“高等代数”“实践—理论—实践”教学模式研究

周慧倩

洛阳师范学院数学科学学院 河南洛阳 471022

1 概述

“高等代数”是高校数学及相关专业的核心基础课程,不仅是学习后继课程的基础,还是解决许多实际问题的工具。但由于“高等代数”概念性强、内容高度抽象以及逻辑推理繁多的特点,一直以来,沿用传统的教材和教法,缺少人文主义精神和趣味性,也缺少理论与实际的联系。学生对所学知识没有兴趣,不是主动学习的探索者,学生普遍只会套用解题、不能真正理解、不知用在何处。而到后继课程或者实际中用到的时候,又不能灵活运用,学生的学习效果并不理想,更谈不上创新能力和实践能力的培养。近50年来,很多教学工作者也做了大量的改革尝试,但指导思想和基本内容无大的变化。总体看来,仍然没有摆脱重理论、轻应用、重公式推导、轻数值计算的弊端,因此“高等代数”教学的改革还任重道远。

教育学研究表明,当学生对所学的内容感兴趣时,才会主动地学习并在学习活动中找到乐趣,从而实现有效的学习。相反,没有兴趣的学习将是枯燥、被动而低效的。通过实践引入知识,再把知识用于实践,能够很好地激发学生的兴趣和动力,从而改变理论知识枯燥无味、学生被动学习的局面,提高学生的学习效果以及实践能力。因此,为了使学生能够主动、有效地学习“高等代数”这门课程,并能够熟练掌握并灵活运用,我们尝试探索“实践—理论—实践”的教学模式:先举实例归纳特点,然后抽象为严谨的代数概念并探索性质,最后介绍推广领域及实践应用实例。

2 研究过程

本课题的研究通过以下四个方面来进行。

2.1 与解析几何相结合,通过几何直观背景引入抽象的代数概念

“高等代数”和“解析几何”是高校数学专业的两大基础课,前者抽象严谨,后者形象直观。在内容上,两门课有着密切的联系,代数为几何提供解决方法,几何为代数提供背景。解析几何的很多问题用代数的知识来解决,而代数的很多概念用可以从几何中抽象而来。在讲解抽象的代数概念时,如果能用几何解释或者给出几何模型,将对理解抽象的概念非常有帮助,然后再反过来把代数概念运用到解决几何问题上,并通过数学软件作图进行直观展示,这样可以在很大程度上消除“高等代数”课程的抽象感,同时提高学生用代数知识解决几何问题的能力。

行列式、线性方程组、向量的线性相关性、线性空间、线性变换以及二次型等很多概念都可以从几何引入并应用于几何。针对这些问题,我们制作了PPT课件《“高等代数”概念的几何引入及直观展示》《二次型与二次曲线和二次曲面》、设计讨论课《三个平面的相对位置》、撰写论文《几何直观融入高等代数教学的探索与实践》《基于“解析几何”精品课程建设的教学改革与评价方式改革》,并提出了将代数与几何并教学的构想,制作PPT课件《高等代数与解析几何合并教学的探讨》。我们及时将这些设计应用于课堂教学,取得了良好的效果。

典型案例一:二、三元线性方程组的几何意义。

在几何上,一个二元一次方程表示的是一条直线,两个方程的二元线性方程组的解的情况可以反映两条直线的位置关系:

(1)两直线相交⟺该方程组有唯一解;

(2)两直线平行⟺该方程组无解;

(3)两直线重合⟺该方程组有无穷多解。

多个方程的二元线性方程组在几何上则反映多条直线的位置关系。

下面通过具体例子用Matlab作图展示。

例1:

(2)

(4)

以方程组(1)为例:在Matlab的M文件编辑器中,输入:

syms x1 x2 %定义x1、x2为符号变量

U1=rref([1,2,5;2,-3,-4]) %把增广矩阵通过初等行变换变为最简阶梯矩阵

subplot(2,2,1) %准备画2×2个图形中的第一个

ezplot('x1+2*x2=5') %绘制直线x1+2*x2=5

hold on %保留原来图形

ezplot('2*x1-3*x2=-4') %再绘制直线2*x1-3*x2=-4

title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4') %在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4

grid on %显示网格

绘制图形如下:

类似可讨论三元线性方程组,它的解的情况在几何上反映空间中平面之间的位置关系。

典型案例二:线性空间中,线性变换y=Αx(其中A为方阵)的几何意义。

例2:平面上,线性变换y=Αx表示将向量x逆时针旋转一定角度。讨论经过线性变换yi=Aix(i=1,2,3,4),向量在几何上所发生的变化。

用Matlab作图如下:

2.2 渗透建模思想,结合其他学科,合理运用教学软件

“高等代数”的内容虽然比较抽象,但都是来源于实际问题、为解决实际问题而引入,其中涉及的多数概念和方法都有很强的实际背景。随着计算机技术的发展,社会的信息化、定量化不断加深,使得代数学的应用越来越广泛。原来大家认为抽象的代数方法如今在管理学、物理学、化学、生命科学、地理科学以及语言学等方面都发挥了重要的作用,并发展出了计算机代数、代数编码理论、代数图论等诸多应用学科,因此“高等代数”课程具备极其丰富的数学模型题材。在实际教学过程中,无论是在数学概念的讲解中,还是在对问题的分析以及思维的拓展上,不断反复地强调数学建模的思想,并适当地运用Matlab和mathematics等数学软件,将数学建模思想融合到每一个教学细节上,对我们学生掌握好数学知识,在实践中熟练运用数学知识,培养创新思维能力,都具有很大的帮助。

针对这一思想,我们在课堂上讲授矩阵概念的时候,通过城市之间的航班情况、石头剪刀布的零和问题等来引入;讲授行列式时,通过货物交换的经济模型和费用分摊问题来引入;讲授特征值和特征向量的时候,通过昆虫繁殖产卵的问题来引入;讲授线性方程组时,结合我们熟悉的交通问题,设计了一节讨论课“线性方程组和交通流量问题”;设计行星轨道计算问题,这个可以用线性方程组理论和最小二乘法来解决。

典型案例一:矩阵概念的引入。

例3:航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市之间开辟航线,下图表示了四个城市间的航班图,如果从甲到乙有航班,则用带箭头的线连接甲与乙,若两城市之间没有航班则不连线:

则上图可以用矩阵表示为:

典型案例二:行星轨道问题。

例4 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道,他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系,在两坐标轴上取天文测量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离:1.4959787×1011m)。在5个不同的时间对小行星做了5次观察,测得轨道上5个点的坐标数据如下表:

x1x2x3x4x5x坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5y坐标0.6481.2021.8232.5263.360

由开普勒第一定律知,小行星轨道为一椭圆。请建立小行星轨道的方程:ax+bxy+cy2+dx+ey=1,并确定椭圆的焦点坐标、长轴、短轴的长度。

对如上实例的求解实际上是解一个线性方程组,但就实际意义而言,观测数据总是有误差的,因此,观测的数据越多对我们计算越有利,但是若有更多的数据,则得到的方程组可能无解,但可以由此引入线性回归最小二乘数学模型得到需要的解。

2.3 结合历史背景和人物介绍以及前景介绍

大多数《高等代数》教材都侧重于系统、抽象的理论介绍,而对这门学科的发展历程和相关概念、方法的产生背景很少提及,这就导致学生很难体会到代数学的重要性,不理解它作为现代数学基石的意义何在。针对这一弊端,我们根据课程内容,在教学中适当增加了代数学发展相关背景以及关键数学家人物的介绍,专门制作了课件《高等代数发展简介》,以备使用。学习集合相关理论时,穿插介绍集合论奠基人康托尔的生平事迹、集合论的发展历程,使学生了解集合论是现代数学的基础;数学归纳法是“高等代数”中非常重要的一种理论证明方法,为了让学生熟练掌握,我们设计了一次讨论课“数学归纳法”,介绍第一第二归纳法的背景、原理、证明和使用;学习行列式时,介绍行列式的发展过程,包括行列式的最早提出者日本数学家关孝和及德国数学家莱布尼兹的生平,范德蒙德、拉普拉斯等数学家的贡献,以及行列式与中国数学的关系;在讲授代数基本定理时,介绍古今中外的数学家对代数方程求根的探索、费马大定理的提出与证明、数学天才阿贝尔伽罗瓦的故事,这些数学家的贡献对整个代数学乃至数学各学科产生的重要影响等。这样在一定程度上活跃课堂气氛、增加学生的学习兴趣,并且可以让学生感受数学的魅力及数学家的不懈追求和奉献精神。

2.4 注重教学延伸,引导学生深入思考

在一些理论的学习中,如果仅仅停留在教材表面,不做深入探索与思考,那么对知识的理解也不够深刻,知识点之间的联系也不清楚,解决综合问题就会很困难。因此,我们应注重教学延伸,引导学生对问题深入思考,多挖掘各理论之间的联系。比如,在学习初等变换求矩阵的逆时,启发学生探索一个矩阵作初等变换之后,相应矩阵的逆矩阵发生什么变化,为此我们设计讨论课“初等变换对逆矩阵的影响”;后面学习特征值、矩阵对角化时,启发学生探索相应的反问题,比如已知一个矩阵的特征值和特征向量,如何反过来求该矩阵,该矩阵是否唯一,这个问题的讨论还要用到“初等变换对逆矩阵的影响”的相关结论。

在课题研究和实践过程中,项目组成员还撰写了《关于线性代数教学的探讨》《关于逆序数相同的n级排列个数的讨论》《一类六对称五次多项式系统等时性的判定》《大学数学教学改革的探索》《教学效果评价方法研究》等教学研究论文。

3 总结

通过两年的探索、尝试以及课堂实施,这种“实践—理论—实践”的教学模式初步形成,我们的研究取得了很好的效果:通过几何直观和数学模型引入概念,注重知识的来源与应用,很大程度上消除了“高等代数”课程的抽象感;引入发展背景和人物介绍、与其他学科的关联及前景展望,提高了学生的兴趣和积极性;注重知识的延伸和应用,通过实际案例,设计讨论课,建立模型并用软件解决,加深了学生对所学知识的理解,让学生认识到这门课程的价值,有助于学生掌握严谨的代数思想方法,锻炼学生的逻辑思维和推理能力,从而培养学生解决生活生产实践中遇到的实际问题的能力。

关于“高等代数”的实践教学改革,今后还有待进一步研究,包括建立比较完善的课件资料库,形成一整套实践教学方案,针对各种典型的知识点提供比较好的支持,从引入、理论学习到实践都有系统有效的课程设计等。另外,我们把高等代数和解析几何以及数学模型等课程相结合,和这些课程的冲突或者重复如何协调,这也是一个需要解决的问题。