邻近轨道对力模型在过渡区Sm核素的应用

王 印

（白城师范学院物理与电子信息学院，吉林 白城 137000）

0 引言

1911年，Rutherford根据α粒子散射实验结果，给出了原子的有核模型，同时也开启了人们对原子核结构的理论研究［1］.原子核理论研究难点在于原子核是复杂的多体系统且统计规律又不太适用，为了描述观测到的现象和实验给出的结果，大部分理论研究借助于唯象模型［2］.原子核结构的唯象模型是从实验事实出发，突出主要因素，将原子核内部结构进行简化，建立相对易于求解的多体体系.随着高能加速器实验的发展，原子核相关的实验数据也越来越丰富，进而也逐步发展起来多个成功的唯象模型，这些模型可以分别从某些方面解释实验数据，并能一定程度上预言未知的实验结果.

通过实验可以测定原子核的寿命，人们发现当原子核含有的质子或中子数目为某些特殊数值时，这个原子核相对于附近的其他核素寿命要长.这样的一系列数值被这个规律的发现者Mayer称为“幻数”，并且她和Jensen，Wigner 等［3］类比原子中电子的壳层结构，提出了原子核结构的壳模型，成功地解释了原子核的幻数.Nilsson 进一步发展了壳模型，构建了形变平均场理论.该理论引入了形变的线性谐振子势，也被称为Nilsson模型或形变壳模型，该模型是研究较大形变的核素能谱的重要工具［4］.

潘峰等［5］在Nilsson 模型基础上，进一步考虑剩余相互作用中的对力，并将对力形式选为高斯型对力，称为邻近轨道对力模型.该模型使壳模型的大维度求解本征问题能够快速对角化，并取得了与实验相符的结果［6-7］.本文在邻近轨道对力模型的框架下，质子部分选取统一对力参数，分析过渡区Sm 同位素的结合能、奇偶能差和对激发能级.

1 邻近轨道对力模型理论框架

为了更好地描述大形变核素，Molique和Dudek采用与壳模型单粒子轨道相关的对力形式得到了较好的结果［8］.文献［7］中采用高斯型对力：

其中：α和β是单粒子能级的标记，εα和εβ是相应的单粒子能级；A和B是模型的参量，取值都大于0.如此定义的对力取决于单粒子能级间的能级差，按照能级差的平方呈现出指数衰减.文献［6］在此基础上进一步近似，仅考虑相邻的单粒子能级之间的对力，忽略其他情况的对力相互作用，给出了邻近轨道对力［9-10］，即

Nilsson平均场加邻近轨道对力模型的哈密顿量为

其中：第一项是对单粒子（不配对）占据的单粒子能级求和，在奇A核或拆对情况下该项会有贡献是单粒子轨道ρ的粒子数算符是的时间反演态产生算符；第二项求和号的“*”上标，表示求和取遍所有被核子对占据的轨道是单粒子轨道α的对产生算符；tαβ是三对角矩阵t的矩阵元：

文献［8］中给出了哈密顿量（3）的k对核子的本征态：

其中：求和是分别对单和对占据的单粒子轨道求和；E(ξi)是矩阵的第ξi个本征值.

2 过渡区Sm同位素链实验数据拟合

为了能够描述核素的结合能，选取核素链对应的双幻核为“核芯”，该双幻核的结合能实验值为零点能.每个价核子对结合能的贡献之和等于核素与双幻核结合能的差值.引入中子和质子平均结合能，每个核子对结合能的贡献等于平均结合能与该核子单粒子能级之差.平均结合能是拟合结合能时可以调节的参数，对于一个同位素链的所有核素平均结合能是相同的，即平均结合能不会影响奇偶能差.选取Sm同位素中稳定的核素152Sm与其差一个中子的153Sm，比较两者结合能的差，确定中子平均结合能的取值范围；比较152Sm 和153Eu 两者结合能，确定质子的平均结合能取值范围.本文拟合中子和质子的平均结合能分别为6.0 MeV和7.0 MeV.在以上的限定下，理论计算的单粒子能级为

其中：εNilsson是Nilsson 形变壳模型计算得到的单粒子能级；εcore是核芯的最外层核子所处轨道的Nilsson单粒子能级；εˉ是平均结合能.对于能够系统地反映结合能变化的奇偶能差，本文采用文献［5］中的三点公式：

其中EB(A)是核素A的结合能.可以证明奇偶能差和εcore都是无关的，仅由对力参数确定.

在利用邻近轨道对力模型进行计算时，我们发现结合能对参数B的变化不敏感，这是因为参数B仅影响相邻轨道的对力，而不影响同一条轨道上核子对力，两者相比，前者对力弱了很多.所以本文在模拟结合能时，所有核素的参数B按照计算经验都选取为B= 0.1；另外冻结质子部分对结合能的贡献也是近似方法之一，本文并没有冻结质子部分，而是所有核素的质子对力强度取相同值为Aπ= 3，由于质子部分的Nilsson 单粒子能级不同，相同的对力参数也会有不同的对力贡献；对于每个核素，通过拟合结合能和奇偶能差确定中子对力强度参数Aμ.

本文选取Sm 同位素链进行研究，选取质量数150～156 的核素.表1 给出了模型所选参数和结合能与奇偶能差的拟合结果，并与实验结果作比较.图1 和图2 分别给出了对应的直观图像比较，图3 和图4分别给出了第一和第二对激发能的拟合情况.

图1 Sm同位素链结合能理论拟合

图2 Sm同位素链奇偶能差理论拟合

图3 Sm同位素链第一对激发能理论拟合

图4 Sm同位素链第二对激发能理论拟合

表1 邻近轨道对力模型参数和结合能与奇偶能差的拟合结果

从表1、图1和图2可以看出，邻近轨道对力模型可以很好地拟合原子核基态的结合能，能基本反映核素链的结合能系统的奇偶差异.图3和图4给出的对激发能拟合则存在一定误差，特别是第二激发态，虽然考虑了中子和质子激发但是偏差仍然较大.

3 结论和展望

从拟合实验数据的过程和实际运算结果中可以得到，邻近轨道对力模型优势是可以快速对角化，并且能很好地描述较大形变核素的结合能和奇偶能差，在描述对激发能时存在一定的误差.对于第二对激发能拟合偏差较大，可以理解为模型更适合描述基态和低激发态性质，而对于较高的激发态需要考虑其他的影响.另外，由于Nilsson 平均场本身也破坏了转动对称性，使得模型得到的本征态没有角动量量子数，不能进一步与实验数据进行比较.解决这些问题期望于引入中子和质子相互作用以及采用角动量恢复技术，使得模型进一步完善并检验和预言更多的实验数据.