反射波测井的菲涅尔带效应

郭同政 许孝凯 张晋言 晁永胜 翟勇

(1 中石化经纬公司胜利测井公司 东营 257061)

(2 中石化经纬公司地质测控技术研究院 东营 266555)

(3 中石化经纬公司 青岛 100190)

0 引言

反射声波测井是声波测井的一个重要发展阶段，不同于常规测井测量反映井壁附近地层信息，它测量远离井壁地质异常体的反射信号，从而获取井外地层地质异常体如裂缝。由于其测量原理类似反射地震，并可以获取井外数米到数十米的微小异常体的高分辨率成像，较好地弥补了常规声波测井与井中地震之间在分辨率以及探测范围特性之间的空白，极大地拓展了声波测井的径向探测范围和应用领域[1-3]，特别是在碳酸盐缝洞储层中取得了较好的效果[4-5]。反射波测井从声源类型上主要可分为单极子和偶极子远探测两大类，最近也尝试进行基于偏心声源的方位远探测研究[6]。远探测测井已经成为声波测井的研究重点和热点，国内外众多学者开展了相关的理论、模拟与成像方法研究[7-14]，并取得了重要进展。陶果等[8]针对单极子反射声波测井的高频、大尺度、大动态范围的特点，采用并行有限差分系统模拟了纵波反射波的幅度随声源频率、源距和反射界面位置变化的关系，为单极子纵波的仪器设计和资料处理提供了依据。唐晓明等[9]进一步论述了偶极反射声波测井反射波的传播特性，指出快地层中SH 型横波具有较宽的辐射覆盖与反射灵敏度，慢地层中偶极辐射的纵波具有较好的探测特性。魏周拓等对偶极反射声波测井进行详细数值模拟，研究了井中偶极声源的辐射特征及其不同条件下的变化规律[10]，为偶极反射波测井仪器设计提供了参数选择的依据；他们还在理论分析和数值模拟基础上，提出了低频偶极远探测方法[11]，因为在截止频率附近，可以有效抑制井中模式波，从而提高反射波与模式波的比值，更好地获取弱的反射波信号。Zhang等[12]开展了裂缝张开度、裂缝倾角、离井眼距离等因素对影响裂缝识别的规律研究，分析了远探测声波测井方法识别裂缝的条件。此外，Wang等[13]研究了横波反射波幅度与直达波幅度比值随裂缝参数变化的响应特征；古希浩等[14]运用滑移界面理论来描述井外地层中裂缝对声场的响应特征并给出了裂缝远探测声场快速模拟方法，为偶极横波远探测数据的处理和解释提供了理论依据。

以上研究大都假定反射面是无限延伸的，而较少考虑反射波测井主要应用于碳酸盐缝洞储层，反射面一般都是有限宽度的。针对实际中的远探测裂缝评价[15]以及在此基础上的储量预测问题，本文定量模拟了单极子和偶极子反射波的能量随裂缝宽度的变化情况，模拟结果可为根据裂缝尺度和反射幅度进行井旁储层的储量预测提供理论指导。

1 反射波测井的并行变网格有限差分模拟

声波测井的声源工作频率单极为6～15 kHz、偶极为1～5 kHz，具有较高的频率(较小的波长)，而且由于井孔较小，因此井孔声场模拟一般采用较小的网格。对探测深度较小的模式波波场模拟，由于总体模型较小，采用精细网格模拟仍是可行的。反射声波测井需要模拟井外数米到数十米的弹性波传播、反射、折射等过程，特别是对更小尺度的裂缝模拟，如果采用均匀精细网格，则总的资源占用量和计算代价将特别巨大，为此，采用基于并行的变网格三维直角坐标系有限差分来模拟小尺度裂缝存在下的大范围的远探测波场响应[8]。

变网格有限差分前人已经做了较多的研究，这里不再重复。图1 给出了均匀地层下有限差分与解析解模拟的结果对比。模型大小为2 m×2 m×6 m，充液井孔的半径为0.1 m，井轴位于在x=y=1 m处。单极子声源的中心频率为15 kHz，声源的波形式高斯包络调制的正弦波。井中流体的纵波速度为1500 m/s，横波速度为0 m/s，密度为1000 kg/m3；井外固体的纵波速度为4500 m/s，横波速度为2500 m/s，密度为2500 kg/m3。图1中，时间域有限差分(Finite difference time domain,FDTD)结果用黑色实线表示，实轴积分(Real axial integration,RAI)结果用红色实线表示。从图中可以看出，两种算法得到的波形在到时与幅度上基本吻合，斯通利波的幅度略有差异，这些差异主要受到用直角坐标系阶梯型网格来模拟圆形井孔所造成的误差，以及网格尺寸大小、差分格式精度等的影响，减小网格尺寸，用更多的网格来描述井孔，有望得到更准确的模拟效果。

2 反射波测井的有限差分模拟

表1 是模拟用的主要参数。图2(a)是井外7 m左右范围内两充液裂缝的模拟实例。模型大小为x=9.5 m、y=3 m、z=10 m，井孔半径为0.1 m。采用非均匀网格，在井孔附近网格大小为Δx=Δy=0.01 m、Δz=0.02 m，裂缝附近网格大小为Δx=0.001 m、Δy=0.01 m、Δz=0.02 m，地层中网格为Δx=Δy=Δz=0.02 m，时间步长0.15 μs，地层参数见表1。两个裂缝厚度均取0.004 m，裂缝走向方向展布(即Y方向长度)均为0.1 m，两个裂缝间隔1.2 m。偶极声源指向为Y方向，与裂缝走向平行，此时得到的反射波为SH横波，不包含其他转换波。声源中心频率为3.5 kHz。

表1 模型参数设置Table 1 Parameters of the computation model

图2 裂缝走向方向展布为0.1 m 时模拟结果Fig.2 Modeling results of 0.1 m width fracture

根据固体中的弹性波理论，对于远探测声波测井而言，波在介质中传播遇到异常体时，根据波长与异常体尺度的相对大小，可产生反射波(波长远小于界面尺度，如地层界面)、散射波(波长和界面尺度相当，如裂缝和溶洞等)和绕射波(波长远大于异常体尺度，如小尺度缝洞、界面突变点等)。图2(b)是在5 ms时保存的波场快照(振动速度的Y分量)，从图中可以清晰看到井中偶极声源向井外辐射的弹性波，此时弹性波场刚刚经过裂缝1 还未到达裂缝2。从图中可以看出，弹性波遇到裂缝1之后，产生的反射SH 横波幅度很小，在波场快照图中几乎不可见，这是因为裂缝走向方向的宽度为0.1 m，大约为横波波长的1/5。当弹性波遇到裂缝1 时，会发生绕射现象，弹性波会绕过裂缝1，继续向裂缝2传播，因此从波场快照图中几乎看不到反射波的存在。

在井中布置多极子接收器，井轴附近周向布置4 个接收单元记录声压信号，对多极子接收器对角单元的数据进行相减，可以得到相应方向的偶极子数据。图2(c)为Y Y分量(Y方向偶极子源激发，Y方向偶极子接收器接收)偶极子数据的全波形。图中还同时显示了理论计算得到的时距曲线，粉色幅度较大的为直达弯曲波(flexural wave)，绿色和蓝色分别为第一个和第二裂缝的纵波反射(pp1 和pp2)，红色和黑色分别为第一个和第二个裂缝的横波反射(ss1和ss2)，与模拟结果对应较好。图中可以清晰看出幅度很强的弯曲波，对应紫红色虚线时距曲线；也可以看到较微弱的裂缝1的反射横波，对应红色时距曲线。从波形中亦可以看出，当井外裂缝走向方向宽度为0.1 m 时，反射波总体较弱，裂缝难以被有效探测。

为了研究反射波幅度与走向方向宽度的特性，进一步增大走向方向宽度到0.4 m，大约一个横波波长，其他参数保持不变，此时横波遇到裂缝以散射波为主。图3为相应的波场快照及对应的阵列波形。波场快照如图3(a)所示，弹性波在遇到裂缝1时，产生较明显的散射现象，反射回井中；另一部分绕过裂缝1 继续向裂缝2 传播。图3(b)全波形中，对应裂缝1 的反射横波(红色时距曲线之后到达)幅度较图2(c)中有了较大增强；另一方面，对应裂缝2的反射横波(黑色时距曲线之后到达)相对于裂缝1 的反射横波幅度较小。

图3 裂缝走向方向展布为0.4 m 时模拟结果Fig.3 Modeling results of 0.4 m width fracture

图4是将走向方向宽度扩大到1.2 m，大于一个横波波长的模拟结果。从图中可以看出，对应于裂缝1 的反射信号大大加强，波场快照图与波形图中均清晰可见。而且弹性波遇到充液裂缝1 之后，几乎没有能量进入裂缝1之后的地层，进而导致裂缝2难以被探测到。图4(b)波形图中，可清晰看到裂缝1的反射信号，但对应黑色时距曲线的裂缝2的反射信号比图3(b)中还要微弱。

图4 裂缝走向方向展布为1.2 m 时模拟结果Fig.4 Modeling results of 1.2 m width fracture

发生这一现象的一个原因是：在前面走向宽度0.1 m 与0.4 m 的例子中，弹性波遇到充液裂缝之后，由于波长大于裂缝走向方向的尺度，所以除了发生反射之外，还可以绕过裂缝1 继续传播。而当裂缝走向宽度大于一个波长时，大量的弹性波能量被裂缝1 反射，在裂缝1背后形成影区。

另一个重要的原因是：由于裂缝中为剪切模量为零的流体，这时平行于裂缝偏振的SH波在裂缝1的流固界面处会发生全反射，阻碍了SH 波透过裂缝1向裂缝2的传播，导致裂缝2难以被有效探测。

对于井外裂隙裂缝的探测，利用SH 波探测可以保证大部分辐射能量在遇到裂缝后反射回井中；而P波与SV波的辐射能量只有一部分反射回井中，其余的能量穿过探测目标向远处地层传播。因此，对SH 波这一全反射特性来说，这使得SH横波相对于P 波与SV 波而言拥有较高的反射灵敏度。但是，SH 波在探测充液裂缝时会产生靠近井孔的裂缝对远离井孔的裂缝存在遮挡的问题，这一现象应该引起测井资料解释足够的重视。

上述3个例子中，模拟了3个尺度的裂缝。通过模拟初步可以判定，反射波的幅度与裂缝走向方向宽度有关。为了进一步研究两者之间的关系，模拟了一系列算例，裂缝走向宽度范围从0.1～5.4 m，在每一个算例中，将反射波从全波列中提取出之后，取其幅度最大值，统一画到图5中。从图5 中可以发现，在大约2.5 m之内，随着裂缝走向方向宽度的增加，反射信号的幅度逐渐增加；但是2.5 m 之后，随着裂缝走向方向宽度的增加，反射信号的幅度呈波浪形变化。其中的变化规律，类似勘探地震中菲涅尔带(Fresnel zones)效应[16-18]。

图5 反射信号幅度随裂缝走向方向宽度变化Fig.5 Reflection amplitude of dipole sonic logging with fracture width

图6 是有限带宽波场接收到的反射波示意图，图中，假设均匀介质的波速为v，图中点O即是声源又是接收点，反射界面距离声源距离为Z0。接收点O接收到的反射波不只是反射界面上点O1的反射，而是反射界面上各个二次点震源发出的绕射波的叠加结果。由不同点发出的绕射波的旅行时不同，他们与点O1发出的绕射波之间旅行时差为

图6 菲涅尔带计算示意图Fig.6 Illustration of Fresnel-zone

式(1)中，l为地下任意一点到声源点O的距离。这些绕射波在点O叠加形成复合波被探测到。

据前所述，在第一菲涅尔带内，各点发出的绕射波与点O1发出的绕射波旅行时相差1/2 个周期。由

将v=1800 m/s、Z0=7 m、f=3.5 kHz 代入式(5)，第一菲涅尔带半径大约为R=1.34 m，对应裂缝走向方向宽度为2R ≈2.6 m，大约为图5 中红色曲线第一个极大值处。

图5 中，在达到第一菲涅尔带半径之后，如果继续增加裂缝走向宽度，反射波幅度会进一步下降。这是因为第一菲涅尔带之外的绕射点，其到达接收点O的旅行时与点O1发出的绕射波旅行时之差大于1/2个周期，小于1个周期。这一区域称为第二菲涅尔带，第二菲涅尔带的点发出的绕射波，与第一菲涅尔带的点发出的绕射波发生相消干涉，使得反射波的幅度降低。同样的推导过程，可得到

其中，R′表示第二菲涅尔带的半径。将图5 例子中的参数代入计算，本例中对应的第二菲涅尔带的半径为1.8 m，对应裂缝走向方向宽度为2R′=3.6 m，大约为图5中红色曲线第一个极小值处。

随着裂缝走向方向宽度的增加，相长干涉与相消干涉的区域将会交替出现。对于一个无限大的地质界面来说，各个菲涅尔带的综合作用，使得反射波的幅度大约为第一菲涅尔带对应反射波极大值幅度的一半[16]。因此，对于无限大界面的模拟算例中，得到的反射波是各个菲涅尔带的综合“贡献”，当然其反射能量主要由第一菲涅尔带产生。

从上述推导可以看出，裂缝走向宽度与反射波幅度之间的关系，与声源形式无关，因此单极子反射波也应有类似的效应。图7是单极子源模拟的结果，其中单极源的频率为11 kHz。

图7 反射信号幅度随裂缝走向方向宽度变化Fig.7 Reflection amplitude of monopole sonic logging with fracture width

从以上模拟看出，远探测的地质异常体的回波幅度存在菲涅尔带效应，在其他条件不变情况下，反射波的能量与反射波的面积相关。当声源频率和地层速度一定时，在第一菲涅耳带内，反射波的幅度或能量随反射体的尺寸或者说缝洞的尺寸增加而增强，基于本文的模拟，当反射面一个尺寸固定，反射波幅度基本与反射面的另一个维度的尺寸基本呈线性变化，随着裂缝宽度增加，总的回波波场由绕射到散射再过渡到反射，即从裂缝宽度方向边缘传播到裂缝另一侧的能量越来越少，因此回波波场幅度越来越大。当尺寸增加到一定程度后，反射波幅度和能量随尺寸增加而有一定程度的减弱，然后又有一定的程度增强，随后基本与反射体尺寸变化不大。菲涅尔带的大小与反射体距离和声源频率也有关。由于反射波能量在一定范围内是与反射体的面积或体积有一定的正相关，这是利用反射波能量进行裂缝性储层储量或产能评价的基础[19-20]。但是，反射波能量又受其他因素影响，即便是在相同条件下，反射波能量也只是在一定的变化范围内与反射体面积或体积正相关，因此，基于幅度或能量进行储量评价或产能预测有可能误差较大。总之，进行储量预测需要综合考虑反射体的距离并需要结合其他资料进行综合分析。

3 结论

通过固定其他因素条件，利用变网格有限差分模拟了反射波随反射体尺度在大范围内变化下的特征和规律。无论是单极子还是偶极子反射波模拟都存在菲涅尔带效应。反射波的幅度或能量在一定范围内与反射体的宽度呈正相关，随后出现震荡，最后基本不随反射体尺寸增大而改变。本文的模拟和理论分析也表明，反射波的幅度或能量与反射体的面积或体积有关，这在一定程度上解释了有可能利用反射波的振幅进行储量评价和产能预测，也从另外的角度说明了这种评价和预测可能存在的误差。