由一道数列模考题引发的思考

甘肃省兰州市第六中学(730060) 焦永垚

一、原题呈现

题目(2023 年天津市南开区高三数学一模第19 题)已知等差数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,单调递增的等比数列{bn}的首项为2,且满足b2+S2=7,b3+S3=14.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)证明: 3Sn=anSn+1−(an−1)Sn(n ∈N∗);

(3)记{bn}的前n项和为Tn,证明:

二、解法探究

第(1),(2)问考查数列的基础知识,易得an=n,bn=2n.下面来探究第(3)问的证法.

三、探究延伸

点评上述解答给出了{(an2+bn+c)qn}型数列求和常用的四种方法.事实上,数列{an2+bn+c}(a ̸=0)为二阶等差数列,因此对于{(an2+bn+c)qn}型数列的前n项和可以由阿贝尔数列求和公式直接得出(可参见文献[3]),至于其他“高阶等差乘等比”型数列的前n项和,有兴趣的读者可利用阿贝尔变换进行探究,本文不再赘述.

四、结语

在数学教学中,时常会遇到一些典型且设置巧妙的问题,这时我们要教导学生不能仅仅满足于问题的获解,而是在此基础上勤于思考,乐于钻研,从多角度展开尝试和联想,力求扩大战果,逐步培养学生探究数学问题的习惯.在教学中,要不失时机地为学生提供探究的机会,在探究中培养学生数学思维的广阔性、深刻性、灵活性及独创性,让学生在探究中真正体会学习数学的快乐.