基于数学核心素养培养的课堂教学

［摘  要］ 课程发展理论认为，教育是改变人类行为的重要手段. 如何发挥教学过程的内在力量，将学生的数学核心素养根植于课堂教学的方方面面？文章提出以下几点措施：追根溯源，培养抽象能力；突出主题，启发直观想象；揭露关联，提高数据分析能力；深化整理，获得建模能力.

［关键词］ 核心素养；课堂教学；抽象能力

数学核心素养是数学课程标准的核心内容，主要包括数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算与数据分析六要素. 数学核心素养是数学课程发展的方向，又是个体发展的培养目标［1］. 自2014年教育部颁布《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》后，2017年高中数学课程标准正式将核心素养与立德树人列为教育的核心目标.

因此，笔者在近些年的教学中，将目光锁定在如何注重教学过程，培养学生的数学核心素养上. 经过长期尝试与完善，获得了不错的效果. 本文以“三角函数的诱导公式”的教学为例，从课堂立意、教学策略、资源开发、价值取向等角度出发，具体谈一谈如何发挥教学过程的内在力量，将立德树人根本任务落实在课堂的每一个环节，从根本上提升数学核心素养.

追根溯源，培养抽象能力

数学抽象是舍掉数学事物的所有物理属性，对其进行研究的思维过程. 诱导公式研究的对象是谁？抽象的结论是什么？顾名思义，诱导公式为研究的结论，而研究的对象则为三角函数. 究竟该如何关注过程，对诱导公式进行分析与研究呢？教材利用单位圆定义了三角函数，圆又具有典型的对称性，若利用圆的对称性对三角函数进行研究具有可行性.

问题：是否可以单位圆关于x轴、y轴、直线y=x对称（轴对称），关于原点O对称（中心对称）等特征为出发点，获取与三角函数性质相关的内容呢？

追根溯源，发现此问题涵盖着以下四层含义：①单位圆为此问的起点；②圆的对称性是思考问题的主要方法；③此问的研究对象为三角函数；④获得相关性质为研究目标.

在学习过程中，一些有用的数据信息常隐匿在学生的思考中，但又不容易被察觉与提取，对于此问的研究目的，学生不会主动去思考. 因此，教师在教学设计与课堂预设时，应敏锐地观察到制约学生“思考”的因素，换位到学生的角度进行教学立意与情境的创设，引导学生回归到教材，激活思维，研究有用的数据信息.

学案作为促进学生自主学习的主要方案，教师编写时应考虑到学生的实际情况与知识特点，使用恰当的问题进行导读、导思，引导学生对接导学、导问与自主学习.

情境创设时，教师可从以下两个问题着手：①有了0～2π的角后，再引入任意角的目的是什么？②掌握了锐角的三角函数后，为什么还要探讨任意角的三角函数呢？以问题驱动学生探讨、思考，让学生从根本上认识到探索任意角、锐角以及0～2π角的三角函数关系的真正意义与价值，有效驱动学生的学习动机与学习兴趣.

結合教材内容，对接学生的自主探究，能让学生对研究对象、目标、方法、依据产生明确认识. 学生在研究活动过程中积累经验，获得深刻的学习体验，形成个体独有的思维方式. 从圆周而复始的运动特征出发，解读诱导公式一，再与之前学过的相关内容衔接，为“诱导”立意，导向、导学，不仅能让学生对诱导公式的形式产生明确认识，还能让学生从本源上理解单位圆具有怎样的意蕴，知道数学抽象的本质与内涵，对诱导公式的来龙去脉形成深刻认识，为接下来进一步探索夯实基础，建立信心.

追根溯源，追的是知识的起源与根源. 单位圆、三角函数的定义等是诱导公式的起源，而化归则是诱导公式的思想根源，意图将任意角的三角函数问题化归成锐角的三角函数问题去分析.

想让学生从根本上掌握诱导公式，从学案导读到课堂教学过程，都要从知识的本质出发，切忌流于形式走过场，要引导学生实实在在地参与知识形成与发展的过程，积极主动地进行探索与分析，掌握知识的内涵.

必要时，还可以借助现代化的教学手段，如多媒体的应用等，在充分保证学生智力活动的同时，丰富先行组织者，鼓励学生在动态演示中，回归到知识的本源中去，自主发现研究对象，在研究过程中抽象出相应的知识与技能，真正意义上做到“知其然且知其所以然”. 学生在此过程中，可获得良好的思考习惯，提升数学抽象素养.

突出主题，启发直观想象

所谓的直观想象是从空间想象的角度来感知事物的形态与变化特征，数学中最常见的是用几何图形来解决数学问题. 直观想象能力决定了数学核心素养的形成与发展，它对学生的创新意识形成具有直接影响［2］.

教材上有这样一个探究课例：若α为给定的角.

问题1：角π+α，π-α的终边和角α的终边具有怎样的联系？它们的三角函数间又存在怎样的联系？

问题2：角α的终边与角-α的终边之间具有怎样的联系？它们的三角函数间又存在怎样的联系？

问题3：角α的终边与角（π／２）-α的终边之间具有怎样的联系？它们的三角函数间又存在怎样的联系？

这三个问题明确了探究方向，为学生指明了思维视角. 随着问题的指引与探索，学生从“数”出发，通过对具体问题的考查，探索单位圆的对称关系. 结合以上学生对三角函数性质的思考与此处的探究活动来看，“思考”是从圆对称性的角度来发现三角函数的性质，而“探究”是从“数”与弧度表示角的层面出发，探索单位圆的对称关系.

将“思考”与“探究”结合在一起分析，想要培养学生的直观想象与归纳猜想等核心素养，可在归纳演绎阶段续接以上教学：①在给定角α的基础上，设定它的终边和单位圆相交于点P（x，y），引导学生结合定义自主写出三角函数的代数表达式；②从单位圆关于原点O中心对称出发进行猜想验证，学生获得对称点P（-x，-y）与终边OP的对应角π+α及诱导公式二；③仿照以上环节，启发学生通过合作学习，自主发现单位圆关于x轴、y轴对称的结论，获得诱导公式三和诱导公式四；④应用变式引导、启发学生发现单位圆关于直线y=-x对称，获得诱导公式五；⑤应用角变换，引导学生发现诱导公式六.

完成以上环节后，与学生一起回顾诱导公式发现与推理的过程，此时再带领学生回到教材上的“探究”活动中来，凸显“对称与坐标关系、两角与诱导公式”的归纳猜想过程，有效培养学生的直观想象能力.

归纳与演绎是数学思维的两个重要方面. 以上课例凸显出“归纳—演绎”的过程，先从圆的对称性出发进行猜想验证，充分发挥了直观想象的重要性，获得了两角关系与坐标关系，让学生对坐标的几何意义有了充分认识；再从直角坐标系中对角、角的始边以及x轴非负半轴重合等方面进行分析，通过简单推理角、坐标的关系后得出诱导公式. 学生在此过程中，抓住推理的要点，在猜想证明中自然而然地获得问题的结论.

圆的对称性除了与原点、轴对称有关，还與角平分线有关. 从求简角度来看，教师还可以带领学生对单位圆关于直线y=-x对称的诱导公式进行探讨. 虽然探讨过程颇有难度，但从教材所呈现的“探究”问题出发，可有效地开启学生的智慧，对培养学生的直观想象能力具有促进作用.

在必要时，教师可借助信息技术的演示功能，凸显知识的动态特征，让学生在直观的视觉感受中激发想象、获得猜想、建构新知，从根本上掌握诱导公式的本质，并获得良好的数形结合思想，提高直观想象的素养.

揭露关联，提高数据分析能力

数据分析是指从一系列数据中，提取有用信息的过程. 诱导公式中存在哪些有用信息，可以将这些信息整合成什么知识呢？当学生获得诱导公式二、三、四后，教材提出了这样一个问题：“请用简洁的语言对诱导公式一到四进行概括，并说说它们各自具备怎样的作用？”此问的目的在于引导学生对诱导公式结构特征进行分析，并为公式的应用奠定基础.

从宏观角度来看，我们可将六组诱导公式视为一个整体，应用揭示关联的策略，挖掘公式的价值资源，以促进学生数学思维的发展. 理解公式时，教师可引导学生从以下几方面着手：①从角α的任意性着手，重新回归到单位圆的对称性与周期性进行分析；②通过符号理解将α视为锐角的原因，充分认识前四个诱导公式的功能（任意角—0～2π的角—锐角）以及诱导公式五、六的功能与规律（正弦和余弦函数互相转化，奇变偶不变，符号看象限），为后期灵活应用公式奠定基础.

数据具有表达信息的功能，而信息又是数据的内涵，语言为表达信息的关键. 语言作为用来思维与交流的基本工具，在教学中应用十分广泛. 数学语言与自然语言有着显著区别，一般以文字、符号与图形三种形式呈现.

在本节课中，从挖掘数据信息价值的角度来激活数学语言的表达、转化与交流，主要体现在：①通过对角α任意性的探索，使得学生切身体会数据信息的价值，获得“单位圆的对称性（形）—诱导公式（数）—单位圆（形）”的认识，为数学语言的转换奠定基础；②角变换方法的应用，使得学生从一个新的领域再次领悟数据信息的价值，从“角、名、符号”三方面厘清各个诱导公式的结构特征，导引语言转化的视角；③对符号进行分析，学生深刻领悟数据信息的价值，经历“图形语言—符号语言—文字语言”的转化过程，有效激活数学语言的转换机制.

语言转换是数学思维的核心，教师将不便思考的内容转化为通俗的语言情境，可有效促进学生的理解与思维的发展. 思维能力决定了学生的整体素养，是实现立德树人的根本. 必要时，教师可借助多媒体的切换功能，为学生创设更丰富的语言情境，活跃学生的思维，让学生在学习过程中，建构良好的数据分析能力，形成结合数据思考问题的习惯.

深化整理，获得建模能力

数学建模是指对问题进行抽象，并用适当的语言进行表达与解决问题的过程. 学习知识是为了更好地解决实际问题. 诱导公式可以解决哪些实际问题呢？基于这个思考，教师可以引导学生从公式的应用价值着手，培养学生的建模能力. 尤其在课堂尾声，通过小结的方式为学生的课后探究留下悬念，也可以留下变式练习，鼓励学生独立思考，抽象出求任意角的三角函数值的步骤与方法.

一个成功的课堂小结能深化学生对知识的理解，有效提高学生的数学思想，诱发学生产生更加深刻的思考与探究. 在本节课中，小结环节可以从以下几点做起：①通过对引例的解答，达到前后呼应、梳理、深化的目的，引导学生总结出求任意角的三角函数值的方法，升华学生的情感；②回顾探究历程，厘清知识要点，凝练诱导公式的语言转化与思维模型；③布置研究性任务，为学生提供个性化的选项，鼓励学生自主获得数学模型.

数学模型包括思想模型、应用模型与思维模型. 其中思想模型是数学应用核心，在必要时，教师可以借助多媒体等手段，改造学生的思维模型，促进学生反思，让学生不断完善自身的学习方法，促进创新意识与建模能力的发展.

数学核心素养的六要素既具有一定的独立性，又具有交互性，正是这些特性将它们胶着在一起，形成有机的整体［3］. 从本节课的教学策划、组织、实施与小结来分析，核心素养的培养与教学内容的特点以及学生的实际情况，有着密不可分的联系. 在实施过程中，教师应从局部出发，逐一突破知识难点，与学生一起挖掘知识的内涵与价值，激发学生的潜能.

联合国教科文明确指出：“教育是全人类共同核心利益.”由此可见，教育的核心任务是人文主义精神的教育，是全面可持续发展的育人行为. 一线数学教师站在教育改革的浪尖上，应立足课堂教学过程，从学生终身发展的角度出发，潜心研究教学，健全学生人格，培养学生的数学核心素养，真正意义上实现立德树人使命.

参考文献：

［1］ 罗增儒.从数学知识的传授到数学素养的生成［J］.中学数学教学参考，2016（19）：2-7.

［2］ 喻平. 数学学科核心素养要素析取的实证研究［J］.数学教育学报，2016，25（06）：1-6.

［3］ 常毓喜. 基于学科核心素养的2018年高考数学试题分析［J］. 数学通报，2019，58（03）：53-58.

作者简介：李伟伟（1988—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获聊城市高中数学优质课一等奖.