工件载荷对机床定位误差的影响分析及补偿研究

侯家林，王宇林，刘璨，刘焕牢

（广东海洋大学 机械与动力工程学院，广东湛江 524000）

影响机床加工精度的因素很多，如几何误差、热误差、切削力误差和刀具磨损误差等[1]。除此之外，机床的工件和夹具的重量导致机床工作台受载所引起的误差也值得研究，这一因素也是影响定位精度的重要原因之一，因此科学合理地测量和减小载荷产生的误差是减小机床整体几何误差的必要条件。He 等[2]提出了一种基于GRA-POT 的数控机床时域载荷外推方法，该方法可以获得数控机床寿命周期内可能发生的载荷，并且编制了数控机床在恒速条件下的动态切削力谱。章青等[3]通过分析机床结构和结合面的承载变形原理，分别用有限元法和接触变形理论计算载荷变形误差参数，并且在几何误差计算模型上，叠加载荷变形参数，使模型能适应多种误差的计算。陈振东[4]提出了将多体系统误差分析理论运用于机床载荷误差模型分析中，并且建立了载荷变形误差的参数辨识模型。祝洪祥[5]提出了基于多维指数分布的混合变参数幂律分布模型的数控机床可靠性评估方法，综合考虑了工况载荷对数控机床可靠性水平的影响，并且结合故障数据与工况载荷数据对数控机床可靠性水平进行评估。Yang 等[6]提出了一种求大跨度重载横梁荷载曲线及荷载误差的方法，并且基于有限元分析方法得到了载荷曲线，建立了基于载荷曲线和几何关系的载荷误差建模方法，为基于多体动力学的机床精度建模提供了理论依据。Zhong 等[7]通过对卧式机床装配平动轴的静力学分析，建立了机床基底、导轨和滑块以及工作台之间的误差传递模型，并且研究了机床主要零部件装备误差对机床空间几何误差的影响。除此之外，国内很多学者在力对机床几何误差存在影响方面也做了诸多研究，苏妙静[8]以机床单轴受力模拟的方法为基础，测算出了切削力对机床定位误差的影响并做了相应补偿。Liang 等[9]将切削力误差分解为 10项分量，包括主轴变形、刀具变形等，建立了几何误差和切削力误差综合模型。这些研究为载荷对定位误差的影响试验的测量、分析提供了许多有益的启示。然而，它们主要集中在载荷误差模型建立和力学模型分析上，针对载荷对定位误差的具体影响以及补偿等研究较少。载荷对定位误差影响的实际情况也同样重要，应该引起足够地重视，以便为实际加工中的机床精度要求提供理论依据。

在研究受载所引起的定位误差的同时，还需要选择科学合理地几何误差测量方法。几何误差的测量方法可分为直接测量法和间接测量法[10]。直接测量法是用相应的仪器直接测量单个几何误差。间接测量法测量几何误差时，应给出相应的辨识方法。激光干涉仪[11-12]和双球杆[13-14]作为成熟的商业仪器，广泛应用于机床几何误差的精密测量。针对直接测量机床特殊几何误差的方法效率低或无法实现的问题，人们广泛研究并提出了间接测量和识别方法，如22线、15线、14线、9线、12线、13线法[15]及空间体对角线测量法[16]等，这些方法都是通过采集部分几何误差数据，再通过各项几何误差之间的几何关系，辨识出其他各项几何误差，但仍然无法避免了多轴联动调节和误差模型等带来的偏差。在本次试验中，为了直接运用采集到的几何误差数据，减少模型带来的误差，采用了一种基于直接测量的九线误差测量方法[17-18]它通过在机床不同的空间位置测量不同的误差类型来直接获得对应的几何误差。选择适合的测量方法能够快速获得可靠的几何误差数据，并且有利于后续的误差补偿试验及研究。

本文以VMC1000 p 三轴数控加工中心为例，通过测量数控机床受载前后的X 轴的各项几何误差数据，并结合定位误差理论值的计算方法，提出了结合工件载荷的定位误差补偿方法。

1 机床受载情况及影响因素

1.1 几何误差类型分析

机床每根轴的几何误差包括3个平移误差和3个角度误差。它们主要是由机床的几何误差引起的，如内装零件的不精确性和装配误差等[19]。

几何误差主要来源于数控机床零、部件的制造及装配精度，是与机床零、部件的形位精度相关的一类误差元素。由于机床零、部件本身及其装配过程中存在形状和位置误差，当机床运动部件移动或转动时，这些形状和位置误差会反映到机床的运动部件上，从而产生几何误差。在此次研究中，当机床工作台受到工件载荷时，其装配关系的细微变化以及机床丝杠运动时产生的误差均会反映到机床的定位误差上，因此，在试验中，以测量X轴定位误差为主要研究点，并观测了工件载荷对垂直度误差、直线度误差等的影响情况。

1.2 机床受载参数辨识模型

工作台与滑块的受载三维模型简图如图1所示，其中将滚动导轨简化成4个滑块和导轨的组合。为了方便设置描绘坐标系，现将工作台置于行程终点，它的体坐标系O2-X2Y2Z2和体参考坐标系O1-X1Y1Z1均设置在工作台参考平面的右上角，方向与机床坐标系的方向一致，如图2所示。

图1 工作台受载模型三维图Fig.1 Table load model 3D diagram

图2 工作台受力简图Fig.2 Table force diagram

现假定工件W放置在工作台上任意位置，当工作台在行程起点时，其在体坐标系X2Y2Z2-O2和体参考坐标系X1Y1Z1-O1中的位置均为（xw，yw，0）。当工作台沿X轴方向移动x时，即体坐标系X2Y2Z2-O2相对于体参考坐标系X1Y1Z1-O1沿X轴方向移动x，故工件W在工作台体参考坐标系中的位置应是（xw+x，yw，0）。

仅考虑工件重量和工作台自身重量的作用，以体参考坐标系X1Y1Z1-O1为参考坐标系，以O1点为原点建立静力学平衡方程：

将图2中所示各个变量代入式（1），然后，得到平衡方程：

式中：w为工件的重量；Gx为工作台的重量；l5和l6分别为工作台重心点坐标的绝对值。

式（2）用矩阵表示，令

矩阵方程求解得

式中：

由式（4）可知，F1，F2，F3，F4的解并不唯一，一般情况下的标量值并不相同，而唯一的特殊情况（即将工件W放置于工作台重心处）在现实情况中很难做到精准放置，故可不做考虑。现只考虑滚动导轨的受载变形，则可假设在F1，F2，F3，F4作用下，工作台4个滑块的变形量分别为 ∆1，∆2，∆3，∆4且变量数值也并不相同，再根据图2可知，工作台表面与滑块的接触点P1，P2，P3，P4在工作台体参考坐标系中的坐标如下：

由P1，P2，P3这3点互异，可以确定一个平面方程。计算平面上两矢量分别为：

根据这两矢量可求出平面的法向矢量n以及平面方程，即

由于不考虑工作台工件承载平面的变形，则可将P4:(l3+x,l2+l4,-h-∆4)代入式（5），可得滑块变形量的关系方程

工作台受载误差模型图如图3所示。

图3 工作台受载误差模型图Fig.3 Table load error model diagram

假设在工作台参考坐标系X1Y1Z1-O1下工作台上表面任意点Ox在该坐标系下的坐标为（x+xw,yw,0），则其对应的工作台下表面的点为的坐标为（x+xw,yw,-h）。在工件和工作台的自重作用下，点下移到，距离为 ∆z，则其在工作台参考坐标系X1Y1Z1-O1中的坐标（x+xw,yw,-h+∆z）。显然，的坐标应满足式（5），将点坐标代入，解得

为在载荷作用下，工作台体坐标系的上表面任意点Ox产生方位变化后的新位置，Ox与之间位置的水平变化为所求量 ∆x（x）；L1为P1P2线在平面X1O1Z1的投影，空间直线P1P2的方程为

在X1O1Z1面上的投影方程，即直线L1的方程为

从式（9）中可知此直线的斜率为

则直线L1与坐标系X1Y1Z1-O1的O1X1轴的夹角为

由式（7）和式（10）可知，l1，l2，l3，l4为恒定量，xw和yw为已知的载荷位置，则工作台出现的下移和微倾仅与滚动导轨的形变有关，因而工作台下移和微倾产生的下移量 ∆z和倾斜角 ∆θ会引起X轴定位误差 δX(x) 产生改变，现定义，∆z向上为正，∆θ逆时针为正。其中，倾斜角 ∆θ存在的顺时针和逆时针方向的倾斜会使定位误差 δX(x)出现减小和增大两种情况，如图4和图5所示。

图4 定位误差偏移情况1Fig.4 Positioning error offset case 1

图5 定位误差偏移情况2Fig.5 Positioning error offset case 2

工作台受载后，若倾斜情况如图4所示，测量反射镜会向接近激光头方向偏移，使定位误差减小；若倾斜情况如图5所示，测量反射镜会向远离激光头方向偏移，使定位误差增大。

在实际运用中，还需要考虑工作台的厚度和工作台在体参考坐标系X1Y1Z1-O1倾斜状态。由于与倾斜角 ∆θ 和下移量 ∆z相关的变量 ∆1，∆2，∆3，∆4为滚动导轨方便受力计算所简化出的假设量，不具备实际测量价值，因此，工作台的倾斜角 ∆θ 和下移量 ∆z直接由激光干涉仪和球杆仪获得，其中，角度 ∆θ为X-Z轴垂直度误差的变化量，由无载荷下的X-Z轴垂直度误差 θ1和加载荷下的X-Z轴垂直度误差θ2获得；∆z为X轴沿Z轴方向的直线度误差的变化量，由无载荷下的X轴沿Z轴方向的直线度误差δZ,1(x)和加载荷下的X轴沿Z轴方向的直线度误差δZ,2(x)获得。工作台误差关系如图6所示。

图6 工作台误差关系Fig.6 Table error relation

结合图6中几何关系可得到待求量 ∆x(x)的理论值，表达式为

2 机床受载试验系统

数控机床受载试验系统，通过对机床工作台施加载荷来模拟机床在实际加工过程中的工作状态，然后再借助激光干涉仪及相关的测量方法来获得机床的几何误差。

2.1 试验设计与仪器选用

分别设置一组不施加载荷和一组施加100 kg的载荷，将其放置于工作台上偏向重心的同一位置，试验组中，选用100 kg 的载荷可以很好的模拟模具重量，也能够区分误差的产生是由工件载荷产生，而不是随机误差产生的。试验对象：VMC1000 p 三轴立式加工中心，载荷选择：100 kg 标准砝码，几何误差测量仪器：激光干涉仪（用于测量轴的移动误差和转角误差）、球杆仪（用于测量轴与轴之间的垂直度误差）。仪器安装采集示意图如图7所示。

图7 数控机床误差采集示意图Fig.7 Numerical control machine tool error acquisition diagram

2.2 测量方法与数据采集

本次试验为了直接获得数控机床可靠的定位误差和直线度误差数据，采用了1种基于直接测量的九线误差测量方法，其测量方向为图2所示数控机床X轴运动方向。

在安装仪器进行测量之前，需要对数控机床的周围环境和工作状态进行检测，首先要保证机床的周围环境没有振动源，其次要将机床运行30 min 后才能进行测量，以消除振动和环境温度对测量结果的影响，同时保证室温范围相对稳定。

机床几何误差数据采集方法遵循ISO230-2标准，选择合适的间隔距离进行准静态测量，机床在数据采集点停留10 s，并采集5个周期。

3 数据处理与理论验证

以采集的数控机床的几何数据为基础，研究了工件载荷对机床垂直度误差和直线度误差及定位误差的定位精度的影响。通过对比实际测量值，验证∆Xt(x)理论计算值是有效的。

3.1 数据处理及分析

借助X-Z轴的垂直度误差的变化，佐证了受载误差模型中的工作台在受载的情况下会发生微小的下移和倾斜，其中测量得到的下移量和倾斜角度可以为后续的∆Xt(x)计算提供条件。

选择已经形成商业化模式的球杆仪对机床垂直度误差数据进行采集。其结果如图8和图9所示，分别为工作台受载0时的X-Z轴垂直度误差和工作台受载100 kg 的垂直度误差。因此可得到机床受载误差模型中的 θ1和 θ2分别为102.5 μm/m 和56.9 μm/m。从测量数据可知，倾斜角 ∆θ的值为负值，符合图4所示情况。

图8 0载荷下的垂直度误差Fig.8 Perpendicularity error under 0 load

图9 100 kg 载荷下的垂直度误差Fig.9 100 kg 载荷下的垂直度误差

借助激光干涉仪采集到的受载前后的直线度误差及定位误差如图10至图13所示，其定位精度受载前后对比如表1所示。

表1 定位精度A 受载前后对比Tab.1 Positioning accuracy A comparison before and after loading

图10 0载荷下X 轴沿Z 轴方向的直线度误差Fig.10 Linearity error of X axis along Z axis under 0 load

图11 100 kg 载荷下X 轴沿Z 轴方向的直线度误差Fig.11 Linearity error of X axis along Z axis under 100 kg load

图12 0载荷下的X 轴定位误差Fig.12 X-axis positioning error under 0 load

图13 100 kg 载荷下的X 轴定位误差Fig.13 X-axis positioning error under 100 kg load

上述数据表明机床工作台在有放置工件载荷的情况下，X-Z轴的垂直度误差会发生明显的改变，并且X轴沿Z轴方向是的直线度误差也会发生改变，从而产生几何误差之间的连锁效应，使X轴的定位误差产生改变，因此垂直度误差和直线度误差的改变是机床产生误差的两个重要参考指标。

3.2 机床受载误差模型理论验证

3.2.1 直线度误差处理

将在0载荷和100 kg 载荷下采集到的直线度误差 δZ1(x)和 δZ2(x)进行最小二乘法处理，即将图10和图11的直线度误差的单向平均偏差经最小二乘法处理，得到的结果如图14和图15，则可以确定工作台的受载最大偏移量 ∆l=4 μm。

图14 0载荷下的直线度误差Fig.14 Linearity error under 0 load

图15 100 kg 载荷下的直线度误差Fig.15 Linearity error under 100 kg load

3.2.2 理论值与测量值

为了方便观察定位误差的理论变化量 ∆Xt(x)和测量变化量 ∆Xm(x)，这里分别以图16和图17进行展示。其中，定位误差理论变化量 ∆Xt(x)利用式（11）结合已有的数据可以得到，定位误差测量变化量∆Xm(x)直接由测量出的X轴定位误差得到。

图16 定位误差变化量的理论值Fig.16 Theoretical value of the change in positioning error

图17 定位误差变化量的测量值Fig.17 Measurement of the change in positioning error

通过图16和图17的对比可知，定位误差的理论变化量比测量变化量更为稳定，并且误差范围相对较小，而测量变化量的波动更大，误差范围也更大。产生这种情况是因为定位误差理论变化量计算时，仅仅只考虑到了工作台受载的下移和微倾使定位误差发生的变化，而实际测量时，还存在工作台变形和环境温度改变等。

4 定位误差补偿

为了减小工件载荷对机床的精度影响，需要对受载机床进行螺距补偿。其考虑载荷和未考虑载荷的补偿结果如图18，具体数据如表2。

表2 定位精度A 补偿前后对比Tab.2 Positioning accuracy A comparison before and after compensation

图18 补偿后的定位误差对比Fig.18 Comparison of positioning error after compensation

上述数据表明，工件载荷对机床定位精度从未补偿前的15.5%扩大到补偿后的41.9%，即当机床定位精度越高时，工件载荷对其的影响也越明显。同样地，考虑到100 kg 工件载荷的螺距误差补偿与未考虑到工件载荷的螺距误差补偿相比，机床的定位精度在未考虑载荷的基础上提升了41.9%。该成果弥补了仅仅只做空载补偿所造成的欠量或过量误差补偿，考虑到工件载荷对机床影响后，这一情况得到了解决，使得机床的定位精度得到进一步的提升。

5 结论

1）通过系统研究数控机床工作台的受载与定位误差之间的关系，分析出数控机床工作台在工件的载荷作用下受力是不均匀，这使得机床工作台会出现向左或向右两个方向上的倾斜，因此定位误差会出现增大或减少两种情况。其中，100 kg 的载荷对机床定位精度的影响在15%左右。

2）结合九线几何误差辨识法计算出了定位误差理论变化量与实际测量出的定位误差测量变化量在图形上是吻合的，因此，数控机床工作台受载模型是有效的。

3）利用数控机床误差补偿单元可减小工件载荷对定位误差的影响。其中，对100 kg 载荷的工件进行补偿后，定位精度比仅进行空载补偿提升了41.9%。