一道抛物线问题的思路突破与教学微设——以2021年常州市中考卷抛物线问题为例

陈 超

⦿ 江苏省苏州高新区实验初级中学

1 考题呈现,思路突破

1.1 考题呈现

(1)填空:k=______,b=______;

(2)设点D的横坐标为t(t>0),连接EF,若∠FGE=∠DFE,求t的值;

1.2 思路突破

本题为以抛物线为背景的函数综合题,题设三问,分别求直线与抛物线的特征参数,分析等角关系下的坐标值,以及探究几何面积的构建.

(2)该问探究当∠FGE=∠DFE时点D的横坐标,图象较为复杂,解析的关键是转化等角条件.

第一步,推导关键点的坐标.

图2

第二步,构建方程求坐标.

点评：第(2)问的题设有两大特点:一是等角条件所涉角度与平行四边形的内角相关;二是平行四边形的一组对边平行于y轴.按照“等角转化—关键点推导—构建坐标参数方程”的思路进行解题,即首先将等角转化为等边条件,然后推导关键点的坐标,基于三角函数构建参数方程,进而完成求解.其中,平行四边形的特征性质与三角函数是破题的关键知识.

第一步,转化面积条件.

图3

第二步,构建线段关系.

点评：第(3)问则是将函数与图形面积紧密关联,同样特点鲜明:一是构建三角形与四边形的面积关系;二是隐含众多平行与垂直关系.故探究线段长需分步进行:转化面积关系条件,推导线段长,利用三角函数构建坐标参数方程.其中的破题方法特点突出,实用性强.

2 基于考题开展教学微设计

上述充分利用数学思想和解题方法来破解考题的后两问,教学中需要重视思维的引导,合理设问引导学生独立思考,帮助学生理解方法,形成自我的解题策略.下面基于第(2)(3)问开展教学微设计.

环节一：知识强化,初识图象

图4

设问1根据函数解析式提取特征参数,并求点A,B,C的坐标.

设问2理解构图过程,梳理条件,提取其中的几何性质.

设计意图：直接呈现函数解析式,强化特征参数,掌握求交点的方法,同时引导学生读题,把握图象构建过程,理解图象,提取几何性质,为后续探究作铺垫.

环节二：拾级而上,转化构建

在环节一的基础上,进一步设定:如图2,过点A作EG的垂线,设垂足为M,延长GE与x轴的交点设为N.设点D的横坐标为t(t>0),连接EF,∠FGE=∠DFE.

设问1在平行四边形DEGF中,可以得出怎样的线段关系?△DEF有怎样的特性?

设问3分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC,是否有cos∠AOC=cos∠AEM?并求该函数值,

设问4请在Rt△AEM中构建cos∠AEM,并求出t的值.

设计意图：将第(2)问的解析过程进行拆解,引导学生转化条件,推导关键坐标和线段长,利用三角函数构建方程求解,使学生充分体验解题过程.

环节三：思维发散,提升能力

设问3已知∠FDQ=∠ODH,在Rt△ODH中构建三角函数,求cos∠ODH的值.

设问4根据上述三角函数构建的边长比例,推导DF,DQ,DA的线段长.根据DA+OD=5构建关于t的方程,进而求出OD.

设计意图：拆解第(3)问的解析过程,引导学生转化面积条件,充分利用三角函数知识来构建方程.同时引导学生体会解题的思想方法,感悟思想内涵.

解题教学建议采用教学微设计的方式,微设环节精选问题,合理拆解问题,通过设问来引导学生思考,探索解题步骤,体会解题过程,促进解题思维的发展.设计环节要注意两点:一是问题设计的连续性,采用连续设问来引导学生递进思考,促进思维形成;二是问题设计的导向性,关注学生的认知能力,利用具有引导性的问题来辅助学生思考.总之,整个教学环节要尊重学生的主体地位,给学生留足思考空间,以培养学生的解题思维为教学重点.Z