说说待定系数法在解题中的妙用

柏艳艳

待定系数法是一种求未知数的重要方法.一般来说，用待定系数法解题时，问题的结论是未知的，但结论的结构是具有某种确定的形式的，因此，我们可以根据问题的固有特征，引入一些待定的系数来表示所求结果的形式，然后通过变形与比较，建立含有待定字母系数的方程（组），解这个方程（组），求出待定字母系数的值，就可以使问题获解.待定系数法在因式分解、解方程以及求函数解析式中都有着广泛应用.

一、運用待定系数法分解因式

运用待定系数法分解因式时，首先根据已知条件，假设原式是由若干个因式的连乘积组成，然后用字母表示这些因式中待定的系数，最后根据因式连乘积的展开式和原式系数恒等，建立关于待定系数的方程或方程组，通过解方程或方程组便可求出待定的系数的取值.

例1分解因式：6x2-5xy -6y2+13x +4y +6.

解：

点评：因式分解的目的是简化运算过程，但在遇到比较复杂的因式分解问题时，可以利用待定系数法直接将因式分解问题转化成解方程组问题，以方便解答.

二、运用待定系数法求解分式方程

运用待定系数法解分式方程时，我们首先要把分式方程中较复杂的式子拆分为若干个较为简单的式子，并用待定系数表示出来，然后进行通分，将通分后的式子与原式加以比较，最后根据等式中对应项的字母系数相等这一规律，列出有关待定系数的方程组.需要注意的是，在拆分分式的时候，如果分母中有二次项，则将分子设为Am+B的形式，如果分母不含二次项，只含一次项，则直接将分子设为常数.

例2

解：

点评：这道题如果采用常规解法求解，在去分母之后，会得到一个关于 x 的一元二次方程，在求解的过程中可能会导致未知数的取值范围扩大，出现增根的情况，还要通过讨论来判断哪些值是错误的.而采用待定系数法就可以避免这种情况.

三、运用待定系数法求二次函数的解析式

运用待定系数法求二次函数的解析式时，首先可按照已知条件把二次函数的解析式设成一般式 y =ax2+ bx +c、顶点式 y =a（x - k）2+m 以及交点式 y =a（-x1）（x -x2）这三种表达式中的一种，然后根据函数图象上所有的点都满足该函数解析式，把点的坐标代入到解析形式中，得到关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值，就可以写出函数解析式了.

例3已知有二次函数的对称轴为 x=-3，且这个函数经过了（1，0）和（0，-7）这两个点，请求出该二次函数的解析式.

解法1：

解法2：

解法3：

点评：采用待定系数法求二次函数解析式时，可以根据二次函数解析式的三种形式来设置.如果已知二次函数对应二次方程的两个根，一般可以将二次函数设为零点式；如果已知二次函数的顶点一般可以设为顶点式，否则可以设为标准式.一般式与顶点式一般含有三个待定系数，交点式虽然只含有一个待定系数，但必须已知两个交点的横坐标 x1和x2，所以解题时应根据题目的已知条件选择设置哪种解析式，这样计算起来才最简便.

综上可知，灵活运用待定系数法能够帮助我们根据题意创设有利条件，迅速找到解题的突破口，从而将复杂的问题转化为简单的解方程组问题，实现化繁为简的目的.同学们要好好领会待定系数法在解答这几类题目中的妙用，不断进行归纳、总结，熟练掌握待定系数法的运用技巧.