面向轨道交通接驳的多模式公交线网优化

范美岑， 罗斯达

（1.北京交通大学交通运输学院，北京 100044；2.北京交通大学综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044）

引 言

近年来，轨道交通不断发展，在公共交通中的客流分担率不断提高，与此同时，地面公交受交通拥堵影响严重，对于出行者的吸引力逐步下滑。轨道交通虽然有长距离出行优势，但是也存在“最后一公里”出行痛点，地面公交应围绕轨道交通接驳，更好地提升服务品质。大城市在轨道交通逐渐占据主导的背景下，常规公交亟须改变发展定位，加强与轨道交通的互补关系。明确多模式公交的定位，据此开展公交线网优化，对于城市交通可持续发展具有积极作用。

国内外很多学者都对公交线网优化和多模式线网结构做了一定研究。常见的公交线网优化设计问题所研究的内容是，在一定约束条件下通过公交线路的选择以及服务频率设置使得整个公交系统利益相关主体的目标最优，其实质是系统最优决策问题。常用的目标函数有乘客出行时间最短、换乘次数最少、公交部门投入最少、直达客流密度最大等；约束条件包括线路规模、线路长度、线路非直线系数、客运能力等；决策变量通常包括公交线路、站间距、发车频率等。

王振报等［1］提出“分区服务、逐层展开、整体优化”的思想，从快线、普线、支线三个层次分别进行线网优化及布设。王炜［2］采用“逐条布线，优化成网”的方法，先确定起点和终点，再根据两点间的最短路布线。陈洪仁等［3］以居民乘车时间最短和公交部门投入最少为目标建立模型，从节点、线路、线网三个方面建立约束条件，对公交线网进行优化。王志栋［4］选取社会总出行时间最小、乘客直达率最高等几个目标建立多目标规划，模型目标明确，思路清晰，但是模型求解较为复杂，需要不断调整。

Daganzo［5］将公交网络简化为方格网，中心区域可达性是外围区域的两倍，在建立目标函数时将运营成本与用户成本统一成时间维度的成本，对最小出行时间进行优化。Badia 等［6］对Daganzo 提出的网络进行了重构，中心采用环形放射状网络，边缘采用轴辐式网络。选取中心区域大小，车头时间线间距和站间距作为决策变量，系统总成本最小为目标进行优化。Liu 等［7］考虑在共享单车的影响下，以最小化出行者平均等待时间和最大化运营利润为目标，优化接驳公交的车队规模及排班。陈彪［8］研究了微循环公交接驳地铁的问题，将研究区域划分为若干网格，兼顾微循环公交线网布局和线路发车频率，以系统总成本最小化为目标，考虑线路长度、线网总服务范围等约束，构建了混合整数优化模型。Nam等［9］研究了合乘、公交、共享单车、步行所构成的混合接驳系统，并且每种方式都是多层网络中的一层，各层分别计算。文章还扩展了单一的公交接驳站点以提升匹配率。Su 等［10］研究了公交干线为方格网下的接驳系统。Li 等［11］研究了共享单车和常规公交接驳轨道交通的问题。

Nourbakhsh 等［12］提 出 了一种灵活公交 服 务 模式，没有固定线路，公交在各个服务区内接送乘客。网络结构中心为双倍覆盖率的方格网，外围是单倍覆盖率的轴辐式网络。选取服务区域数量，车头时距以及中心区的比例作为决策变量，以总出行成本最低为目标进行优化。结果表明，与固定线路公交和出租车相比，灵活公交系统在中低需求下成本更低。Shi 等［13］改进了Nourbakhsh 所提模型，将其应用于环形放射状路网结构中，用连续近似法求解模型参数来确定最优网络结构，该模型对于大多数城市的实际路网有更强的适用性。一些学者还对需求响应式公交与常规公交或地铁进行了联合优化设计。Chen 等［14］分析比较了需求响应式公交的两种服务模式：沿常规公交线路运行和以公交站点为中心在一定区域内运行。Chen 等［15］还探讨了常规公交线网呈环形放射状布设下需求响应式公交线路的两种布设方式：一种是围绕公交环线布设，一种是围绕径向公交线路布设。数值分析及仿真结果表明，两种布设方式效果相似，并且在城市较大时均优于简单方格网状的混合公交系统。Luo 等［16］在此基础上考虑了需求异质性的影响，CBD 区域和城市外围区域采用不同的需求函数，结果表明需求集中在城市中心区域时能够有效降低系统成本。

现有的对于接驳公交网络的研究大多只考虑了单一的接驳方式，有些考虑多种接驳方式的研究侧重点也在于出行者的方式选择行为，没有对多种接驳方式下的多模式公交线网优化开展研究。本文面向城市轨道交通的接驳问题，在MaaS 理念下探究轨道交通、常规公交、需求响应公交构成的多模式线网的协同优化，为公交企业降本增效提供量化依据。

1 模型建立

1.1 多模式公交线网结构

常规的单一模式公交线网结构中，无论出行者的出行远近均只能采用一种公共交通方式出行，客流密度不同的市区与郊区采用相同的线网布设方式势必造成资源的浪费，也影响出行者的出行体验。而在多模式公交线网中，需要考虑多种交通方式的竞合关系，根据每种公交模式的特点合理确定其服务范围及布线方式。首先定义本文提出的多模式公交指轨道交通、常规公交和需求响应式公交三种方式所构成的交通系统，混合接驳指常规公交与需求响应公交两种方式共同接驳轨道交通。本模型面向轨道交通接驳，首先建立轨道交通网络如图1 所示。在东西向与南北向分别布设轨道交通线路，假设每个出行者均选择距离最近的轨道站点出行，则在空间上可根据每个站点划分一个客流吸引区域，该区域称作轨道交通站点影响区，影响区大小可通过模型进行优化，将每个影响区作为一个单元，可将整个城市区域看作多个可重复单元构成。在每个单元内建立混合接驳公交网络如图2 所示。图中黑色粗实线表示轨道交通线路，黑色细实线表示常规公交线路。离轨道交通站点较远的区域由常规公交进行接驳，轨道交通站点周围的区域则由需求响应式公交接驳。常规公交在纵向的站点处接上乘客后横向不停站直接将其送至最近的轨道交通站点。需求响应式公交纵向沿轨道交通线路行驶，接到乘客的出行请求后横向在服务区范围内将乘客接驳至轨道交通站点，图2 中曲线为需求响应式公交的大致路线。模型中还设置了步行区域，当与轨道交通站点距离较近时，出行者直接步行至站点。

图1 主体轨道交通网络结构Fig.1 Rail transit network structure

图2 混合接驳公交网络Fig.2 Hybrid feeder bus network

1.2 企业运营成本

企业运营成本包括所有车辆的运营里程Q以及运营所需的车队规模M。

1.2.1 运营里程

运营里程Q为：

式中Q1，Q2，Q3分别表示轨道交通、常规公交和需求响应公交的运营里程［17］：

式中α为区间出行比例；λ为单位时间单位面积内的出行发生量，单位：pax/h/km2；D表示城市边长，单位：km。

1.2.2 车队规模

用所有车辆完成对应运营里程所需的时间来表示车队规模，则各种方式的车队规模均包括车辆正常行驶的巡航时间以及其他原因产生的延误。

式中M1，M2，M3分别表示轨道交通、常规公交和需求响应公交的车队规模，单位：h。

式中Vi（i=1，2，3）表示巡航速度，单位：km/h；t1表示轨道交通在每个站点的停站时间，单位：h；t2表示公交每站加减速损失时间，单位：h；t2′表示一个乘客上下车所需时间，单位：h；t3表示使用需求响应式公交时一个乘客上下车所需时间，单位：h。

1.3 用户出行成本

用户出行成本包括步行时间、等车时间、在车时间、换乘时间四部分，首先计算每种接驳方式的选择概率。用服务区域面积占整个城市区域面积的比重表示出行者选择各接驳方式的概率，各接驳方式的选择概率表示如下：

乘坐常规公交概率：

步行概率：

乘坐需求响应式公交概率：

式中S1，S2分别表示轨道站间距和公交站间距，单位：km；β表示最大步行距离与需求响应公交服务区域边长之比。

1.3.1 步行时间A

步行时间包括步行至轨道交通站点的时间和步行至常规公交站点的时间两部分：

式中vw表示步行速度， 单位：km/s。

1.3.2 等车时间W

等车时间包括接驳公交的等车时间以及轨道交通的等车时间，将每种交通方式的等车时间取为对应发车间隔的一半。出行者换乘会产生额外的等车时间，首先计算期望换乘次数eT：

则等车时间W：

式中N1表示南北向轨道交通线路数，单位：条；H1，H2，H3分别表示轨道交通、常规公交、需求响应公交的发车间隔，单位：h。

1.3.3 换乘时间PT

出行者在出行过程中总是希望换乘尽量少，因此模型设置了换乘惩罚来表征这一特性。本文考虑轨道交通接驳，接驳交通方式与轨道交通间的换乘为必要换乘，换乘惩罚仅针对轨道交通内部换乘。

式中δ表示轨道交通内部换乘一次所需的平均步行距离，单位：km。

1.3.4 在车时间T

在车时间可用乘客平均在车里程（乘客乘坐车辆时行驶的距离）与车辆行驶的平均速度的比值表示。本模型中假设所有出行均需要使用轨道交通，因此在车时间包括轨道交通在车时间和接驳交通在车时间两部分：

式中E1，E2，E3分别是轨道交通、常规公交、需求响应式公交的在车里程，单位：km；Vc1，Vc2，Vc3表示对应方式的实际运行速度，单位：km/h。

需求响应式公交的横向绕行里程较难表示，这取决于乘客的数量，用车辆纵向里程与总里程之比近似替代乘客期望在车里程与总在车里程之比［17］，可得到需求响应式公交在车里程：

其中，

1.4 目标函数与约束条件

本模型中系统成本包括公交企业运营成本及乘客出行成本，对于企业来说，成本体现为费用，对于出行者来说，成本体现为出行时间，因此引入两个函数，将运营费用转化为用户出行时间。

单位运营里程等效用户出行时间和单位运营时间等效用户出行时间：

式中YQ为单位里程运营费用，元；YM为单位时间运营费用，元；μ为出行者单位出行时间等价的货币价值，元/h。i取1，2，3 时分别表示轨道交通、常规公交、需求响应式公交的对应参数。

轨道交通线路数和常规公交线路数均应为整数，步行区域也不能过大，约束β的范围为0~0.5。本文在设置约束时将发车间隔约束取得较松，仅设置在0~1之间，在实际案例研究及应用中可根据实际情况收紧约束。模型目标函数及约束条件表示如下［5］：

本文假设出行者的出行需求在空间中均匀分布，因此整个研究区域内轨道站间距和公交站间距不随空间变化而变化，整个网络中相邻两轨道线路间的公交线路数N2均一致。由于需求均匀分布，因此同种交通方式不同线路的发车间隔H也均一致，只对不同交通方式的发车间隔作区分。实际公交运营中可根据客流需求对不同区域的公交线路数和不同线路发车间隔进行灵活调整。

2 模型求解

本文所建立的优化问题为混合整数非线性规划，决策变量数较少，采用遗传算法进行求解。求解具体步骤如下［18］：

（1）初始化。设置最大进化代数为200，即寻求最优解时最大迭代200。初始种群规模对应不同公交线路数、不同服务区域划分所形成的可行方案集，设置该值为100。

（2）个体评价。计算初始群体中各个个体的适应度，其中每一个个体对应一种可行方案。遗传算法中适应度函数值越大，个体越优，本文求解目标为系统成本最小，因此将目标函数的倒数设置为适应度函数［19］。

（3）选择操作。选择算子适用于一个种群，以便根据个体的适配性，按照一定的规则或方法，选择一些好的个体继承到种群的下一代：

式中N为种群规模，xi表示第i个个体。

（4）交叉操作。交叉算子被应用于种群，选定的一对个体以一定的概率交换一些染色体，产生新的染色体。染色体为对应可行方案的具体解。本文中设定的交叉概率为0.7［20］。

（5）变异操作。变异算子被用于群体，以一定的概率将所选个体中的一个或一些基因（可行解中对应的各决策变量）的值改变为其他等位基因。本文将变异概率设置为0.07。

（6）循环操作。选择一个初始种群，进行选择、交叉和变异以产生下一代种群。计算其适配值并根据其适配值进行排序，为下一次遗传操作做准备。

（7）终止条件判断。遗传算法的终止条件通常有以下三个：①种群中个体的最大适应度超过预定值；②种群中个体的平均适应度超过预定值；③世代数超过预先设定值。只要满足任意一个条件算法即终止，输出当前最优解。本文将最大迭代次数200设置为算法终止条件。

求解过程如图3 所示。

图3 求解过程Fig.3 Solution process

3 案例分析

苏州是江苏省下辖的地级市，是长三角区域重要的高新技术产业基地和风景旅游区。根据苏州市2022 年统计年鉴［21］，苏州市区公交运营线路为633条，其中吴江区176 条，大部分公交线路集中分布在姑苏区、虎丘区、相城区等中心城区，公交线路总长度超过10000 km，运送乘客超3 亿人次。轨道交通线路7 条，运营里程为2787 万列公里，客运量超4 亿人次，地面公交与轨道交通共同服务大部分城市居民出行。根据苏州城市特性及参考文献对模型参数取值如表1 所示［12，17］。

表1 参数取值Tab.1 Parameter values

将输入参数代入模型，求解得到其他决策变量及成本结果如表2 所示。

表2 模型结果Tab.2 Model results

轨道线路为6 条时，模型优化得到所需的常规公交线路数是2N2N12共540 条，该区域内原有公交线路为633 条，将公交用于接驳轨道交通后，不再需要跨区域的长线公交，公交线路由原有的长线变为短线，与轨道走向重合的原有的一些大站快线车所服务区域也可由需求响应公交提供接驳服务，公交线路减少后可将节约的成本用于提高发车频率，优化服务质量。从优化结果看出，本文所提多模式公交线网需要有较高的发车频率，轨道交通发车间隔为3 min，常规公交和需求响应式公交的发车间隔分别为5 min 和3 min。根据线路数计算得出公交站间距为380 m，β取值为0.5，表明在距轨道交通站点190 m 的范围内出行者会选择步行至站点。居民一次出行的用户成本为1.12 h，企业成本为0.11 h，总时间成本为1.23 h。本文通过模型求解得到的最优线路数及发车间隔仅用于宏观层面指导公交线网优化，即原有线路数应增加或删减，原有发车间隔应延长或缩短，实际调整程度需要运营主体视实际情况而定。

将决策变量取值固定，即线网结构和发车频率都取苏州目前城市特性参数下的最优值，设置三个不同场景模拟城市的发展过程，比较不同场景下的出行成本较初始成本的变化，探究最优线网结构对于城市发展的适应性。设置场景如下：

场景1：城市需求水平变为原来的1.5 倍，即λ=450 pax/(h‧km2)，这种场景可以表征苏州市居民出行需求变大或者出行需求更集中的情况。

场景2：城市边长变为原来的1.5 倍，即D=52.5 km，这种场景可以表征苏州在城市发展过程中城市规模扩大的情况。

场景3：出行者时间价值变为原来的1.5 倍，即μ=22.5 元/h，这种场景用于表示苏州市GDP 增长，居民工资水平提高的情况。

分析结果（见图4）发现，最优线网结构能够应对城市需求水平和经济水平在一定范围内的变化，甚至当需求和时间价值变高时，采用初始最优的线网结构成本还会有所下降，主要是运营成本下降较多。而当城市边界向外扩张时，初始最优线网结构就难以应对了，系统成本增加的较快，主要体现在城市变大后居民的出行距离变长，其中在车时间T会变得较大。这种情况下就需要输入新的城市边界大小对线网结构进行调整。

图4 不同场景下系统各项成本变化Fig.4 Cost changes of the system under different scenarios

基于苏州案例对模型进行敏感性分析，选取时间价值、城市边长和需求水平三个参数，探究参数变化对系统成本的影响，其余参数取值同表1。出行者时间价值从某种程度上可以反映一个城市的发达程度，将时间价值分别取5，15，50 元/h，用于表征不同发达程度的城市。如图5 所示，时间价值越大，城市越发达，混合接驳系统成本越低，尤其是在中低需求水平下这一特征更明显。

图5 时间价值对系统成本的影响Fig.5 The impact of time value on system cost

分别将时间价值取为15 和50 元/h，分析需求水平和城市大小变化对成本的影响。如图6 所示，在不同时间价值下，均是小城市中高需求下系统成本较低，当时间价值为15 元/h 时，小城市低需求下系统成本会较高，当时间价值为50 元/h 时，大城市高需求下系统成本表现得较高。综合来看，混合接驳系统更适用于城市半径较小，但出行需求较高的区域。

图6 D 和λ 变化对成本的影响Fig.6 The impact of changes in D and λ on cost

通过以上敏感性分析结果可知，系统成本随时间价值的变化整体呈现小幅的上升或下降，且当需求较高时变化幅度变得较小，可见本文所提的模型具有一定的稳定性。

4 结 语

本文在MaaS 运营商协同发展多模式公交系统的理念下，采用常规公交、需求响应公交共同接驳轨道交通（混合接驳），提出轨道交通、常规公交和需求响应公交的多模式公交线网布局，构建三种公交模式的线网协同优化模型，并以苏州为例进行案例分析。选取需求水平、时间价值及城市大小这几个参数对模型进行了敏感性分析，验证了混合接驳网络模型的有效性和鲁棒性。研究结论如下：

（1）混合接驳系统结合了常规公交与需求响应式公交的优势，在低需求下降低了运营成本，在高需求下降低了用户成本，总体来看，在丰富用户出行选择的同时有效降低了系统成本。

（2）混合接驳模型中重新考虑了常规公交在多模式公交系统中的定位，将其完全用于接驳轨道交通，能够有效减少公交线路数，常规公交以短线高频的方式接驳轨道交通有效提升了服务质量。

本文假设需求在空间上均匀分布，与实际情况有一定出入，后续研究可考虑建立需求函数，考虑需求在时间、空间上的异质性，还可考虑弹性需求的影响。