时要弄清题目中的条件，这样才能选择适当的判定方法，正确、简便、快速地识别两个三角形相似.

上期《<平面直角坐标系>巩固练习》参考答案