单元整体教学视域下的图形与几何课堂重构

孙秀珍　郦兴江

摘要：构建单元整体教学视域下的图形与几何课堂，需要教师厘清学生已有的认知经验，唤醒学生思维；需要教师引导学生通过操作探究和理性思辨，深化对新知的理解和掌握；需要教师示范引领，解决问题，深度归纳，使学生逐渐在头脑中架构起完整的知识结构体系。

关键词：单元整体；图形与几何；重构

作者简介：孙秀珍，浙江省绍兴市上虞区实初教育集团实验中学校区高级教师。郦兴江，浙江省绍兴市上虞区教师发展中心特级教师。

在浙江省教育厅教研室和浙江省基础教育课程材料开发研究中心主办的“2022年浙江省初中数学新课标‘关键问题解决专题研训”活动中，笔者承担了人教版数学教材九年级上册“直线与圆的位置关系”研讨课展示任务，本课以“自主建构知识体系和类比学习图形间位置关系”为基调，诠释了基于“图形与几何单元整体教学”建构下对教学实践的一些思考。获得了广大参会教师的一致好评。

一、知识回顾，思维热身

师：同学们，之前我们曾学过图形之间的一些位置关系，如“点与直线”间的位置关系。那么点与直线之间有怎样的位置关系？

生：点在直线外，点在直线上。

师：接着我们又学习了什么？

生：直线与直线的位置关系。

师：两条直线有怎样的位置关系呢？

生：两条直线相交或平行。

师：那么两条直线互相垂直属于什么情形？

生：互相垂直是两条直线相交时的特例。

师：我们在这学期又学了哪两个图形间的位置关系？

生：点与圆的位置关系。

师：有哪几种情形？

生：点在圆内，点在圆上，点在圆外。

师：这三种位置关系是用什么来刻画的？

生：是用点到圆心的距离[d]与圆半径[r]之间的大小关系来刻画的。

师：今天我们一起来探究直线与圆的位置关系。（板书课题“直线与圆的位置关系（1）”）

二、操作探究，揭示新知

师：直线与圆到底具有怎样的位置关系呢？让我们自己一起来探究。（见下页图1）

请利用圆形纸片与直尺（直尺一边抽象成一条直线），探究直线与圆的位置关系，把你的探究成果与同学分享。

师：通过操作，同学们觉得直线与圆具有怎样的位置关系，有几种情形？

生：三种，直线在圆内，直线在圆上，直线在圆外。

师：我们请一位同学把他的探究过程向大家展示一下。

（学生上讲台演示，将圆形纸片固定不动，直尺慢慢移动靠近圆形纸片，分别得到三种不同的位置关系）

生：探究图形的位置关系时，我们常将一个图形“固定不动”，而将另一个图形“慢慢靠近”，从而在这个运动过程中来探究它们某个时刻下的“静态特征”。这其实是我们研究图形位置关系的常用方法。

师：现在我们请一位同学到讲台上来，将这三种位置关系在黑板上画出来。

师：根据这位同学画的结果，我们发现直线与圆的公共点个数分别有……

生：有两个交点，一个交点，没有交点。

师：其实，我们可以用“直线与圆的公共点个数”作为标准来进行分类，进而定义直线与圆的几种位置关系。

师：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

三、理性思辨，提炼新知

师：（出示图2）请判断直线[l]和⊙[O]的位置关系。

生：直线[l]和⊙[O]只有一个公共点，因此是相切。

生：看上去好像有两个公共点，所以也可以说是相交的。

师：当我们仅凭观察公共点个数无法精确地刻画直线与圆的位置关系时，直觉告诉我们，直线与圆的位置关系需要用更为精确的数量特征来刻画。

师：请同学们认真想一想，你认为直线与圆的交点个数与哪些量有关？

生：（稍思考一会儿后，开始纷纷议论）和圆心到直线的距离有关系。

师：同学们说到点子上了。我们类比点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系是否也可以类似地用相关的数量特征来精确刻画？我们还是自己来画图探究。

（学生完成教材第34页“做一做”）

师：同学们所画的圆与直线[l]有怎样的位置关系？

生：当半径为[12d]时，直线与圆相离；当半径为[d]时，直线与圆相切；当半径为[32d]时，直线与圆相交。

师：同学们，通过本题的解答，你得到什么启发？

生：如果⊙[O]的半径为[r]，圆心[O]到直线的距离为[d]，那么当[d] < [r]时，直线与圆相交；当[d=r]时，直线与圆相切；当[d] > [r]时，直线与圆相离。

师：这就是直线与圆的位置关系的判定方法。反过来，知道了直线与圆的位置关系，我们就可以相应得到[d]与[r]之间的数量关系，所以这可以作为直线与圆的位置关系的性质定理。

四、智慧运用，收获感悟

师：下面我们根据所学知识，完成教材第36页“课内练习1”。

师：现在我们来看看同学们的解答情况。

生：因为[d] > [r]，所以直线与圆相离。

生：因为[d] < [r]，所以直线与圆相交。

生：因为[d=r]，所以直线与圆相切。

师：下面请同学们继续完成教材第36页“课内练习2”。

师：同學们，要解决这个问题，我们先要做什么？

生：先要求出圆心[C]到直线[AB]的距离。

生：过点[C]作[CD⊥AB]于点[D]，由面积法可求出[CD=2.4]。

师：接下来，请同学们说一下你们练习的结果。

生：当[r=2]时，直线[AB]与⊙[C]相离；当[r=2.4]时，直线[AB]与⊙[C]相切；当[r=3]时，直线[AB]与⊙[C]相交。

师：请同学们接着思考，若⊙[C]与线段[AB]只有一个公共点，试求[r]的取值范围。

生：[r=2.4]。

师：有补充的吗？

生：[r]大于3，小于或等于4。

师：你是怎么思考的？

生：因为⊙[C]与线段[AB]只有一个交点，就是说与[AD]没有交点，但与[BD]可以有交点，所以半径大于3而小于或等于4。

师：同学们，至此，我们要判断直线与圆的位置关系，你有几种方法可供选择？

生：两种，第一种是由直线与圆的公共点个数来判断；第二种是由圆心到直线的距离[d]与半径[r]之间的大小关系来判断。

五、经典示范，自然生长

师：下面我们来看看这个定理在几何证明中的应用。（出示图3）

（学生独立思考约1分钟）

师：显然，本题不能通过“公共点的个数”来证明相切。那么，我们如何来证明圆心[P]到直线[AB]的距离等于圆半径呢？

生：设圆心[P]到[BC]，[AB]的距离分别为[d1]，[d2]，圆半径为[r]，因为点[P]在[∠ABC]的角平分线上，所以[d1=d2]，又因为⊙[P]与[BC]相切，所以[d1=r]，因此[d2=r]，所以⊙[P]与[AB]相切。

师：同学们，请你接着想一想，在图3中，若⊙[P]与AB，BC都相切，那么[BP]是[∠ABC]的角平分线吗？为什么？

生：因为⊙[P]与[AB]，[BC]都相切，所以[d1=r]，[d2=r]，因此[d1=d2]，所以[BP]是[∠ABC]的角平分线。

师：我们用角平分线性质定理的逆定理使这一题得到了证明。接下来我们再看下面这一题，若⊙[P]与[AB]，[BC]分别相切于点[M]，[N]，猜想[BM]与[BN]之间的数量关系，并尝试说明理由。

生：[BM=BN]。

师：为什么？

生：连结[PM]，[PN]，则[PM⊥AB]，[PN⊥BC]，可得到两个直角三角形全等，所以[BM=BN]。

师：从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这一点与切点间的线段长度叫做切线长。[BM]，[BN]就是切线长。过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等。比如这个问题中的[BM=BN]。

师：请继续思考下面这个扩展题。（出示图4）

生：[PM=PN=PQ]；[AM=AQ]；[CN=CQ]；[P]是三角形三条角平分线的交点。

师：这些结论都是正确的。我们观察此时的圆与三角形的位置，可以把三边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形，圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。这些知识我们将在接下来的几节课中陆续深化学习。下面，我们应用今天所学的知识来解决实际问题。

六、问题解决，学会概括

师：（出示下页图5）在码头[A]的北偏东60°方向有一个海岛，离该岛中心[P]的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头[A]由西向东航行，行驶了10海里到达点[B]，这时岛中心[P]在北偏东45°方向。若货船不改变航向，问货船会不会进入暗礁区？

师：要解决这个实际问题，我们先得画出符合题意的问题情境示意图。

师：实际问题数学化，阅读“翻译”很重要，这个问题事实上需要我们解决什么？

生：就是要求出岛中心[P]到[AB]的距离。

师：其实，通过建立数学模型这个问题就会转化为判断直线与圆的位置关系问题。那这个问题中要判断的是哪条直线与哪个圆的位置关系呢？

生：直线[AB]与⊙[P]的位置关系。

师：如何来判断这种位置关系呢，哪位同学把解决过程分享给大家？

生：我们先来求岛中心[P]到[AB]的距离。过点[P]作[PH⊥AB]于点[H]，则[∠PAH=300]，[∠PBH=450]，所以[AH=3PH，BH=PH，]而[AH-BH=AB=10]，

所以，[3PH-PH=10]，[PH=103-1]，可以判断出它比12海里要大，所以货船不会进入暗礁区。

（学生叙述过程中，教师板书主要步骤）

师：由实际问题的提出，我们通过数学建模，先将实际问题转化为数学问题模型，再综合运用数学知识求解模型，从而获得实际问题的解决。（最终呈现图6）

七、深度归纳，架构体系

师：同学们，这节课我们在回顾一些图形之间位置关系的基础上，通过类比点与圆的位置关系，自主探索，得到了直线与圆的三种位置关系——相离、相切、相交。同时，通过圆心到直线的距离[d]与圆半径[r]的大小比较，在数量特征上精确地刻画了这三种位置关系，完美体现了数量特征与几何图形的有效融合。此外，通过实际问题数学化，建立数学模型，解决暗礁问题，从而提炼出实际问题解决的一般流程。又通过对教材例题1的深度挖掘与延伸，初步接触了“三角形的内切圆、内心与切线长”等相关知识，这为我们的后续学习作好了铺垫。

【课堂反思】“直线与圆的位置关系”是人教版数学教材九年级上册第二十四章“圆”第二单元的第二课，是学生在初中阶段学习图形间的位置关系的最后一个学习内容，如何基于“单元整体教学”这一视角，通过课堂教学的设计与实施，较好地诠释这一理念，笔者通过以下三个方面作了一定的努力。一是突出思想方法的教学，具体表现为通过类比学习前面已学的图形间的位置关系来探究得到“直线与圆的位置关系”，用相同或相似的方法解决新的问题，这是实现数学学习返璞归真、以简驭繁的基本策略与方法套路，也是实现“单元整体教学”的核心指标。二是有效实施对教材例题的延伸拓展教学，尝试打开章节通道，贯通前后内容，构建知识系统、问题链条、思维场景，让数学思维顺畅有序、自然生长。三是在“直线与圆的位置关系”相关概念辨析过程中，通过由易到难的层层递进式教学，设计思维层级，使思维教学具有更为严谨的内在逻辑，以体现知识的整体性。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］范良火.義务教育教科书数学（九年级下册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.

（责任编辑：杨强）