随机负反馈酶促反应模型的动力学行为

韩 雨，李 芳，杨 颖

（长春师范大学数学学院，长春 130123）

0 引言

Goodwin 振荡器是生化振子的一个典型例子，是Goodwin［1］于1965 年发现的.这种振荡器由mRNA、蛋白和蛋白产品（抑制剂）组成，并且生化振荡行为是在受控的生化系统中自然产生.浓度振荡可能发生在催化反应系统中，其中控制是通过负反馈效应施加的.因此，这种受控系统的稳定性在生物振荡的背景下尤为重要.mRNA 是蛋白质合成的控制因子，蛋白质是蛋白产品生产的控制因素，蛋白质产物对mRNA合成的抑制遵循与蛋白质抑制相同的表面吸附规律.在自然界中激活作用是必要的，并且生物学中负反馈过程是非常普遍的.其中最著名的一个例子是以下这个反应过程：通过反应链中的产物作用，降低其抑制物质的某一远母体的合成率.Walter［2-3］对这种负反馈模型进行了研究，它们可以概括为：

其中xi为浓度，f(xn+1)是关于x n+1的递减抑制效应函数，其最广泛的应用形式为其中c，l1为正常数.当i=n+ 1时，式（1）的相应形式为

通过无量纲化变换，式（2）为

该系统描述了基因活性的末端产物抑制的动力学，即mRNA对酶的编码，酶的新陈代谢产物是由它的基因位点抑制其遗传位点的mRNA 而进一步合成.众多学者对该系统进行了研究，例如Tyson［4］证明了系统（3）空间周期解的存在性，且系统（3）存在唯一的平衡点

即：

Griffith［5］已经证明了系统（3）的所有解都是有界的，并且在中存在一个正不变集，使得所有的轨道都会进入其中.Hasting 等［6］获得了n+ 1 维系统周期轨道的存在性；Yang 等［7］研究了一个在白噪声干扰下的多分子生化反应模型，并且得到了反应持续进行和结束的条件；Yang等［8］讨论了一个随机低浓度三分子生物化学反应模型，得到其平稳分布及遍历性.因此，无论是从生化角度还是从数学角度来看，在系统（3）中加入随机扰动是很合理的，因为生物化学反应必然会受到环境白噪声的干扰，而环境白噪声是现实世界中的一个重要组成部分.本文在确定性系统（3）中加入随机扰动，得到如下的随机负反馈过程的酶促反应模型：

其中：B1(t),B2(t),…,Bn+1(t)是独立的布朗运动为环境白噪声强度，研究系统（4）所表示的随机系统的正解存在唯一性以及遍历性.

1 预备知识

首先介绍一些本文在研究中会用到的符号、定义和引理.

在本文中，令(Ω,ℱ,P)是带有满足通常条件的域流的完备概率空间，即它是右连续的，并且包含所有的P零集.在文中，记

一般的，考虑d维随机微分方程

具有初始值x1(t0)=x0∈，B(t)是定义在上述概率空间（Ω，ℱ，P）上的d维标准布朗运动.定义式（5）的微分算子L：

如果L作用在函数上，则有

对于随机系统（4），为了证明其遍历性，会用到下面的引理.

引理1［9］假设存在具有如下性质的带正则边界Γ的有界域U⊂El，满足：

（1）在U及其邻域上，扩散矩阵Λ(x)的最小特征值λ(x)非0；

（2）如果x∈ElU，那么从x出发的路径到达集合U的平均时间τ是有限的，并且对于每个紧子集K⊂El.有supx∈KExτ＜∞.

则马尔可夫过程X(t)存在平稳分布kf(·).令f(·)为关于测度kf的可积函数，有

对所有x∈El成立.

引理2 设X(t)为El中的正则自治马尔可夫过程.如果X(t)相对于某个有界域U是常返的，那么它相对于El中的任一非空区域也是常返的.

2 主要结果

2.1 系统（4）正解的存在唯一性

对任意的初始值，为了得到唯一的全局解（即在有限时间内不会爆破），通常会要求方程右端函数的系数必须满足局部李普希兹条件和线性增长条件.然而，由于系统（4）中第一式的是非线性项，显然系统（4）是不满足线性增长条件的，因此，对于系统（4）的全局正解存在唯一性的证明，将会利用李雅普诺夫分析方法来实现［10-12］.下面给出存在唯一性定理.

定理1 对于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈，在t≥0 上，系统（4）有唯一解(x1(t)，x2(t),…,xn+1(t))，并且解会依概率1留在中，即对所有的t≥0，几乎必然成立的.

证明由于随机酶促反应模型（4）的系数满足局部李普希兹条件，那么对于任意给定的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈随机系统（4）有唯一的局部解：

其中τe表示爆破时间.

接下来，想要证明这个正解是全局的，只需要证明τe=∞即可.

为此，令k0≥0 充分大，使得x1(0),x2(0),…,xn+1(0)都位于区间[,k0]中.对于每一个整数k≥k0，定义停时为τk= inf{t∈[0,τe):min{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≤或max{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≥k}.

在本文中，令inf∅=∞（∅表示空集）.显然，当k→∞时，τk是增加的.令τ∞=τk，其中τ∞≤τe.如果τ∞=∞，则必有τe=∞.并且对于所有t≥0，

成立.因此，为了完成证明，只需要说明τ∞=∞.

采用反证法进行证明，首先假设这个断言是错误的，那么存在一对常数T＞0 和ε∈(0,1)使得P{τ∞≤T}＞ε，则存在整数k1≥k0，使得对于所有k≥k1，有

定义一个C2-函数V→

这里c2=l1,c3=c2l2,…,cn+1=cnln,并且函数V(x1,x2,…,xn+1)的非负性可以从u- 1 - logu≥0,∀u＞0看出.设k≥k0,T＞0是任意的，使用伊藤公式得到如下结果：

其中LV:→表示算子L作用在函数V(x1,x2,…,xn+1)上的结果，前面已经给出过定义了，于是可以得到

其中C是一个正常数.接下来有

对式（8）两端取从0到τk∧T= min{τk,T}的积分，有

再对上面的式子取期望，可得：

对于k≥k1，设Ωk={Tk≤T}，再由（6）式可知，P(Ωk)≥ε，注意对于每一个ω∈Ωk至少有一个x1(τk,ω),x2(τk,ω),…,xn+1(τk,ω)等于k或.因此，

由式（6）和式（9），可以得到

其中IΩk(ω)表示Ωk的示性函数。综上可得，当k→∞时，有

显然这个式子是矛盾的，假设不成立.综上所述，即可得到τ∞=∞,几乎必然成立.

2.2 系统（4）的遍历性

本部分的证明主要依据引理1，即需要验证随机系统（4）满足引理1 的两个条件（1）与（2）.为了验证（1），只需要证明F在任何有界域D上一致椭圆即可［13-15］，其中Fu=b(x)ux+tr(Λ(x)uxx)，即存在一个正数M使得下式成立［16-17］：

为了验证（2），只要证明存在某个邻域U和一个非负的C2-函数，使得对于任何ElU，LV是负的就足够了［18-19］.下面对随机系统（4）的遍历性进行证明.

定理2 对于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈ℝn+1+，系统（4）有平稳分布f(·)，且具有遍历性.

证明：首先，随机系统（4）对应的扩散矩阵为

因此，可以将随机微分方程（4）改写成如下形式：

然后，需要检查引理1 中的条件（2）.构造一个非负的C2-函数V和一个闭集（它完U∈∑全在中），使之满足

这样可以确保（2）是满足的.

定义一个C2-函数h(x1,x2,…,xn+1)，其形式如下：

不难证明h(x1,x2,…,xn+1)有一个最小值点

通过计算，可以得到

其中l1-l2＞0,l2i-li+1＞0,(i= 2,3,…,n).

定义一个闭集

并且ε是充分小的数，使得

令

情形1 当(x1,x2,…,xn+1) ∈D1时，有

从式（11）和（12）可以得到LV≤-1.

情形2 当(x1,x2,…,xn+1)在D2上时，有

由式（11）和（13）可以得到LV≤-1.

情形3 当(x1,x2,…,xn+1) ∈D2k-1,k= 2,…,n+ 1时，有

由式（11）和（14）可以得到LV≤-1.

情形4 当(x1,x2,…,xn+1)∈D2k,k= 1,2,…,n上时，有

由式（11）和（15）可以得到LV≤-1.

情形5 当(x1,x2,…,xn+1)在D2n+2上时，有

由式（11）和（16）可以得到LV≤-1.

对上述五种情况的讨论表明，系统（4）满足引理1中的条件（2），这样就证明了定理2.

3 结论

本文研究了一个受到白噪声扰动的具有负反馈效应的随机酶促反应模型.由于随机酶促反应模型（4）的系数满足局部李普希兹条件以及线性增长条件，进而得到随机系统全局正解的存在唯一性.通过构造一个适当的李雅普诺夫函数，根据遍历性定理，证明了随机酶促反应系统具有平稳分布，并且在不需要任何附加条件的情况下，对应的随机模型总是具有遍历性的.

综上，对于随机酶促反应系统（4）的正解存在唯一性以及遍历性，均得到了证明.结论说明，不论受到环境噪音的影响是小还是大，得到的随机系统总是具有遍历性的，这是一种随机意义下的弱稳定性.