“以研促教”模式下非线性动力学教学方法探究

他吴睿 刘洁 陈华 刘聪 张娟娟 高原文

摘  要：非线性动力学课程抽象性强、内容知识点多，教学效果很难保证。该文介绍“以研促教”教学模式，将科研探索融入教学实践，在教学过程中遵循“了解现象—提出问题—调研进展—提出方法—验证方法—解决问题”的科研闭环思路，打破单一“课程讲授-被动灌输”教学模式，在学生掌握课程知识的同时，培养学生发现问题，探究和解决问题的能力，实现科研和教学互哺，为课程教学改革和创新型培养人才提供一条可借鉴的探索路径。

关键词：以研促教；科研闭环思路；探索式教学；教学改革；非线性动力学

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）35-0117-05

Abstract： Nonlinear Dynamic course is highly abstract and the content involves many knowledge points， which makes it difficult to guarantee the teaching effect. Therefore， a "promoting teaching by research" is introduced in this article， which follows the closed-loop of "phenomena-problem-method-verification-solving problem"， breaking the single teaching and passive instillation teaching mode. It breaks the single "course teaching-passive instillation" teaching model. The method enables students to master knowledge and have the ability to explore and solve problems， providing new path for curriculum teaching reform and the cultivation of innovative talents.

Keywords： promoting teaching by research; closed-loop thinking of scientific research; exploratory teaching; teaching reform; Nonlinear Dynamics

非線性动力学，特别是混沌运动的发现是20世纪后半叶自然科学的最重要成就之一，不仅推动了应用数学、力学和物理学等领域取得巨大进展，更影响了几乎所有的自然科学、工程技术和社会科学领域，成为了一门跨多专业的、极其重要的学科[1-3]。近年来，许多高校在理工类本科高年级或研究生低年级开设非线性动力学或混沌动力学类课程，目的在于使学生对科学问题的认知从单一学科向交叉学科、线性向非线性、局部向系统、简单向复杂转变，同时使学生初步具备科学研究思维和思路，了解科学研究方法，为其后续继续深造或工作中解决复杂问题奠定基础。

非线性动力学课程的主要研究领域有混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机和复杂系统等[4-6]，内容繁杂丰富，具有一定的深度和难度，对于初学者而言，理解起来有困难。此外，课程内容之间并不是紧密环环相扣，教材中很多问题和习题涉及知识点多，需要类比和进一步的思维拓展去理解和解决。如果按照传统的教学模式，以教师讲授为主，学生被动接受，往往会造成学生对课程内容理解不深入、浮于表层、无法深入思考融会贯通、无法学以致用解决问题的后果，这使得学生转变思维、了解科学研究方法等教学目标难以实现。因此，如何对现有教学模式进行改革？如何使教师从单向灌输转变为引导启发、使学生从被动接受知识者转变为主动探索者？这些问题值得我们关注。

当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓄势待发，对我国而言，抓住变革的“机会窗口”，创新教育和人才培养模式是关键[7]。在这样的时代背景下，我们在非线性动力学课程的教学中尝试进一步拓展思维，将科学研究中“了解现象—提出问题—调研进展—提出方法—验证方法—解决问题”的闭环思路应用在教学中，实现教学与科研的良性互动，走出了一条“以研促教”教学模式改革之路。经过三年的课程教学实践证明，该课程教学质量得到了有力提升。下文将对此模式具体展开论述。

一  科研探索式教学在非线性动力学课程中的运作模式

非线性动力学课程的特点是内容涉及领域广，不同内容之间并不一定是层层深入的，不具有横向或纵向思维上的连续性。其是关于不同领域的科学问题抽象成数学模型之后所具有共同的非线性特征的一门课程，重点是针对共性的非线性特征进行归纳、总结，得出一般规律。因此，课程本身具有很强的抽象性。如果学生对不同领域的科学背景不了解，对相应问题的数学建模过程不清楚，理解课程就会变得十分困难。基于本课程的以上特点，我们尝试将科研思路和方法引入教学，将课堂转变为启发探索模式课堂，翻转传统课程的师生角色，教师作为引导者，学生作为探索者，以“了解现象—提出问题—调研进展—提出方法—验证方法—解决问题”的科研闭环思路引导学生，让学生遵循这些步骤亲自尝试解决问题，进而实现教学目标。

在具体的课程教学中，我们按照以下运作模式进行。

首先，依据课程内容对学生进行分组。课程包括非线性振动初步、分叉与奇怪吸引子、走向混沌的道路、分形、孤立波五个章节，因此将学生分组，并告知学生在前半学期教师讲解结束之后，每个小组会负责一个章节的具体科研问题。

然后，教师对每一章节的概念进行讲解，要做到讲透彻，让学生明白每一章所提到的非线性现象是什么。在这个过程中，教师要走下讲台和学生近距离面对面互动，随时按照不同分组进行课堂提问以及讨论，充分调动课堂氛围。

其次，在半学期讲解结束之后，教师根据讲课内容，要在每一章提出一个科研训练问题，囊括每一章节的知识点；接下来，按照分组，每一组分配一个具体的科研问题，引导学生遵循“了解现象—提出问题—调研进展—提出方法—验证方法—解决问题”的科研闭环思路，通过小组内部合作解决科研问题。最后，每个小组撰写研究报告或论文，完成教学任务。

在整个教学过程中，科研思路各个环节的引入要做到以下几点。

了解现象：教师结合自己的知识积累，在讲授课程部分内容时，将相关的非线性现象讲述清楚，从自然界可见、学生相对熟悉和了解的现象入手，积极运用类比和想象，让学生对概念或问题形成初步理解。

提出问题：教师讲授过程中清楚地阐述现象背后的科学原理及尚未解决的科学问题，进而引导学生去思考，提出自己的解决思路，充分激发学生的求知欲和好奇心。

调研进展：引导学生针对所提出问题进行文献调研，教会学生如何使用中文数据库和英文数据库检索该领域最新文献，了解目前针对该问题的研究进展，并进一步明确教材内容和现有研究进展之间存在的差别。

提出方法：引导学生运用已经学过的知识（力学基础课、数学物理方程、力学建模等）提出对某问题的解决办法（比如了解描述相关问题的微分方程，并与该问题进行对应，进而采取不同方法求解方程等）。

验证方法：对所提出的方法进行验证，可以是根据计算结果与实验结果进行对比，也可以是解决一个已知的问题，还可以是从方法角度进行验证，对同一个问题采取不同方法求解，使学生在今后的学习和研究中养成对所提出方法进行验证的思维和习惯。

解决问题：对所面临的具体问题进行求解，并考虑多方面因素对结果的影响，揭示现象背后所包含的规律，并思考是否解决了提出的问题，以及该问题的解决有什么意义，使学生理解如何解决科学问题与解决科学问题的意义。

在这样的教学模式下，既保证了教师对整个课程内容的引入和讲解（前半学期），也保证了学生对这一门课程的基本概念和认知，避免了完全“探索”的盲目性，又可以让每个学生都参与到具体的问题中（后半学期、分小组），从问题出发去深入钻研，思考某一复杂现象的发生根源，进而理解并学以致用。

二  科研探索式教学在教学过程中的具体应用

以第四章分形为例，来具体阐述“以研促教”教学模式的具体应用。分形是非线性动力学课程中十分重要的一个部分，这部分教学内容主要是针对自然界不规则形状（山川、河流等）给予定量描述的一种方法。这一章教学的主要内容有分形的概念、简单分形维数及其计算，以及动力学和分形，难点是对自相似性的理解和动力学分形的分析。如何理解自相似性、动力学分形并对其进行分析是掌握这一章内容的关键。教师在讲解过程中遵循以下步骤进行讲解。

从现象入手，讲清楚分形的概念，即存在尺度不变性和自相似性的复杂几何图案。

讲解简单的豪斯道夫维数、盒子维数的计算方法。

介绍黏性指进和动力学分形现象。

在完成以上基本内容的讲解后，教师须基于自己的掌握知识，提出具体科研问题，引导学生进行探索性学习，以更深入地理解课程内容。

因此，笔者在本章基于教材内容和前期积累提出了“曼德布洛特集合收敛性研究”的问题。曼德布洛特集合（M集合）是具有典型分形特征的几何图案（如图1所示），被称之为“上帝的指纹”。在课本[1]的描述中，只是说明该集合具备分形的两个基本性质，即存在尺度不变性和自相似性，即无论在哪一个尺度，其图案都是相似的。在第一阶段教师讲述分形概念时，通常以介绍该现象为主。而在提出科研训练问题之后，教师要把现象数学化，明确告知学生分形背后的数学描述。对曼德布洛特集合的数学描述为

f（Z）=Z 2+c，    （1）

式中：Z和c是复数。M集合的定义是使得公式（1）迭代若干次后，不会收敛到无穷的c所组成的集合，即

，（2）

式中：C是复数集合，N是迭代次数。M集合的不同区域代表相应c值代入迭代公式（1）之后，经过若干次迭代，得出Z收敛值的个数（如图1所示，希腊字母对应相应收敛值个数）。这一过程符合科研闭环思路中的“了解现象”，但已经从现象的直观了解（定性）上升到了数学角度的了解（定量）。

在学生从数学角度了解了分形基本概念以后，教师进一步介绍存在的问题：目前M集合图案的绘制都是基于对复数方程的求解，通过对解的数目统计绘制M集合图案。然而，对于解数目（收敛值）较多的复数方程，理论求解还比较困难。在提出该问题后，让学生查阅关于M集合收敛性研究论文，了解目前针对M集合收敛性的研究现状。学生们通过调研发现，现有研究提出了M集合具有一些特殊收敛结构，与教材中的结构不同。但是，形成这种特殊结构的原因并不清楚。基于此，教师要引导学生可以采用计算力学所学牛顿迭代法求解复数方程，实现M集合的繪制，观察是否也会出现一些新的现象。这一过程包含了“调研进展”和“提出方法”两个环节。

在学生提出方法并实现的过程中，我们发现了一个新的有趣现象，即数值求解M集合总是与教材中M集合的几何特征不同，其展现出图2所示的几何特征（即并未严格按照理论收敛值数目分布）。将这种结构按照不同收敛点个数进行分解，成为若干个子集（图3），并改变迭代次数和精度，发现M集合在收敛过程中依然保持该结构不变（图4）。为了验证这种新现象究竟是计算误差引起的偶然现象还是确实是一种新的结构，教师进一步引导学生对所提出方法进行验证。学生通过添加收敛阈值的方法进一步验证了所提出计算方法的正确性，进而明确该结构确实是M集合收敛过程中的一种新的未被发现的结构。这个过程中包含了“方法验证”的环节，务必使学生明白，只有所采用方法经过了验证，才能保证计算结果的正确和可靠性。

最后，要鼓励学生去深入探索这种现象背后的机制。学生通过进一步的思考和计算会发现，在这些子集内部，收敛值数目是稳定的，而在子集边界收敛点数目是剧烈变化的。正是这些点的精度敏感性形成了各子集稳定的边界，进而形成了M集合在迭代过程中的新结构。该收敛机制说明，M集合在收敛过程中收敛值数目是以稳定的结构分布的，且呈现出分形扩散特征。教材中所提出的M集合结构只在复数方程存在理论解的时候存在，而通过数值求解是无法实现的，其是数值方法所获取的收敛结构在极限情形下的突变结构。这个过程正是“解决问题”的过程。

在这部分内容的教学过程中，通过教师讲解，学生遵循科研闭环思路主动探索两个环节的结合，出色地完成了本章教学学习任务。学生通过这一整个训练过程，从数学角度理解了分形的自相似性，揭示了动力学分形的演化机制，真正理解了分形。在整个教学过程中所采取的分组讨论方法，不仅充分调动了课堂的积极性，还提升了学生的合作能力和团队意识。更重要的是，这种科研探索式的教学模式带来了有价值的科研发现，推动了非线性动力学的发展，并为教材改进提供了建议，实现了教学和科研的相互促进。

三  “以研促教”模式下非线性动力学课程改革成效

在2020—2022年的非线性动力学课程教学中，我们严格按照“以研促教”模式进行授课，按照分组学习讨论方法管理，学生的出勤率、课堂参与率、互动频率显著提高。学生带着问题进课堂，在课堂上和老师随时互动，从根本上改变了以往学生“课前签到、课后点名”的被动学习状态。授课过程中，学生不仅对课程内容深入学习探讨，课后也主动查阅资料，弥补知识短板，扩大学习范围，在教师的科学引导下，主动汲取知识，提高问题解决能力，形成了“赶学比拼”的良性竞争环境。课程考核中学生表现优异，2018—2022年，考核方式均为提交小论文结合闭卷考试的方式，该课程不及格学生人数为0，2020—2022年成绩统计最高分为满分100分，最低分为66分，平均成绩为86.6分，高于该类专业课程平均得分。该课程试卷采用灵活方式命题，重点考查学生理解、探索、解决问题能力，整体难易程度适中，反映出学生对该门课程确实掌握较好。在对教师教学评教环节，教师得分最高分98.02，最低分90，平均分97.44，连续三年评教结果为优秀。

不仅如此，该模式还培养了学生的科研思维，激发了学生的科研兴趣。在教师的引导下，学生主动发现问题、研究问题，依托课程所学的研究方法开展科研训练，50%的学生主动申报创新创业等科研项目，积极参与导师科研项目，让所学有所用，将知识转化为生产力，解决科研难题和现实问题，体现个人价值。自2018—2019年，非线性动力学课程中所提出的科研训练问题在学生的主动钻研下，取得了一系列科研成果。其中，“曼德布洛特集合收敛性”和“随机分形粗糙界面接触特性”科研训练问题被学生整理为论文，《A new stable internal structure of the mandelbrot set during the iteration process》[8]和《Volumetric contact theory to electrical contact between random rough surfaces》[9]分别发表在数学类分形几何领域顶级期刊Fractals-Complex Geometry Patterns and Scaling in Nature and Society和摩擦学领域顶级期刊Tribology International。“随机分形粗糙界面接触特性”研究成果被兰州大学官网主页和科技中国网报道，论文作者在第十届全国实验力学大会（2021）上通过大会口头报告向同行介绍。这极大提升了本科生的科研兴趣，对低年级的学生起到了很好的引领示范作用。同时，经过课程训练的同学在进一步深造和就业中也体现出明显的优势，在科研中能较早开展科研工作，在就业后针对企业发展中的问题能够主动建言献策，提供解决方案，受到用人单位的青睐。

四  结束语

随着国家创新驱动发展战略的实施，创新型人才培养成为高校的首要任务，如何通过教学改革实现人才培养质量的提升，适应国家战略发展需求和社会发展需要成为摆在高校教师面前的重要问题[10]。本文以非线性动力学课程改革为例，提出“以研促教”教学模式，将科研思维引入课堂教学，促进教学目标的达成，让课堂知识的传播通过科研探索获得，让科学问题的开展以课堂探索为起点开展，形成了教学-科研的良性循环，激发科研创新源动力，探索出了高校培养创新型人才的重要路径。

习近平总书记强调，国家发展同大学发展相辅相成。培养具有高度国家使命感和社会责任感，具有国际化水平和全球视野，能为创新型国家建设提供智力支撑和技术支撑的前端人才和领军人才，是一流大学的历史使命。高校教师应与时俱进，举一反三，不断创新，将科研思维、科研范式等引入课程教学，推动教学-科研良性互动，针对课程不同的授课内容及特点积极探索，因材施教，创新课程教学模式，培养适应创新型国家建设需要的高水平创新人才，为建设中国特色、世界水平的一流高等教育作出应有贡献。

参考文献：

[1] 刘秉正，彭建华.非线性动力学[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 梅建琴，张鸿庆.浅析非线性科学及其在力学问题中的应用[J].力学与实践，2015，37（3）：443-448.

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[4] 陆同兴.非线性物理概论[M].2版.北京：中国科学技术大学出版社，2002.

[5] 贾强，孙梅.非线性动力学教学中的混沌系统推广与仿真[J].高教学刊，2017（23）：15-17.

[6] 李明达，袁哲诚，罗锻斌.一种非线性动力学系统混沌现象的深入研究[J].大学物理，2020，39（1）：33-37.

[7] 易信.新一轮科技革命和产业变革趋势、影响及对策[J].中国经贸导刊，2018（30）：47-49.

[8] YU D K， TA W R. A new stable internal structure of the mandelbrot set during the iteration process[J].Fractrals- Complex Geometry Patterns and Scaling in Nature and Society， 2021，29（1）：215.

[9] TA W R， QIU S M， WANG Y L， et al. Volumetric contact theory to electrical contact between random rough surfaces[J].Tribology International， 2021（160）：107007.

[10] 羅湖平.现代大学教学科研互动性与创新性人才培养研究[J].文史博览（理论），2014（8）：78-79，82.