基于最优裂缝导流能力的水平井压裂后生产指数预测新方法

纪国法 王晓燕 南晨阳 刘文涛 刘 进

（1. 长江大学非常规油气省部共建协同创新中心，湖北 武汉 430100；2. 长江大学油气钻采工程湖北省重点实验室，湖北 武汉 430100；3. 中国石油新疆油田公司勘探开发研究院，新疆 克拉玛依 834000；4. 中国石油长庆油田公司第八采油厂，陕西 西安 710018）

0 引 言

非常规油气的水平井分段压裂改造技术的创新发展，助推了2021 年中国非常规油气产量实现了8 700×104t 的油气当量，占油气总产量的23%［1］。由于非常规油气储层具有超低孔、超低渗、非均质性强的特点，其压裂后产量递减速率快、稳产困难。目前非常规油气压裂后产能预测方法主要有经验法［2］、产量递减分析法［3］、数值模拟法［4］、数据挖掘法［5］和水电模拟实验法［6］等。但现有预测方法受地质因素和工程因素的影响较为复杂［7］，需要考虑的因素多、预测效率低，因此如何找到快速实现非常规油气水平井压裂后产能准确预测的一种新方法，对经济评价和施工参数优化都具有重要意义。

在实际生产过程中，裂缝导流能力由于受到各种因素的影响随时间不断发生变化［8］，这些因素在产能预测分析中不可忽略。P.Valko 等［9］通过优化方法，认为低渗透储层压裂后最优无因次导流能力为1.2。J.Bellarby［10］研究认为垂直井在压裂后的最优无因次导流能力是1.6。杨兆中等［11］认为，致密气随着裂缝导流能力的增加，累计产量增加的幅度很小，其最优的裂缝导流能力为5 μm2·cm。

C.O.Bennett 等［12］、任勇等［13-15］基于裂缝导流能力随时间的变化情况，推导出了垂直裂缝井产能的动态预测模型。李准等［16］利用裂缝导流能力随时间变化的裂缝渗流模型，认为裂缝导流能力的时效性会降低压裂井的产量，裂缝导流能力变异系数的变化对产量存在较为明显的影响。韩珊等［17］以四川盆地威远区块为研究对象，基于主控因素分析基础上，优选出机器学习法作为研究区页岩气单井产量的预测方法。姜瑞忠等［18］、T.B.Mirza 等［19］、董鹏等［20］、孙召勃等［21］采用不同的方法或模型研究了压裂水平井产能的变化规律，认为压裂后产能受裂缝条数、裂缝半长、基质渗透率、储层厚度、水平段长度、井控区域等多重因素影响。为建立压裂后产能预测模型，赵红兵［22］利用灰色关联法、多元线性回归等方法建立了产能预测公式，预测结果误差小于7.8%。马亮亮［23］通过建立大庆油田某致密油藏水平井单井产能模型，对非均质致密油藏的水平井产量进行了动态分析。

虽然通过众多学者的大量研究，目前的油井产能预测的精度越来越高，但依然存在着进一步优化的空间，包括参数设计、简化计算等方面均有待进一步提高。在前人已有研究成果基础之上，基于统一压裂设计理论的支撑剂指数法，本文构建了水平井分段压裂的无因次生产指数计算模型。通过计算推导求得无因次生产指数的影响因素，然后借用支撑裂缝流动效率优化无因次裂缝导流能力及无因次生产指数，采用多元线性回归方法建立最优无因次裂缝导流能力及最优无因次生产指数与多重影响因素的关联式，讨论样本集和非样本集的关联式预测值与计算值的相对误差。研究成果对非常规油气水平井压裂后产能预测等参数优化提供了一定的理论指导。

1 水平井压裂后无因次生产指数计算模型

基于M.Economides 等［24］提出的统一压裂设计理论（Unified Fracture Design），假设沿井的地层渗透率相同，水平井长度为L，裂缝半长为xf，矩形渗流区域长边长度为xe，分段压裂形成的裂缝条数为N（图1），每条压裂裂缝控制区域均一、相互之间不干扰（图1 中由虚线区分开），则水平井压裂后无因次生产指数JDH为N个人工裂缝控制的矩形渗流区域的无因次生产指数JD之和，其表达式为

图1 致密油气储层水平井分段压裂示意Fig. 1 Schematic diagram of staged fracturing of horizontal well in tight oil and gas reservoirs

式中：JDH——水平井分段压裂后的无因次生产指数；

N——分段压裂形成的裂缝条数；

JD——人工裂缝控制的矩形渗流区域的无因次生产指数。

将流体流动分为2 个阶段：第1 阶段是从储层流入裂缝，为线性流动；第2 阶段是在裂缝内部的流动，为径向收敛。这种流动的组合会导致额外的压降，通过表皮系数（Sc）来解释。另外，假设矩形渗流区域压裂垂直井的无因次生产指数为JDV。因而可以得到考虑向井流效应情况下人工裂缝控制矩形渗流区域的无因次生产指数JD，其表达式为［25-26］：

式中：Sc——向井流表皮系数；

h——储层厚度，m；

xf——裂缝半长，m；

rw——井筒半径，m；

CfD——无因次裂缝导流能力；

JDV——矩形渗流区域压裂垂直井无因次生产指数。

由式（2）可知，JD由Sc和JDV决定。Sc受无因次裂缝导流能力CfD、裂缝半长xf、储层厚度h和井筒半径rw影响，接下来讨论JDV会受到哪些参数的影响。为了得到矩形渗流区域压裂垂直井无因次生产指数JDV，需要考虑矩形渗流区域的支撑剂数Nprop，m。假设支撑剂支撑缝高等于储层厚度h，根据支撑剂数定义，其表达式为：

式中：Nprop，m——矩形渗流区域的支撑剂数；

Kf——支撑裂缝渗透率，10-3μm2；

K——储层基质渗透率，10-3μm2；

Vr——水平井分段压裂后裂缝控制的矩形渗流区域储层体积，m3；

Vp——支撑剂体积，m3；

xe——矩形渗流区域长度，m；

ye——矩形渗流区域宽度，m；

Nprop——正方形渗流区域支撑剂数；

CA——矩形渗流区域形状因子。

低渗透油气藏采用水平井分段压裂工艺进行增产改造，形状因子满足CA=xeye=NxeL＞1，经过修正后的等效支撑剂数满足Nprop，m=NpropCA＞0.1，则矩形渗流区域压裂垂直井的无因次生产指数可表述为［27］

式中：Nprop=Ix2CfD，其中，Ix为裂缝穿透比，表述为Ix= 2xfxe。

由以上可知，JDV是关于无因次裂缝导流能力CfD、矩形渗流区域长度xe、矩形渗流区域宽度ye和裂缝半长xf的函数。因此，JD是由无因次裂缝导流能力CfD和裂缝半长xf等几个容易测得的参数共同决定的。因为JDH是N个JD的总和，故而JDH也受到以上因素的影响，其中，CfD是关键影响参数。

综合式（1）—式（7），可得到水平井分段压裂后的无因次生产指数JDH的表达式为

2 最优无因次裂缝导流能力确定方法

水平井压裂后产能大小与无因次裂缝导流能力、裂缝半长、裂缝条数、井控边界等因素有关。而在实际压裂优化过程中，无因次裂缝导流能力是关键的核心优化参数。如何选择最优的导流能力非常重要，目前已有众多学者对无因次裂缝的导流能力开展了优化方法研究，但方法较复杂，不易推广使用。借鉴D.Mao 等［28］采用裂缝流动效率确定最优无因次导流能力的思想，当裂缝流动效率在50%左右时，对数正态导数dηd ln(CfD)达到最大，与此对应的裂缝导流能力即为理论最优值（图2），30 a 后的最终采收率可达到无限导流能力下采收率的90%。裂缝流动效率η定义为裂缝具有有限导流能力的拟稳态生产产量q|finite与裂缝具有无限导流能力的拟稳态生产产量q|infinite的比值，即

图2 裂缝流动效率及其导数随水平井无因次裂缝导流能力的变化 [29]Fig. 2 Variation of fracture flow efficiency and its derivative with dimensionless fracture conductivity of horizontal well [29]

为了确定最优无因次裂缝导流能力，绘制了水平井压裂后生产指数随无因次裂缝导流能力变化的关系曲线（图3），基础输入参数为：井控边界xe=360 m，水平井长度L=1 500 m，基质渗透率K=0.002×10-3μm2，井筒半径rw=0.1 m，储层厚度h=30 m，裂缝半长xf=150 m，裂缝条数N=100。采用公式（8）计算并绘制JDH及随CfD的变化趋势，以期说明最优CfD及最优JDH。

图3 无因次生产指数随无因次裂缝导流能力的变化Fig. 3 Variation of dimensionless productivity index with dimensionless fracture conductivity

从图3 中曲线的变化趋势可知，JDH随CfD的增大而增大，随CfD的变化曲线存在一个最高点且曲线在最高点左右两侧呈对称分布。当CfD≤0.1 时，CfD增加对JDH增大的贡献较小；当0.1 ＜CfD≤1.24 时，CfD增加对JDH增大的贡献逐渐增大，直至增幅达到最高点；当1.24 ＜CfD≤17.58 时，CfD的增加对JDH增大的贡献依旧较大，但增幅逐渐变小；当CfD＞17.58 时，CfD的增加对JDH增大的贡献较小。

考虑到油气田在实际生产过程中支撑裂缝的导流能力不断降低［29-31］，裂缝导流能力达不到理论最佳值，因此需要进一步探讨实际生产中的裂缝导流能力最佳值。在实际油气开采过程中，裂缝导流能力随着时间的增加一般呈对数或指数关系降低［32-35］。为了使支撑裂缝的导流能力能够保持更长时间，本文借用潜油电泵工作特性曲线中的最佳排量范围确定方法［36］，选取1.2 倍的无因次生产指数JDH和裂缝导流能力CfD的双对数正态导数的最大值对应的CfD和JDH为最优值。

3 误差分析

从公式（8）可知，水平井分段压裂后无因次生产指数JDH的大小取决于无因次裂缝导流能力CfD、水平井长度L、裂缝半长xf、裂缝条数N、井控边界xe、储层厚度h等参数。为了得到最优无因次导流能力CfD、最优无因次生产指数JDH与水平井长度L、裂缝半长xf、裂缝条数N、井控边界xe、储层厚度h等参数的关联性，分别选取不同参数下1.2 倍所对应的CfD和JDH为目标，采用正交设计方法和多元线性回归方法（置信区间95%）可以获取其关联式。

正交设计基础参数及计算结果见表1，多元线性回归参数表见表2，基于样本参数的预测结果误差分析见图4。

表1 正交设计基础参数及计算结果Table 1 Basic parameters and calculation results of orthogonal design

表2 多元线性回归参数Table 2 Multi-linear regression parameters

图4 无因次生产指数和导流能力样本预测误差Fig. 4 Sample prediction error of dimensionless productivity index and flow conductivity

综合表1、表2 和图4 可知，最优无因次导流能力、最优无因次生产指数与水平井长度L、裂缝半长xf、裂缝条数N、井控边界xe、储层厚度h等参数具有很好的关联性，决定系数R2分别为0.933、0.980，通过回归得到线性关系式：

式（10）和式（11）中系数前面的加减号代表各项参数与JDH、CfD分别呈正相关或负相关，系数绝对值越大，相关性越强。以式（10）和式（11）对JDH和CfD进行预测，预测值与计算值的平均相对误差为2.01%和-1.67%，满足精度要求。

为进一步验证回归关联式的准确性，对16 组非回归样本进行预测，预测和计算结果、相对误差分析见表3 和图5。

表3 非样本预测误差分析结果Table 3 Non-sample prediction error analysis results

图5 无因次生产指数和无因次导流能力的非样本预测误差Fig. 5 Non-sample prediction error of dimensionless productivity index and dimensionless flow conductivity

从表3 和图5 可知，最优无因次裂缝导流能力相对误差范围-2.30%～6.53%，平均相对误差1.83%，最优无因次生产指数相对误差-3.77%～9.80%，平均相对误差4.29%，说明基于最优裂缝导流能力的水平井压裂后生产指数预测新方法具有很好的适用性。

4 结 论

（1）基于统一压裂设计理论，考虑人工裂缝的向井流效应，建立了水平井压裂后无因次生产指数计算模型，无因次生产指数大小与无因次导流能力、水平井长度、裂缝半长、裂缝条数、井控边界、储层厚度等参数有关，影响因素值容易获取，便于计算。

（2）综合考虑裂缝流动效率和油气生产过程中裂缝导流能力出现的下降趋势，确定了1.2 倍所对应的CfD为最优裂缝导流能力，且此时对应的JDH亦为最优值。

（3）建立了基于最优裂缝导流能力的水平井压裂后生产指数预测新方法，对最优无因次裂缝导流能力CfD及对应生产指数JDH进行多元线性回归，得到了最优无因次裂缝导流能力CfD及对应生产指数JDH的预测表达式，决定系数R2分别为0.933、0.980；预测值与计算值的平均相对误差分别为-1.67%、2.01%，对16 组非回归样本进行预测，预测值与计算值的平均相对误差分别为4.29%、1.83%，满足精度要求，新方法具有很好的适用性。