基于半解析法的面铣削力系数快速标定与验证＊

张 媛 陈荣荣

（西安交通工程学院机械与电气工程学院，陕西 西安 710300）

铣削加工是常见的减材制造方式之一[1]，铣削加工具有加工效率高、应用范围广和加工精度好的特性[2-4]，广泛应用于航空航天[5]、汽车模具[6]和石油机械[7]等领域。铣削力是铣削过程中重要的输出参数，也是表面完整性、残余应力和刀具磨损的重要影响因素[8-11]。同时，铣削力是选择切削参数的依据，也是优化切削参数的关键。因此，有大量学者从事铣削力的预测研究[12-13]。

铣削力与切削参数、刀具几何角度[14]和工件机械特性密切相关，其映射关系直接体现了铣削力的预测精度和效率。大量学者研究了铣削力的建模方法，用于构建铣削力解析模型[15-17]。Lee P 等利用材料的塑性变形理论，基于屈雷斯卡屈服准则，建立了铣削力解析模型[18]，该模型是基于基本的二维直角切削得到。Wang J 等进一步发展了文献[18]的铣削力模型，构建了切削过程中材料的流动速度关系图，给出了基于最小能量原理的剪切角计算方法[19]。高腾等基于赫兹接触理论，建立了复合材料单纤维切削力模型[20]。Baker M 指出尽管上述模型[16-19]反映了铣削过程的刀具几何参数和工件的物理属性[21]，但铣削力系数的计算十分复杂，需要求解切屑流动角、法向摩擦角和法向剪切角，且该类解析模型依赖铣削加工实验，否则无法得到相关参数值。因此，一些研究者尝试使用其他方法预测铣削力。

随着计算机技术的快速发展，有限元法求解铣削力引起一些学者的关注。有限元法是基于工件材料的边界条件和本构方程，通过将工件离散为若干个微元，根据微元节点之间的相互关系和材料的塑性行为，构建大型稀疏矩阵。基于矩阵的大规模运算，进而得到铣削力。近些年，随着计算能力的快速提升，有限元法在铣削力预测中的应用日渐广泛[22-23]。有限元方法根据是否需要判定切屑分离分为欧拉法（Eulerian）[24]和拉格朗日法（Lagrangian）[25]。欧拉法不需要判定切屑分离，但是需要预判切屑的形状，这两种方法分别适用于不同的场合。Kim K W分析了加工中的流动应力，采用有限元探讨切削力系数中摩擦因子的变化规律[26]。张耀满等建立了球头铣刀切削Ti-6Al-4V 的有限元仿真模型，研究了铣削力在时域的变化[27]。Gao H 进一步提出了拉格朗日-欧拉组合法，结合了拉格朗日法和欧拉法的各自特点[28]。然而，有限元仿真模拟在二维切削加工中效率尚可，三维加工的模拟效率较低，但现实中的铣削加工均为三维加工。因此，对于复杂刀具和工件的加工，有限元法存在一定的不足。

Engin S 等提出了平均铣削力系数的概念[29]。一些学者采用数据处理的办法，将铣削力表示为系数的指数函数。王刚等使用改进的粒子群模糊系统获取指数铣削力模型的未知参数，并采用钛合金进行铣削加工实验，结果表明预测的切削力和实验值误差较小[30]。丁悦等将铣削力系数表示为切削参数的多项式函数[31]。王海艳等基于全因子实验，研究了复合材料螺旋铣削瞬时切削力系数的识别方法[32]。刘显波等提出了多目标优化算法求解铣削力系数[33]。上述方法均基于铣削加工实验，采集大量的数据并使用算法处理。智能优化算法求解复杂，需要迭代更新。本文提出面铣削力系数的半解析法，基于矩阵运算直接求解铣削力系数。

1 刀齿微元的铣削力建模

铣削包括平面铣、铣槽和仿形铣削，平面铣削加工十分常见，面铣削是其他复杂铣削加工的基础；多轴复杂铣削加工的基本力学机理是面铣削的扩展和延伸。因此，研究面铣削是深入研究其他铣削加工的前提，平面铣削过程如图1 所示。

图1 平面铣削示意图

铣削加工是一个断续切削过程，图1 中刀具有四个刀齿，刀具旋转一周，刀齿按时间序列依次切入工件。刀具沿着自身轴线做旋转运动，同时沿着进给方向移动，铣刀刀齿的运动包括旋转运动和进给运动，刀尖点的运动轨迹为周期性的摆线运动。逆铣削通常用于精加工。图1 中用垂直于刀具轴线的平面截切刀具和工件，得到沿着刀具轴向的微元，微元受到的铣削力如图2 所示。在刀具的旋转中心建立刀具坐标系x-y-z，坐标系的原点o位于刀具底端面的旋转中心，x轴垂直于工件表面并指向工件内部，y轴与刀具进给方向相同，z轴正方向是x轴和y轴的矢量积方向。任意瞬时刀齿所在的位置与x轴的夹角定义为啮合角θ，微元受到的铣削力为切向力(θ)、径向力(θ) 和轴向力(θ)。

图2 刀具受力示意图

从图2 可知，刀齿刚开始切入工件的未变形切屑厚度为零，随着刀具的旋转和进给，未变形切屑厚度逐渐增加。任意瞬时刀齿的啮合角为θ，刀齿j的第i个微元受力可以表示为[29]

式中：θ为啮合角，（°）；Ktc为切向力系数，N/mm2；Kfc为径向力系数，N/mm2；Krc为轴向力系数，N/mm2；bi,j为微元的轴向宽度，mm；hi,j为微元的瞬时未变形切屑厚度，mm；Kte为切向刃口力系数，N/mm；Kfe为径向刃口力系数，N/mm；Kre为轴向刃口力系数，N/mm。

已有的研究表明[34]，在铣削加工中刃口力系数很小，故刃口力很小。因此，对于一般的常规铣削加工，刀具的刃口力可以忽略不计，则式（1）可以简化为

式中的瞬时未变形切屑厚度hi,j(θ)可以表示为

式中：c为每齿进给量，mm/f。

根据铣削加工时机床设定的进给速度，可以计算得到每齿进给量c。刀齿微元的接触宽度根据式（4）得到：

式中：Lz为刀具的轴向切深，mm；n为微元数，刀具微元划分得越精细，n的取值越大。

在铣削加工中，现有的实验设备只能测量沿着机床主轴方向的切削力，故将微元力投影到刀具坐标系x-y-z下，则投影后的力为

铣刀的齿间角 θa是相邻两个刀齿切入工件的相位差，齿间角与刀齿数相关，其表达式为

沿着刀具的轴线方向，各个方向微元的总铣削力为

由式（7）可知，总铣削力是全部微元力的叠加。其中，切向力直接影响机床所需的功率。刀具受到的总铣削力合力为

2 铣削力系数的快速标定

2.1 铣削力系数的标定方法

传统的铣削力系数计算需要求解剪切角、摩擦角和切屑流动角，由于多个参数相互耦合，剪切角的计算十分困难。本节提出基于矩阵运算的切削力系数快速标定方法，根据机床-刀具-工件的特性可知，铣削力是设置切削参数的约束条件。由式（2）可得，铣削力的预测需要首先求解铣削力系数Ktc、Kfc和Krc。根据式（5）可以推导出：

则第j个刀齿受到的铣削力可以表示为

对式（10）进一步化简，整理为几何参数与系数矩阵的形式：

式（11）的第一个矩阵反应了铣削中几何参数对切削力的影响，主要由切削深度和每齿进给量共同影响；第二项为铣削力系数，主要由工件的物理特性、屈服极限以及刀具的几何特性影响，式（11）简记为

铣刀所处的位置不断变化，其啮合角也随之改变，任意瞬时对应的铣削力为

式（13）简记为

基于矩阵的计算规则，铣削力系数矩阵K可表示为

式中：右端力矩阵F可由测力仪测量得到，矩阵A由刀具几何角度和切削参数计算得到。通过铣削实验，可以求解得到铣削力系数。

2.2 峰值铣削力系数的修正

铣削加工是断续切削，切削力随着时间周期性变化。随着切削力从零开始逐渐增大，刀具和工件的振动更加剧烈，在切削力的峰值处，刀具和工件的振动最为剧烈，振动将进一步导致切削力发生变化。切削力峰值对刀具寿命、加工误差和变形程度影响极大。由于振动和切削力相互耦合在一起，理论上很难直接分离振动引起的切削力。因此，引入修正因子对式（15）进行修正，使得预测的切削力峰值和真实值更接近。式（15）引入修正因子ξq(q=t,f,r)，则有

函数 ξq(q=t,f,r)只对切削力峰值进行修正，在刀齿的其他切削阶段为常数1，则系数 η为

3 实验标定系数及铣削力验证

铣削力实验使用的测力仪为Kislter 9367C，数据采样为三通道，X轴和Y轴方向的灵敏度为-7.6 pc/N，X和Y方向的量程为0～10 kN；Z轴方向的灵敏度为-3.9 pc/N，Z方向的量程为0～60 kN。实验使用的信号放大器为Kislter8050A，放大器零飘低于0.15 mA，实验过程的采样频率为10 kHz。数据采集器为DEWESOFT X3，通道数为8，数据实时显示的计算机为DELL G15 5520。机床为三轴立式铣床，刀柄为机械锁紧刀柄，铣削时不使用冷却液。刀具几何参数见表1，使用两种规格的刀具进行铣削加工实验。为了保证刀具的安装精度，加工前将刀具安装到刀柄，在机外用瑞士Evoset AG 公司生产的TOOL MASTER 对刀仪对刀具进行校准，以减小刀具的安装误差和偏心。

表1 刀具几何参数

工件材料为航空Al 7075，工件尺寸为100 mm×100 mm×50 mm，工件材料的物理特性见表2。铣削方式为逆铣削加工，逆铣加工中刀具受到工件的作用力远离工件的已加工表面，故精加工中常采用逆铣加工。

表2 工件材料的物理特性

铣削力的测量设备连接如图3 所示。在铣削过程中，工具受力传递到测力仪，测力仪通过压电效应传递信号。刀具受到的力经过放大器和数据采集器最终传输到计算机，经过计算机处理得到实时铣削力。为了保证实验的准确性，工件安装完毕后，用刀具首先去除材料表面的余量，对工件表面进行精加工预处理。切削时要保证刀具轴向深度均匀一致，以消除工件安装误差，同时防止工件表面存在的氧化皮导致预测不准。

图3 实验设备连接图

切削过程中使用的铣削参数及铣削方式见表3，第1～2 组为实验标定铣削力系数，第3～4 组为对标定的铣削力系数进行检验。

表3 切削参数

通过改变每齿进给量和轴向切深，用测力仪分别测量实时铣削力。刀具#1 铣削力随旋转角度的变化如图4 所示。铣削是周期性的力，刀具铣削力在一个周期内交替变化，其余时间均是第一个周期的延续，故图4 只给出了一个完整周期内铣削力的变化。

图4 刀具#1 铣削力变化图

实验测量的刀具#2 铣削力的变化如图5 所示，图5 中铣削力出现明显的断续，主要是刀具结构引起的。刀具#2 只有两个刀齿，一个周期中只有一半的时间处于工作状态。两个刀齿相位差为180°，故啮合角在90°～180°没有铣削力。由图4 和图5可知：啮合角从0°开始逐渐增大，铣削力随之增加，达到峰值后逐渐减小；铣削力Fx最大，Fz最小，在平面铣削过程中力Fx为主切削力。

图5 刀具#2 铣削力变化图

刀具#1 铣削合力随啮合角的变化如图6 所示。通过图6a 和图6b 对比可知：铣削合力的图形变化趋势一致，图6b 的铣削力峰值明显高于图6a，表明随着铣削深度和每齿进给量的增加，铣削合力增大。因此，铣削力与切削深度和每齿进给量呈正相关。

图6 刀具#1 总铣削力变化图

图7 所示为刀具2 铣削力合力随啮合角的变化图，可以看出在刀具旋转的一个周期内，啮合角为0°～90°和180°～270°范围内存在铣削力；图7b的铣削力峰值高于图7a，这是轴向切深和进给量增大引起的，单位时间切除的材料体积增加。因此，切削参数增大引起铣削力升高。

图7 刀具#2 总铣削力变化图

根据式（15），基于测量的铣削力可以推导出刀具#1 和刀具#2 的铣削力系数，见表4。从表4 铣削力系数可知，切向力系数最大，铣削加工轴向力较小。刀具#1 的铣削力系数与刀具#2 的铣削力系数不同，这是刀具的其他几何参数不同导致的。

表4 铣削力系数

使用基于表4 得到的铣削力系数预测铣削力。使用不同的每齿进给量和铣削深度进行实验检验，见表3 中的3～4 组参数，分别进行铣削加工实验。刀具#1 铣削力预测值和实验值的对比如图8 所示，刀具#2 铣削力预测值和实验值的对比如图9 所示。通过实验值和预测值，可以得到实验3 切削力系数的修正因子ξq(q=t,f,r)分别为1.14、1.08 和1.05；实验4 切削力系数的修正因子 ξq(q=t,f,r)分别为1.17、1.09 和1.06。

图8 刀具#1 铣削力预测值和实验值对比

图9 刀具#2 铣削力预测值和实验值对比

刀具#1 铣削力合力预测值和实验值的对比如图10 所示。由图10 可知，铣削力合力的预测值和实验值接近。铣削合力在啮合角为90°、180°、270°时非连续变化，从最大值直接变为0。以啮合角90°为例，刀具啮合角在接近90°时，铣削力逐渐增加到最大值；达到90°时当前工作的刀齿离开工件进入非切削区，下一个邻近的刀齿进入切削区开始切削工件，故铣削力出现突然变化。

图10 刀具#1 总铣削力预测值和实验值

图11 所示为刀具#2 铣削力合力预测值和实验值的对比图。刀具#2 只有两个刀齿，故在一个周期中啮合角在90°～180°和270°～360°铣削力为零，即不存在铣削力，刀具处于非切削状态。图11b 铣削力峰值比图11a 铣削力峰值大，这主要是铣削参数增大，刀具啮合的材料增多导致的。

图11 刀具#2 总铣削力预测值和实验值

由图8～11 可知：铣削力的预测值和实验值接近。各次实验测量的铣削力和预测值的最大相对误差见表5，刀具#1 铣削力Fx、Fy和Fz预测值和实验值最大相对误差分别为10.1%、11.4%和9.2%；刀具#2 铣削力Fx、Fy和Fz预测值和实验值最大相对误差分别为9.5%、8.7%和9.4%。因此，本文提出的直齿面铣削加工的铣削力系数快速标定方法精度较高。

表5 铣削力预测值和实验值的误差

4 结语

本文建立了铣削力系数的快速标定方法，通过分析刀具轴向微元的受力，得到总铣削力的表达式。基于实验数据得到铣削力系数，并进行实验验证。基于标定的铣削力系数，设定不同的切削参数进行铣削力的预测，并对铣削力峰值力系数进行了修正。一系列的铣削实验表明：铣削力的预测值和实验值接近，相对误差小。本文研究可以得到以下主要结论：

（1）基于本文的铣削力标定方法，预测的铣削力Fx、Fy和Fz最大误差分别为10.1%、11.4%和9.4%。因此，本文提出的标定方法具有较高的预测精度和可信度。

（2）切向力系数Kt最大，径向力系数Kr最小，切向力系数Kt是进给力系数Kf的2.37 倍。因此，面铣削中的主要切削力来自切向力，铣削加工中应控制切向力的峰值，以便减小刀具磨损和零件变形。

（3）切削深度从1 mm 增加到2.5 mm，每齿进给量从0.1 mm/f 增加到0.25 mm/f，铣削合力F增加6.64 倍。随着切削参数的增大，铣削力增加。因此，铣削力与切削参数正相关。