小学高年级数学“问题解决”之“行程问题”的课堂教学探讨

陈欢

【摘要】行程问题是令很多小学生望而生畏的难题，为了让学生完全掌握行程问题的解题思路，文章从多个角度阐述了行程问题的特点，并讲解了该问题的解题技巧.在阐述解题思路的过程中，笔者结合追及问题、相遇问题等实际生活中可能发生的例子，以速度、路程和时间的相对关系作为切入点，探析问题的本质，讲述解题思路和技巧，在具体教学过程中采用图表结合的教学手段，让学生明白行程问题的关键因素，即物体运动的路线、速度、时间和路程等相对关系，加强学生对行程问题的理解，从而提高行程问题的教学效果和教学质量.

【关键词】行程问题；多角度；小学数学

行程问题是小学数学课程中的难点问题，也是非常重要的一类数学问题.行程问题是从实际生活中抽象出来的数学问题，因此行程的计算具有明确的应用背景，非常贴合实际生活.解决行程问题需要一定的抽象能力，但是小学生的抽象思维还没有得到充分开发，所以对大部分小学生而言，行程问题是一类很难的数学问题，他们甚至没有任何解题的思路.因此，教师在教学过程中需要从多角度切入，带领学生分析关键的变量因素，逐渐培养学生的抽象思维，让他们掌握相关问题的解题思路，进而做到举一反三.

为了让小学生面对行程问题时不再束手无策，笔者从行程问题的本质出发，先分清路程、速度、时间三者之间的相对关系，再辅以行程图，从多个角度入手，梳理行程问题中的变量关系，优化该问题的解题思路.教学实践表明，不同的学生倾向于使用不同的解题方法，因此从多个角度给小学生讲解行程问题，可以让他们找到最适合自己的方法和思路，有助于提升整体的教学效果.

一、小学生在行程问题中的学习障碍

根据小学数学教学实践及学生对行程问题的理解情况，笔者将行程问题的学习障碍归纳为以下三种.

（一）行程问题种类繁多

行程问题具有较多的种类，单一性的基础行程问题包括相遇问题、直线追及问题、环形追及问题、过桥问题等.多种情况复合的行程问题包括与往返相结合的卡车运货问题、与走走停停相结合的问题.拓展性的行程问题包括最短或最长路线问题、效率问题，等等.因此，行程问题可能涉及一个或者多个物体的运动，与简单的完成工作量问题不一样，工作量通过工作效率与工作时间相乘就能算出，行程问题则要考虑多个物体之间的相对关系，抓住关键的点.而每种行程问题的关键点并不一样，加上小学生的抽象思维还没有得到充分开发，导致其对抽象问题的理解能力不强，使得行程问题成为他们学习之路上的拦路石.

（二）行程问题是一个动态变化的问题

行程问题在本质上是经过速度和时间累积效应后，反映物体之间路程的变化的问题，这个变化是动态的变化，而不是静态的.因此，行程問题需要学生针对每个物体的运动情况，进行演绎和推理，而且行程问题涉及多种类型，每种类型都有着不同的考查重点.对抽象思维能力较弱的小学生而言，较难理解，特别是多种情况复合而成的行程问题，可能涉及多个物体的运动，而且每个物体的速度不同，因此它们之间的路程和时间等关系就变得复杂，导致学生难以掌握它们的关键点.

（三）在行程问题中融入了奥数等较难的知识

有些行程问题融合了奥数中的相关知识与方法.对于大部分小学生而言，行程问题本身就较难，再融入奥数知识，难度系数猛然加大.面对这类题目，大部分学生都一筹莫展.

二、行程问题的多角度切入教学

为了让学生理解行程问题的本质，教师在教学的过程中需要使用多种教学手段，从多角度切入教学，让学生把行程问题学好.在行程问题教学之前，学生已经掌握了三位数的乘法，对路程、时间及移动速度具有一定的认识和理解.教师在教学行程问题的过程中，首先要为学生树立学习的决心和信心，其次要在教学的过程中涵盖所有的题型并讲解对应的思路以及关键问题，最后让学生从简单的问题入手，去发现规律并利用规律解题，从而彻底“征服”行程问题.

（一）从实际问题切入，模拟行程问题的情境

基本的行程问题源于实际生活，复杂的行程问题是从中抽象和提升并经过演化和改进形成的，对基本行程问题进行了拔高，具有更加抽象的特征.因此教师在给小学生讲解行程问题的时候，可以将行程问题和实际问题相结合，使抽象问题具体化，让学生根据实际生活经验理解行程问题，从而提高教学质量.

如两艘船在江水中的追及问题：“船A在静水中的最大行进速度是每小时32千米，船B在静水中的最大行进速度是每小时35千米，船A和船B在江中行驶，船A顺流而下，船B逆流而上，它们的距离是20千米，江中的水流速度是每小时2千米.在两船都以最大速度行驶的情况下，需要多长时间相遇？相遇时各行驶了多少千米？”在这个问题中，计算相遇时间时需要计算两船的速度之和，而江水流速对两船的速度是一增一减，因此可以不考虑江水的速度，直接用船A和船B在静水中的速度之和以及它们的距离计算相遇的时间.但是在计算船A和船B各自行驶的路程时，则需要考虑水流速度，船A的速度加上江水的速度，再乘相遇的时间即可得到船A路程，船B的路程可以用总的距离减去船A的路程得到.当学生不理解船只行驶的相遇问题时，教师可以让四名学生上台演示，两名学生相向而行，模拟船只的航行；另外两名学生通过向前推和往后拉的方式，模拟水流对船只的影响，从而让学生更容易理解河流中船只的追及和相遇问题.

（二）从审题切入，培养学生的理解能力

审清楚题目是正确做题的前提，行程问题也一样，学生必须完全理解题目的意思，理解每个物体在行程问题中发挥的作用，才能理顺思路，知道如何解题.如在上述船A和船B的相遇问题中，学生在审题过程中必须清楚水流的作用，它对顺流的船只起到加速的作用，对逆流的船只起到减速的作用.但是水的流速，在计算时间方面其实是不起作用的，如相向而行时，计算时两船的速度影响可相互抵消，水流对两船速度的影响分别是一增一减，由水流造成的速度之和为零.若两船是同向行驶，计算它们相遇的时间主要考虑的是两船的速度差和距离，水流对两艘船的作用都是增速或者减速，其速度差为零.因此在计算相遇时间时，可以不考虑水流的速度；在计算各自行驶的路程时，才将水流速度纳入考虑范围.学生如果理解了水流速度的作用，就能更加清楚地理解这种行程问题.

（三）绘制行程图，培养学生的抽象思维

行程问题是一个动态问题，当涉及多个物体的相对运动时，教师可以教会学生使用行程图帮助理解.行程图能够再现物体运动、变化的轨迹，帮助学生分析问题，同时可以激发和培养他们的创新能力.

行程问题一般都与物体的运动有关，因此行程图包括物体的位移、速度等变量，而速度不仅有大小，还有方向，应该用向量表示.因此，一幅完整的行程图包括物体、速度大小、速度方向等.学生绘图时应该坚持以下几个原则：（1）认真审题，准确分析题目的意思，明确各物体之间的相对关系，清晰地掌握速度等参数及其和问题之间的联系；（2）在完成审题的基础上绘图，绘图的过程中应一边读题一边画图，兼顾每个物体的速度等关系，根据它们的条件合理绘图；（3）行程图应该清晰，利用粗细不一的线条或者虚实线等方式进行区分，防止混淆多个物体的运动情况.

（四）从路程、时间和速度这三个关键因素切入

行程问题表面上涉及的是路程的相对变化，但路程的变化是由速度和时间的累积效应造成的，因此，其实质是速度和时间共同作用的结果.在实际解题过程中，教师可引导学生从路程、速度和时间这三个因素中选择一个或者两个关系最简单的作为主线，完成它的计算后，再计算其他因素，从而使整个问题简单化.例如前面提到的行船问题，其时间关系是最为简单的，不受水流速度影响，根据船A和船B在静水中的速度和以及它们的距离直接求取时间，然后利用时间分别求取船A和船B的路程.因此，审题过程中，从最简单的因素着手有助于快速解决问题.

三、行程问题的解法及优化

行程问题通常包括以下幾种情况或由这些基本情况衍生而来：（1）追及问题，这类问题不仅包括简单的一次、多次追及或者相遇问题，也可以衍生出流水中行船的相遇和追及问题；（2）变速变道问题，这类问题需要综合用到比例、分段、分步等多种手段；（3）火车过桥或者涵洞问题；（4）发车问题；（5）时钟问题（循环路径下的相遇和追及问题）；（6）接送问题.

（一）常用的五种解题方法

一般情况下，针对行程问题有五种解题方法：（1）公式法，利用基本公式及其变形，根据题目推理路程和速度、时间之间的关系，直接利用公式计算答案；（2）图示法，图示法通常是一种辅助的方法，但是它能够帮助学生将复杂的问题清晰地展示出来，使学生更容易理解运动的过程，从而更容易解题；（3）比例法，在理解问题的基础上，利用比例关系可以直接求取结果；（4）分段法，在物体的运动速度是变速的情况下，应该把加速、减速阶段和匀速阶段分开，最后把结果合起来计算；（5）方程法，针对关系特别复杂的情况，直接用公式或者比例难以求解，可以根据某个关系列出方程顺利求解.教师在课堂上讲解行程问题时，可以把解题方法和实际问题结合起来.

在实际运用的过程中，这五种基本方法可以相互组合，图示法通常是基础，学生应该掌握好，并在此基础上将公式法、比例法、分段法、方程法等组合起来，解决复杂问题.

（二）行程问题的优化方法

在解决行程问题的过程中，学生应该抓住它们的相对关系进行优化，从而快速地解决问题.例如前面提到的行船问题，两艘船相向或者同向而行，水流对两艘船相遇时间的综合影响为零，因此可以不考虑水流的速度，直接由船A和船B在静水中的速度计算时间，从而快速实现时间的计算，然后考虑水流速度，计算路程.

因此，对于复杂的行程问题，教师可引导学生将其优化成多个基础的行程问题再加起来，并在计算的过程中先计算较为简单的变量，最后计算复杂的变量.

结 论

行程问题涉及路程、速度和时间的动态变化，对小学生而言是比较复杂的问题.学生应该首先掌握基本的行程问题，然后在此基础上学习复杂的行程问题.复杂的行程问题可以分解为简单行程问题的组合，或者变换一个角度，将复杂的行程问题用简单的方式解决.在解题过程中，学生应该结合实际问题进行推演，在认真审题的基础上，绘制行程图帮助理解.行程问题中，物体的路程、速度和时间是解题的关键因素，学生应该紧密围绕这三个关键的因素，分析它们的变化规律，从而找到正确的解题思路，用简单的办法解决复杂的问题.

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