例谈二次函数图象的三种变换

吴越

平移、轴对称、旋转是图形变换的三种基本形式.二次函数的图象也有这三种变换形式.二次函数的图象经过平移、对称与旋转变换后，图象的位置会发生变化，从而也会引起解析式的变化.那么如何求图象变换后函数的解析式呢？由于函数图象是由点构成的，函数图象位置的变化实质上就是图象上点的位置的变化，而坐标决定点的位置，因此求图象变换后的二次函数的解析式，只要求出变换后的图象的某些点的坐标即可.

一、平移变换

抛物线的平移实质就是顶点的平移，二次项的系数不会改变，所以解题时先利用配方法将解析式化成顶点式，确定其顶点坐标，然后作出二次函数的图象进行平移，平移的变化规律可以归纳为以下几种：

1.上下平移

当抛物线 y =a（x - b）2+c 往下平移 k 个单位后（k >0），所得的抛物线的解析式为 y =a（x -b）2+c -k；当抛物线 y =a（x - b）2+c 往上平移 k个单位后（k >0），所得的抛物线的解析式为y =a（x - b）2+c +k.

2.左右平移

当抛物线 y =a（x - b）2+c 向右平移 k 个单位后（k >0），所得的抛物线的解析式为 y =a（x -b -k）2+c；当抛物线 y =a（x - b）2+c 向左平移 k个单位后（k >0），所得的抛物线的解析式为y =a（x - b +k）2+c.

例1将抛物线 y =-x2向左平移一个单位，接着再将其向上平移3个单位，最终可得到的二次函数解析式为（   ）.

A. y =-（x +1）2+3  B. y =-（x -1）2+3

C. y =-（x +1）2-3  D. y =（x -1）2+3

解析：首先将抛物线y =-x2向左平移1个单位得到解析式 y =-（x +1）2，然后再将其向上平移3个单位后得到解析式y =-（x +1）2+3，因此本题正确答案为A项.

例2

解析：

二、对称变换

二次函数图象的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、顶点对称、任意点对称五类.对称变换后抛物线的解析式随对称中心的不同而不同，可以用一般式或顶点式表达：

1.关于 x 轴对称

y = ax2 + bx + c 关于 x 轴对称的函数解析式是 y = - ax2 - bx - c；

y = a（x - h）2 +k 关于 x 轴对称的函数解析式是 y = - a（x - h）2 - k；

2.关于 y 轴对称

y = ax2 + bx + c 关于 y 轴对称的函数解析式是 y = ax2 - bx + c；

y = a（x - h）2 + k 关于 y 轴对称的函数解析式是 y = a（x + h）2 + k；

3.关于原点对称

y = ax2 + bx + c 关于原点对称的函数解析式是 y = - ax2 + bx - c；

y = a（x - h）2 +k 关于原点对称的函数解析式是 y = - a（x + h）2 -k；

4.关于顶点对称

y =ax2+ bx +c 关于顶点对称的函数解析式是 y =ax2- bx +c -；

y =a（x -h）2+k 关于顶点对称的函数解析式是 y =-a（x -h）2+k；

5.关于任意点对称

y =a（x -h）2+k 关于任意点（m，n）对称的函数解析式是 y =-a（x +h -2m）2+2n +k

例3在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2-4x +5与y 轴相交于点 C ，则该抛物线关于点 C 对称的抛物线的表达式为（  ） .

A. y =-x2-4x +5 B. y =x2+4x +5

C. y =-x2+4x -5 D. y =-x2-4x -5

解析：先求出C 點坐标，当 x =0时，y =5，所以 C 点坐标为（0，5），设新抛物线上的点的坐标为（x，y），因为原抛物线与新抛物线关于点 C 对称，由2×0-x =-x，2×5-y =10-y，所以对应的原抛物线上点的坐标是（-x， 10-y），代入原抛物线解析式可得：10-y =（-x）2-4×（-x）+5，得出 y =-x2-4x +5，故选 A项．

例4  求抛物线 y =-x +2x +3关于原点 O 对称的抛物线的解析式.

解析：因为点P（1，4）关于原点 O 的对称点为 P（-1，-4），而且抛物线 y =-x2+2x +3关于原点 O 对称的过程中开口方向由向下变为向上，所以所求抛物线的解析式为 y =（x +1）2-4，即 y =x2+2x -3.

三、旋转变换

二次函数图象的旋转问题由于受限于函数这一前提，故只能将二次函数图象旋转180°.抛物线绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点（- m，k）关于原点的对称点为（m，-k），所以抛物线 y =a（x + m）2+k 绕原点旋转180°后所得的抛物线为 y =-a（x - m）2-k.图象旋转后形状不变，开口方向和顶点坐标均改变.若抛物线绕顶点旋转180°，则抛物线的形状、顶点坐标不变，只是改变了抛物线的开口方向.故只需将原抛物线的解析式配成顶点式，然后改变“ a ”的符号即可.

例5当二次函数解析式 y =x2-2x +3绕原点旋转180°，最终所呈现出的函数图象解析式是__________.

解析：将抛物线 y =x2-2x +3化简成 y =（x -1）2+2，可以得出顶点坐标是（1，2），将此点围绕原点旋转180°之后可以获得新的顶点坐标（-1，-2），因此本题所求的二次函数图象的解析式是 y =-（x +1）2-2.

例6在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线 y =x2+5x +6，则原抛物线的解析式是（  ） .

A. y =-（x -）2-  B. y =-（x +）2-

C. y =-（x -）2-  D. y =-（x +）2+

解析：可先求出绕原点旋转180°的抛物线的解析式，再求出向下平移3个单位长度的解析式.因为抛物线的解析式为 y =x2+5x +6，所以绕原点旋转180°变为 y =-x2+5x -6，即y =-（x -）2+ ，然后向下平移3个单位长度的解析式为y =-（x -）2+ -3=-（x -）2-．故选 A项．

以二次函数为背景的几何图形的变换问题是近年来各地中考的热点问题.解答此类问题时，要抓住函数图象变换中变与不变的因素，理清点的坐标变化、函数图象变化、函数解析式变化之间的关系，从而找到解题的突破口，提升解答函数问题的能力.