求离散型随机变量的均值与方差的四种方法

⦿ 甘肃省白银市第一中学 姜 雪

离散型随机变量的均值与方差是高考的热点.均值或数学期望,反映了离散型随机变量取值的平均水平,方差或标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,均值与方差是随机变量的两个重要的数字特征.求离散型随机变量的均值与方差有定义分析法、性质求解法、图象转化法、特殊分布法四种方法.

1 定义分析法

ξi-101P14pi1-14pi-pi4pi4

A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)

C.E(ξ1)>E(ξ2) D.E(ξ1)

分析:先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性.

解:根据分布列,可得

例2(2022·浙江湖州市菱湖中学模拟预测)设0

X012P2-a313b

则当a在(0,1)内增大时( ).

A.D(X)增大 B.D(X)减小

C.D(X) 先减小后增大 D.D(X)先增大后减小

分析:根据随机变量分布列的性质,结合方差的公式,将方差用参数a来表示,应用二次函数的性质研究方差随a的变化而增大或减小的规律.

因为0

评注:利用定义法解决此类问题易出现的错误有两点.一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不牢,无从着手;二是计算能力差,不能正确得到二次函数表达式.

2 性质求解法

利用离散型随机变量均值、方差的性质求均值、方差,所用到的性质主要有:E(C)=C(C为常数);E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数);E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);如果X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2),D(X±Y)=D(X)±D(Y);D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

例3设随机变量X的分布列为

X-202P0.40.30.3

求D(X).

解:E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2.

又由随机变量期望的公式,有

E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8.

故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.8-0.04=2.76.

例4一次测验由25道选择题构成,每题选对得4分,不选或错选得0分,满分100分.某学生选对任一题的概率是0.8,求该生在这次测试中成绩的方差.

分析:由于每题选对得4分,故4乘选对的选择题个数就是该生在这次测试的成绩.

解:设选对的选择题个数为ξ,则测试的成绩为4ξ.

于是E(4ξ)=4E(ξ)=4×25×0.8=80,D(4ξ)=42D(ξ)=16×25×0.8×(1-0.8)=64.

故该生在这次测试中成绩的方差为64.

评注:在该题中,测试成绩4ξ被称为是“复合型”的随机变量.运用方差的运算性质去计算方差时,要把握好两点.其一要记准方差有哪些性质;其二要判断选取哪个变量为独立的随机变量,然后“复合”成所要求的随机变量,这是最为关键的一步.

3 图象转化法

正态分布是自然界最常见的一种连续型概率分布,又称为常态分布,许多分布都可以用正态分布来近似描述.与其相关的试题背景新颖、生活气息浓厚,也倍受命题者青睐.

例5设随机变量X～N(3,1),若P(X>4)=p,则P(2

分析:根据题目中“正态分布N(3,1)”,画出其正态密度曲线图(如图1).根据对称性,由P(X>4)=p可求P(2

图1

解:因为X～N(3,1),所以观察图1可得P(24)=1-2p.

故选:C.

评注:X～N(μ,σ2)正态曲线关于直线x=μ对称,且概率的和为1,在关于直线x=μ对称的区间上概率相等.

例6(2022·新高考Ⅱ卷第13题)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=______.

解:因为随机变量X～N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5.因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2

评注:借助正态分布曲线直观分析出曲线关于直线x=2对称,得出P(X>2.5)与P(2

4 特殊分布法

利用常用特殊分布求有些实际问题中随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布、超几何分布等常见的典型分布,若是,可直接利用特殊分布的均值、方差公式求得.

例7(2022·新华区模拟)已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,现从中有放回地摸球8次(每次摸出一个球,放回后再进行下一次摸球),规定每次摸出红球计3分,摸出白球计0分,记随机变量X表示摸球8次后的总分值,则D(X)=( ).

分析:此题中随机变量X服从二项分布,利用二项分布方差公式即可求解.

又X=3Y,根据方差的性质,可得

故选:D.

评注:若离散型随机变量X～B(n,p),则E(X)=np,方差公式D(X)=np(1-p).

分析:此题中随机变量多服从超几何分布,利用超几何分布期望公式即可求解.

故选:C.