一个有趣的代数最值问题

湖南省桃江县第一中学 (413400) 胡芳举

笔者通过进一步研究“叶军数学工作站”的一个三次方程问题,提出并解决了如下最值.

问题已知集合M={(a,b,c)|a+b+c=ab+bc+ca,a,b,c>0},∀(a,b,c)∈M有an+bn+cn+(2n+1-3)abc≥2n+1(n∈N*),求nmax.

解:本文约定用∑表示对a,b,c轮换求和.

(1)当p>4时,②式显然成立.

由(1)、(2)知n=5时符合题设条件.

变式已知M={(a,b,c)|a+b+c=ab+bc+ca,a,b,c>0},∀(a,b,c)∈M有an+bn+cn+(2n+1-3)abc≥2n+1,n∈Z,求n的取值的集合.

当n=1时,由文[1]知符合题设条件;

当n=2,3时,分两种情况p>4与3≤p≤4,运用三次舒尔不等式同n=5的证明可证.

又由原题知n=5符合题设条件,故n的取值的集合为{1,2,3,4,5}.

最后提出一个猜想,期待同仁给出证明.

注:1.函数y=(3x-16)2x-3+3在区间(5,+∞)单调递增,且有唯一零点m;