对初中数学解题教学的思考与优化

陆 燕

⦿ 江苏省苏州工业园区朝前路实验学校

高效、高质是解题教学的重要目标,然在实际教学实践中却存在着一些不利于高效解题的现象,如,教师在解题教学时大包大揽,学生的思路跟着教师走,解题教学以灌输为主;对课本例习题的挖掘不够,仅关注习题的量,对习题的真正设计意图视而不见,忽视了其内涵和外延的开发.这些不良现象的存在,严重影响了解题效率的提高,限制了学生思维的发展.为了改变这些不良现象,笔者结合教学实践做了一些简单分析,并有针对性地提出了一些优化策略,供同行参考.

1 拓展例习题,培养创新思维

课本上的例习题具有一定的典型性和示范性,大多中考题都是以课本中的例习题为原型,对其进行改编而形成的.然部分学生却对这些改编题感到陌生,其主要原因就是对例习题的学习不够深入,因而无法从原有的认知中提取有用的信息,限制了解题能力的提升.为此,在解题教学时要充分利用这些原生资源,通过对其进行演变和引申,培养学生思维的变通性和灵活性,从而提升解题能力.

案例1如图1,正方形ABCD的两对角线交于点O,且点O又是正方形A′B′C′O的顶点,若正方形ABCD与正方形A′B′C′O的边长都为a,现将正方形A′B′C′O绕点O旋转,旋转过程中正方形ABCD与正方形A′B′C′O相交部分的面积是否发生变化呢?若变化,说明理由;若不变,求出面积.

图1

演变1正方形ABCD的边长为a,正方形OMNP的边长为b,且a

演变2如图2,将三个边长都为2的正方形两两叠放,其一边的端点为另一正方形的对称中心,这两部分阴影的面积S1,S2为何值?

图2

演变3如图3,正方形ABCD的边长为1,按住正方形ABCD顶点D不动,使正方形绕顶点D逆时针旋转45°形成正方形DEFG,求BH的长.

图3

演变4如图4,O为长方形ABCD的对角线交点,AB=4,BC=8,当正方形OEFG绕点O旋转,从OE与OB重合开始到OG与OC重合停止,求重合面积的最值.

图4

演变1让学生体会旋转的正方形边长大于或等于另一正方形时,其重叠部分的面积保持不变;演变2将两个正方形拓展至三个正方形,引导学生应用并拓展原有认知;演变3将旋转的中心点迁移至顶点,利用原题的思路,通过证明全等的方法可轻松地求出BH的长;演变4将其中的一个正方形转变为矩形,三角形的面积又会如何变化呢?这样一系列的变化和思考,不仅让学生发现了不变的规律,又深刻地理解了不变的原理,进而从特殊中发现一般规律.相信通过一系列的拓展,学生在解决此类问题时逐渐可以得心应手.

2 引导习题改编,深化认知

在数学学习中,部分教师认为多做、多讲才是学好数学的前提和保障,但实践证明机械盲目地重复练习,学生不仅容易出现思维定势,而且容易出现消极的抵触情绪.因此,这并非真正提升学生学习能力的优秀方案.那么,什么样的方案才可以改变这一现象呢?笔者认为不妨让学生进行错题改编,学生在改编时势必会预设一些小陷阱、小技巧,这无疑对学生的审题能力和分析能力的提升大有椑益.

案例2已知等腰三角形ABC的周长为14,其一边长为4,求△ABC的腰长.

这是一个简单的分类讨论题目,但学生在解题时因审题不够充分,分类意识淡薄,盲目地认为已知边是底边,从而求得腰长为5,这样就遗漏了腰长为4的答案,造成错误.

错题改编已知等腰三角形ABC的周长为14,其一边长为2,求△ABC的腰长.

这是学生改编的一道题目,该题目也是因指代关系不明而引申的问题,其表面上看与例2相同,但却蕴含着对三角形三边关系的思考.因假设腰长为2,则三边长分别为2,2,10,显然不存在这样的三角形.学生在改编时不仅考虑了上面的分类情况,又增加了三边的验证,显然该题目的改编是成功的.通过习题的改编不仅发展了学生分类讨论意识,而且有利于培养学生思维的严谨性.可见,引导学生进行习题改编,不仅有利于知识的巩固和强化,也能潜移默化地提升学生的学习能力.然在现实教学中,谈到习题改编,部分师生会认为那是教师的工作,也是教师的专利,以致于让学生错过了提升自我改编、分析和解决问题能力的绝佳机会.因此,在教学中,要引导学生进行习题改编,尤其要重视对错题的改编,这样既可以进一步深化学生对错误的认识,又能让学生展现自己的学习能力,有利于自主学习能力和解题能力的提升.

3 放手操作,发展思维

在新课改的推动下,教育更加关注学生自主探究能力的培养,而放手让学生动手做数学是培养学生自主探究能力的有效的途径之一.只有放手让学生去做数学,其才能将所学的知识应用到现实生活中,从而在解决问题的过程中不断地去实践、发现、总结,找到更易于操作的解决方法,最终实现“学以致用”的教学目标.

案例3相似三角形的应用.

师:你们会测量旗杆的高度吗?

生齐声答:会!

师:很好,你们会用几种方法呢?(教师放手让学生合作交流,让不同思维发生碰撞从而形成新思路.经过讨论,学生设计了不同的解决方案,教师让学生进行板演.)

生1:如图5,在离AB一定距离的地面上放一面镜子,根据平面镜成像原理求解.(教师看部分学生还没有理解其真正意图,继续追问.)

图5

师:你是怎么做的呢?

生1:假如在与AB相距16 m的点G处放一面镜子,若人退后到距离镜子1.8 m的E处时,刚好可以看见旗杆顶(即EG=1.8 m),此时人眼距地面的高度DE=1.4 m.根据△DEG∽△ABG,容易求得AB.(经过生1的细致分析,学生恍然大悟.)

师:再说说其他方案.

生2:可以直接利用锐角为30°的直角三角尺.

师:你具体是怎么想的呢?

生2:如图6,当人眼D、三角尺斜边DF、旗杆顶点A在一条直线上时,又DG,DC,FG的值可以测量,故可以利用△DFG∽DAC求出旗杆高度.

图6

在教师的鼓励下,学生又借助影子、木杆等方法求出了旗杆的高度.形成基本思路后,教师可以将课堂迁至操场,让学生根据现有工具进行实际测量,充分感受动手的乐趣.在此过程中充分展示了学生的动手实践能力,挖掘了学生的探究潜能,不仅让学生在合作学习中体验了数学的应用价值,又发展了学生的数学思维.

4 注重阅读,提升分析能力

解题教学的一个重要环节就是审题,而审题能力的强弱又与学生的数学阅读能力密不可分,因此,若要培养学生良好的审题习惯,应从阅读习惯开始抓起.然教学中,部分学生常急于求成,依赖自己的经验解题,致使常出现“会而不对”的现象,因此教学中教师必须放慢脚步,给学生足够的时间充分读题,通过“读”提取有关信息,进而通过对有关信息的关联与重组,找到解决问题的最佳方案.

案例4如图7,已知△ABC为锐角三角形,其中BC=40 cm,AD为△ABC的高,其长度为30 cm,现想在△ABC中截取一个最大的正方形EFGH,要求正方形的顶点E,F在边BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,求正方形EFGH的边长.

图7

在解本题之前教师让学生仔细阅读并提出问题,学生反馈的问题有如下几个:

(1)为什么点E,F在BC边上,而不是在另外两条边上呢?

(2)若△ABC不是锐角三角形又有何不同呢?

(3)如果将△ABC变为四边形或多边形,又该如何求解?

(4)最大面积是正方形有没有特殊的意义?

通过仔细阅读和推敲,学生提出了不同的问题,这样在阅读中思考不仅有利于问题的解决,而且有利于学生数学思维能力的提升.

总之,要提升学生的解题能力就必须避免就题论题的现象,重视习题的拓展和延伸,放手让学生思考和探究,使其在探究中发现一般规律,从而形成解题策略,提高解题效率.Z