精心设计“问题串”,促进核心素养发展——高中数学课堂中问题串设计策略的思考

广东省五华县教师发展中心 (514400) 宋淮南

高中数学高效课堂,宜以教师为主导、学生为主体的启发式、探究式的教学方式,用较少的精力、有限的时间投入获得最优的教学效能. 因此,在教学中精心设计问题串,以问题为导向,引导学生自主学习、合作探究、拓展延伸,是提高课堂教学效果,发展学生核心素养的重要手段. 所谓“问题串”教学,就是指在教学过程中,教师根据课标、结合教材,围绕一定目标和某个中心问题,根据学情以及知识点的层层深入,设计一系列的问题,激发学生的学习兴趣,促进学生积极思考、探究,让数学课堂教学“活”起来,以达到事半功倍的教学效果. 下面笔者结合平时的教学实践谈谈问题串的设计策略.

1 数学概念形成过程中设计问题串,加深概念理解

普通高中数学课程标准认为,概念的建构应通过问题情境—师生活动—意义建构—数学理论这四个重要环节来实现,因此,在数学教学中应围绕学生最近发展区设计出科学、合理的问题串进行教学, 有利于培养学生的数学抽象素养,这是符合新课标的要求,也是新课改方向.

如在必修一第三章“函数的概念与性质—3.1 函数的概念及其表示”中,把课本里的列举的问题情境分别设计问题串:

问题情境1: 某“复兴号”高速车加速到350km/h 后保匀速运行半小时. 这段时间内,车行进的路程S(单位: h)与运行时间: (单位: km)的关系可以表示S=350t,这里,S=350t,t和S是两个变量,而且对于t的每一个确定的值,S都有唯一确定的值与之对于,所以S是t的函数.

这是有解析式的, 要引导学生关注t在取值范围, 例如“高铁加速到300km/h 后,运行半小时,路程S随时间t的变化而变化的规律是S=350t”,应该设置问题:

问题1: 时间t的变化范围是什么?

问题2: 你能回答“1 小时后对应的距离是多少”吗? 为什么?

问题3: 你认为如何描述才能真实反映列车的运动过程?

问题情境3: 图1 是北京市2016 年11 月23 日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图. 如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I? 你认为这里的I是t的函数吗?

问题1: 时间的变化范围是什么? AQI 的值I变化范围是什么?

问题2:I是t的函数吗? 为什么?

不能仅以“因为任意一个时间t都有唯一一个AQI 的值与之对应”了事, 应让学生在图上找出来, 再借助信息技术,把对应过程表达出来!

问题3: 从所给的图中能回答“11 月24 日8 时对应的AQI 是多少”吗?

问题4: 这是一个函数,有解析式吗? 如果让你表示出这个函数,你会怎么做?

把这个图搬出来吗?

从而产生符号意识,I=f(t)呼之欲出.

你认为按表3.1-1 给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗? 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数?

表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况

问题1: 这个表格中,时间的变化范围是什么? 能不能用[2006,2015]表示? 恩格尔系数的变化范围是什么? (可以是[0.2857,0.3817],其实是(0,1])

问题2: 由这个表格,能判断恩格尔系数是不是年份的函数? 你能说清楚到底是怎么对应的吗?

问题3: 由这个表格,能得到2016 年的恩格尔系数吗?

问题4: 这是一个函数,有解析式吗? 你认为该如何表示这个函数?

从而形成符号意识, 设恩格尔系数为r, 年份为y,r=f(y)呼之欲出.

问题5: 它们都是函数,有什么共同特征?

问题6: 怎样简洁地表示出来?

由于是在初中时已经学习了一次函数、二次函数等简单函数,故设计上述问题串,引导学生在不断深化,将已有的知识经验迁移、拓展到新内容中. 而且,在解决问题的过程中,师生、生生探讨,交流,呈现出数学概念的形成过程,进而达成数学目标. 实际上,问题串可以看作整节课的骨架,把它设置在其重要的关节点,具有很好的阶梯性、明确的指向性、良好的启发性较强的探究性.

2 探索数学的规律中设计好问题串,提高探究能力

课程标准重视观察与猜想等探索活动. 很多数学公式、定理、性质、法则的发现都经历了一个观察、猜想、验证等思维推理过程. 探索性问题串的设计主要围绕定理法则和公式的发生形成发展的三个过程展开,教师应引导学生通过观察、归纳、猜想、动手操作等过程,充分展现数学知识的发生、形成与发展,从中获得数学学习的体验,提高探索能力,体味到数学的无穷魅力.

如在学习椭圆性质时,以问题串引导学生进行探究.

问题1: 观察椭圆的形状,可以发现椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. 如何利用椭圆的方程描述椭圆的对称性?

问题3: 不同椭圆的扁平程度不同. 扁平程度是椭圆的重要形状特征, 你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?

上述系列化情境以问题为载体,构建了“分析背景—问题导向—探索几何特征”的系列化数学活动,提高学生的探究能力,促进学生的直观想象和逻辑推理的素养的发展.

又如,在用空间向量研究直线、平面的位置关系时,可围绕空间中点、直线和平面的向量表示,构建了这样一条问题串,通过空间向量的运算加以解决.

问题1:“如何用向量表示空间中的一个点? ”引导学生思考空间中点的向量表示.

问题2:“我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l? ”引导学生思考空间中直线的向量表示.

问题3:“一个定点和两个定方向能否确定一个平面? 进一步,一个定点和一个定方向能否确定一个平面? 如果能确定,如何用向量表示这个平面? ”引导学生思考空间中平面的向量表示.

问题4:“由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系? ”引导研究空间中直线、平面的平行.

问题5:“类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? ”引导研究空间中直线、平面的垂直.

通过五个问题的步步追问、环环相扣、由浅入深把学生引向有意义的方向思考,再使之抽象到坐标系中,让学生比较分析、大胆归纳,最后得到可靠的结论,提高学生逻辑思维能力,培养学生严谨的治学态度. 达到“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”的境界.

3 探究解决问题的方法设计问题穿,拓宽学生思路

问题串教学让数学课堂教学很好的体现自主、合作、探究与开放. 提出恰当的、有较好启发性的问题串,有利于学生思考和开展探究活动;同时能激发学生积极发现规律、体验过程、研究创新,形成积极主动、合作探究的高效学习方式,从中会产生许多有价值的生成性资源,提高学生解决问题的能力,有利于培养他们的探究能力和创新精神.

例如,在抛物线与直线的位置关系的习题课中,我设计了下面的问题串,让学生探究.

例: 斜率为3 的直线经过抛物线y2= 4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.

问题1. 求线段AB的长.

学生分析、思考后,容易得到两种解法,解法一是联立直线方程与抛物线方程,求出交点坐标,再用两点间距离公式求得线段AB的长; 解法二是联立直线方程与抛物线方程,求出交点横坐标,再运用抛物线定义求解.

问题2: 可不可以用求交点的坐标求出线段AB的长?

这个设问在于运用韦达定理可实现不解方程来解决问题,是设而不求的思想,具有一般性,为解决问题3 做好铺垫.

问题3: 将斜率3 改为k,求线段AB的长.

追问1: 能否得到过抛物线焦点的弦长公式?

追问2: 能否得到直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式?

拓展探究:

问题4: 当直线段经过抛物线的焦点时,以AB为直径的圆和抛物线的准线位置关系怎样?

问题5: 斜率为3 的直线被抛物线所截,求截得的线段AB的中点的轨迹方程.

问题6: 求该物线内弦长为a(a＞4)的动弦AB的中点到y轴的距离的最小值.

问题7: 求该抛物线上的点到直线y= 2x+6 的距离的最小值.

问题是探究的源泉,是培养学生思维的核心. 以最基础的问题为出发点,通过改变已知条件或需求解的结论或对问题进行延伸拓展,设计不同情景下的问题串,引导学生思考与探究,学生的思维始终处于活跃、积极的状态,不但掌握了相关的知识,得到解决问题的规律与思想方法,学生的核心素养也得到发展.

4 纠正学生错误过程中设计问题穿,增强严谨思维

学生在数学学习中出现错误是不可避免的,他往往能暴露学生的真实想法,反应学生的思维过程,包含着有价值的成分,教师若能善于发现错误背后隐藏的价值,巧用典型错误,通过设计问题串,变换问题的条件和结论,变换问题的形式,而不变换问题的本质,使学生更容易看清问题的本质.

例: 若函数f(x)=x3+ax2-a2在区间上是增函数,求实数a的取值范围.

问题3: ∵f′(x) = 3x2+ 2ax≥ 0,x∈∴Δ ≤0,解出a的范围就可以,是吗?

通过对3 个问题的联系与讲解,使学生对这类问题注意的情况了解更加全面,思维的严谨性得到提高. 教育家波利亚说过:“好问题跟蘑菇有些像,它们都成堆生长,找到一个后,在周围再找找,很可能附近就有好几个. ”问题串就象这样成群生长的蘑菇. 好的问题串能让学生对所学的知识融会贯通,帮助他们跳出题海,达到高效学习,提高综合能力.

合理、有效的“问题串”,能够把整节课的知识联系、整合在一起,是一堂成功的数学课的重要组成部分,成功的问题串能激发学生的学习兴趣,打开学生学习的思维,促进学生积极思考、探究、合作与交流, 真正让数学课堂教学“活”起来,提高学生的创新能力,促进他们核心素养的发展.