非稳态工况下外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架动态特性

王树涵，杨海生，晏军，高利霞，邓四二

（1.河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471003；2.中国航空发动机集团有限公司 四川燃气涡轮研究院，成都 610500）

新一代战机拥有超机动能力和高速巡航能力，轴承作为航空发动机主轴传动系统的核心部件，对其结构等方面提出了更高的要求。将弹性环、挤压油膜阻尼器与圆柱滚子轴承联合使用，形成外圈带有弹性环式挤压油膜阻尼器（Elastic Ring Squeeze Film Damper，ERSFD）的圆柱滚子轴承，以降低转子在变转速和冲击载荷工况时产生的剧烈振动，进而提高航空发动机主轴传动系统的性能和可靠性。

外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承的动态特性研究已引起许多学者的关注：文献［1］通过N-S方程建立了ERSFD 的减振机理模型，求解其油膜压力场控制方程，结果表明ERSFD 有良好的油膜力特性；文献［2-3］建立了一种ERSFD动力学特性的数值模型，采用分块迭代法实现了油膜与弹性环之间的相互作用，分析了涡动频率和弹性环结构参数对阻尼器动力学特性系数的影响，并通过试验得到了ERSFD 的油膜与弹性环的动力学特性系数，结果表明ERSFD 的刚度系数主要取决于弹性环的厚度以及凸台数量；文献［4］考虑滑动和摩擦效应，建立了ERSFD 的参数化有限元模型，分析了装配误差对ERSFD 动力学性能的影响，结果表明考虑误差时的分析结果不同于其他分析方法；文献［5］建立了一种ERSFD 支承转子系统动态特性和响应计算方法，对该系统的动力学方程进行数值模拟，利用该模型同时确定转子的响应和ERSFD 的油膜系数，ERSFD 通过抑制油膜的非线性效应，在防止转子双稳态振动方面性能优于传统挤压油膜阻尼器（Squeeze Film Dampe，SFD）；文献［6］建立了含高速球轴承的ERSFD 模型，研究了不同转子转速和鼠笼刚度下的轴颈动力学特性，结果表明鼠笼刚度小，转子转速高，有利于轴颈的稳定，可以有效减振；文献［7］建立了弹支 SFD 圆柱滚子轴承与转子耦合的动力学模型，对非稳态工况下圆柱滚子轴承保持架动态性能进行分析，结果表明时变载荷使保持架打滑率增大且呈无规则波动；文献［8］建立了考虑轴承套圈弹性变形的弹支高速圆柱滚子轴承动力学模型，分析了在不同弹性支承结构参数和工况条件下的保持架稳定性，与刚性支承相比，弹支结构使轴承保持架稳定性明显提升；文献［9］开发了航空发动机圆柱滚子轴承动力学仿真软件，对不同保持架引导方式下圆柱滚子轴承保持架的动力学特性进行分析，结果表明采用外引导时保持架质心轨迹更稳定；文献［10］对保持架进行柔性化处理，分析了轴承工况和结构参数对保持架动态性能的影响，结果表明高速轻载工况下保持架易产生较大打滑，增大径向游隙有利于降低打滑率；文献［11］建立了高速圆柱滚子轴承的动力学非线性微分方程组，分析了轴承工况和结构参数对保持架振动特性的影响，结果表明保持架在径向平面内的振动随着径向载荷的增大而减小；文献［12］搭建SFD 试验台，测量了在大、小涡动半径和有偏心涡动时SFD 的动力学特性，并将测得的一个完整运动周期内的瞬时阻尼器反作用力通过傅里叶变换识别了SFD 的动力学特性系数。

上述学者在分析ERSFD 动力学性能时均将轴承简单等效为一个弹簧刚度或阻尼；在分析弹支一体化滚动轴承动力学性能时，基本都是稳态工况下外圈带有SFD 的滚动轴承动态特性分析，引入ERSFD 结构起到轴承减振作用，分析轴承保持架的动态特性是判断轴承振动性能好坏的指标，其衡量标准之一即保持架打滑率。鉴于此，本文在滚动轴承动力学理论基础上，结合ERSFD 动力学特性，建立外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承动力学分析模型，分析转速、冲击载荷以及弹性环结构参数（凸台宽度、凸台数量）对外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架动态特性的影响。

1 外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承动力学模型

1.1 坐标系

根据外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承结构特点，建立如图1所示的坐标系：

图1 外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承坐标系Fig.1 Coordinate system for cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

1）以轴承中心O为原点建立全局坐标系Oxyz，x轴与轴承轴线重合，yOz平面与通过轴承中心的径向平面平行，该坐标系固定，其他坐标系均参照该坐标系确定；

2）以滚子中心Ob为原点建立滚子质心坐标系Obxbybzb，yb沿轴承径向，zb沿轴承周向，该坐标系随着滚子中心移动，但不随滚子自转，每个滚子都有自己的局部坐标系；

3）以保持架中心Oc为原点建立保持架质心坐标系Ocxcyczc，该坐标系由全局坐标系平移得到，并随着保持架移动和旋转；

4）以保持架兜孔中心Op为原点建立保持架兜孔坐标系Opxpypzp，该坐标系开始时与滚子质心坐标系重合，随后随着保持架移动和旋转，每个兜孔都有自己的局部坐标系；

5）以内圈中心Oi为原点建立内圈质心坐标系Oixiyizi，该坐标系由全局坐标系平移得到，并随着内圈移动和旋转。

1.2 ERSFD计算模型

外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承结构如图2所示，与SFD 相比，ERSFD 在挤压油膜中装配了弹性环结构，弹性环的内、外侧具有均匀交替分布且数量相同的弧形支承凸台，将挤压油膜分隔为多个分段的油膜腔，内凸台与轴承外圈（轴颈）接触，外凸台与轴承座接触，均为过盈配合；在轴颈的激励下，弹性环产生径向变形，可自动调整内、外油膜间隙，使挤压油膜在轴承工作时的油膜压力线性化，从而保证转子系统在极端工况下的稳定性。

图2 外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承结构简图Fig.2 Structure diagram of cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

弹性环相对轴承座不自转，为简化控制方程，本文忽略弹性环上的小孔，且阻尼器没有轴向端封，对油膜流体作以下假设：1）忽略体积力和惯性力；2）薄膜流动；3）未考虑温度效应和轴颈曲率效应；4）流体为不可压牛顿流，层流流动。将弹性环与轴承外圈之间的间隙视作内腔，与轴承座之间的间隙视作外腔，根据以上假设并结合N-S方程，推导出ERSFD的油膜控制方程为

式中：R为轴颈半径；x，θ分别为轴向和周向坐标；h1，h2分别为弹性环与轴承外圈和轴承座之间的油膜厚度；p1，p2分别为内、外油膜压力；μ为润滑油动力黏度；Ω为轴颈进动速度；r为弹性环径向变形量；t为时间；c1，c2为ERSFD 与轴承外圈和轴承座的油膜半径间隙；e为轴颈偏心距。

阻尼器轴向两端的边界条件为

式中：pe1，pe2为阻尼器轴向初始压力，本文研究ERSFD 无密封的情况，初始压力为0；L为阻尼器宽度。

将内凸台视为刚性结构并与轴颈的外圆柱面接触，外凸台与轴承座内径面的接触视为固定约束，则弹性环上第i个凸台的径向位移为［13］

式中：N为弹性环凸台数量。

将（1），（2）式积分，推导出内、外油膜压力p1和p2的表达式为

式中：̇为轴颈偏心距e的一阶导数；z，θ分别为油膜方向和周向坐标。

周向油膜力Ft和径向油膜力Fr可以通过对油膜压力在下边界角至上边界角之间进行积分获得

将ERSFD作用在外圈的油膜力转换到y和z方向

式中：φ为轴承径向与z轴之间的夹角。

1.3 动力学微分方程

1.3.1 滚子动力学微分方程

内圈、外圈、保持架都对滚子产生作用，滚子受力如图3 所示。本文采用“切片法”对滚子进行处理，计算滚子所受载荷。

图3 滚子受力示意图Fig.3 Diagram of roller forces

滚子动力学微分方程为

式中：mr为滚子质量为第j个滚子在y，z方向的加速度；Nij，Nej分别为第j个滚子与内、外圈的接触力；φj为第j个滚子的方位角；Qcj，Fcj分别为第j个滚子与保持架横梁的接触力与摩擦力；Tij，Tej分别为第j个滚子与内、外圈的拖动力；Frj为第j个滚子的离心力；Jrxj，Jryj，Jrzj为第j个滚子绕x，y，z轴的转动惯量；为第j个滚子绕x，y，z轴的角加速度；Dw为滚子直径；MiNj，MeNj分别为第j个滚子与内、外圈的接触力产生的附加力矩；MiTj，MeTj分别为第j个滚子与内、外圈的拖动力产生的附加力矩；Mcj为第j个滚子与保持架的接触力产生的附加力矩。

1.3.2 保持架动力学微分方程

保持架受到滚子的碰撞摩擦力、保持架与引导面之间的润滑油对保持架端面和表面阻力的共同作用，保持架受力如图4所示。

图4 保持架受力示意图Fig.4 Diagram of cage forces

保持架动力学微分方程为

式中：mc为保持架质量；为保持架在y，z方向的加速度；Z为滚子数量；F′cy，F′cz分别为在流体动压效应下套圈引导面对保持架作用力在y，z方向的分量；ψc为引导面作用力与yc轴的夹角；Gc为保持架重力；Jcx，Jcy，Jcz为保持架绕x，y，z轴的的转动惯量为保持架绕x，y，z轴的角加速度；M′cx为流体动压油膜与保持架表面之间的摩擦力矩；TCDO为保持架圆柱表面的阻滞力矩；TCDS为保持架端面的牵引力矩。

1.3.3 外圈动力学微分方程

外圈固定，不需要建立外圈力矩平衡方程，与ERSFD耦合后的外圈动力学微分方程为

式中：me为外圈质量；̈ 为外圈在y，z方向的加速度；Fery，Ferz为弹性环对外圈在y，z方向的支反力；Fy，Fz分别为轴承在y，z方向所受的作用力。

1.4 保持架打滑率

圆柱滚子轴承保持架打滑率为

式中：ωc为保持架实际角速度；ωs为保持架理论角速度；α 为滚子与滚道的接触角；Dpw为滚子组节圆直径；ωi，ωe分别为内、外圈角速度。

2 外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架动态特性

以某航空发动机主轴外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承为研究对象，其主要参数见表1。采用GSTIFF 预估-校正变步长积分法求解轴承动力学微分方程组，流程如图5 所示。利用Step 函数实现变转速与变载荷工况，变工况过程为匀速变化，分析转速n、冲击载荷Fs以及弹性环结构参数（凸台宽度、凸台数量）对保持架动态特性的影响。润滑油型号为4106，黏度为0.012 Pa · s，密度为940.9 kg/m3，定压比热容为1.934 kJ/（kg · K）。

表1 外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承主要参数Tab.1 Main parameters of cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

图5 动力学微分方程求解过程Fig.5 Solution procedure of dynamic differential equations

2.1 转速对保持架动态特性的影响

当轴承所受径向载荷为5 kN，弹性环一侧凸台数量为8，弹性环凸台宽度为5 mm，凸台高度为0.36 mm，转速在0.13 ～ 0.14 s 从5 000 r/min 升至9 000 ～ 13 000 r/min，在0.15 s开始下降，并在0.16 s时降至5 000 r/min时，对保持架打滑率进行分析。

变转速工况下普通圆柱滚子轴承和外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架打滑率如图6所示：1）保持架打滑率在快速加速阶段急速上升，随着各加速峰值的增大而增大，在达到平稳后略微下降；在减速阶段，打滑率开始快速下降并出现负打滑，在达到平稳后逐渐恢复至加速前的打滑率。2）在平稳阶段和加减速阶段，外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承比普通圆柱滚子轴承打滑率低，变化率小。

图6 变转速工况下圆柱滚子轴承的保持架打滑率Fig.6 Cage slip rate of cylindrical roller bearing under variable speed condition

在变转速峰值为9 000，13 000 r/min 时，普通圆柱滚子轴承和外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹分别如图7、图8 所示：随着变转速峰值的增大，保持架质心轨迹趋于混乱；外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承质心轨迹比普通圆柱滚子轴承稳定。

图7 变转速工况下普通圆柱滚子轴承保持架质心轨迹Fig.7 Cage centroid track of ordinary cylindrical roller bearings under variable speed condition

图8 变转速工况下外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹Fig.8 Cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

变转速工况下ERSFD的周向油膜力和径向油膜力如图9 所示：ERSFD 的周向油膜力大于径向油膜力，且油膜力均随变转速峰值增大而增大。变转速工况下ERSFD不同区域的油膜压力分布如图10 所示，各区域油膜压力随着变转速峰值的增大而增大。

图9 变转速工况下ERSFD的油膜力Fig.9 Oil film forces of ERSFD under variable speed condition

图10 变转速工况下ERSFD的油膜压力分布Fig.10 Oil film pressure distribution of ERSFD under variable speed condition

产生上述现象的原因为：随着转速的不断增大，滚子受到更大的离心力，使其加剧外抛，滚子与内滚道的拖动力减小，保持架所受径向作用力增大，导致保持架打滑率增大；减速阶段，保持架转速出现延后，造成负打滑现象；ERSFD 产生的油膜阻尼衰减了轴承的整体振动，使保持架运动更稳定，因此在相同工况下外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架打滑率更低，保持架质心轨迹更稳定；变转速峰值增大，外圈所受离心力增大，ERSFD 的油膜间隙减小，产生更大的油膜压力和油膜力。

2.2 冲击载荷对保持架动态特性的影响

当轴承转速为9 000 r/min，初始径向载荷为5 kN，弹性环一侧凸台数量为8，弹性环凸台宽度为5 mm，凸台高度为0.36 mm，轴承在0.13 ～ 0.14 s受到10 ～ 18 kN的冲击载荷，0.15 ～ 0.16 s冲击载荷消失，径向载荷返回至5 kN时，对轴承保持架打滑率进行分析。

不同冲击载荷下普通圆柱滚子轴承和外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架打滑率如图11所示：保持架打滑率随着冲击载荷的增大而减小，在冲击载荷恢复至5 kN后逐渐平稳；在平稳阶段，外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承比普通圆柱滚子轴承的打滑率低；在变载荷阶段，外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承比普通圆柱滚子轴承的打滑率变化率低，运行更稳定。

图11 冲击载荷工况下圆柱滚子轴承的保持架打滑率Fig.11 Cage slip rate of cylindrical roller bearing under impact load condition

在冲击载荷峰值为10，18 kN 时，普通圆柱滚子轴承和外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹分别如图12、图13 所示：随着轴承所受冲击载荷的增大，保持架质心轨迹趋于混乱，外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承质心轨迹比普通圆柱滚子轴承更稳定。

图12 冲击载荷工况下普通圆柱滚子轴承保持架质心轨迹Fig.12 Cage centroid track of ordinary cylindrical roller bearings under impact load condition

图13 冲击载荷工况下外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹Fig.13 Cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

变载荷工况下ERSFD的周向油膜力和径向油膜力如图14所示： ERSFD 的周向油膜力大于径向油膜力，随冲击载荷峰值增大，油膜力增大。ERSFD 不同区域油膜压力分布如图15 所示，各区域油膜压力随着冲击载荷峰值的增大而增大。

图14 冲击载荷工况下ERSFD的油膜力Fig.14 Oil film forces of ERSFD under impact load condition

图15 冲击载荷工况下ERSFD的油膜压力分布Fig.15 Oil film pressure distribution of ERSFD under impact load condition

产生上述现象的原因为：随着轴承所受冲击载荷的增大，承载区滚子数量增多，滚子对保持架拖动力增大，滚子与滚道的接触载荷增大，保持架打滑率减小；ERSFD结构产生的油膜阻尼使轴承运转更为稳定，平稳阶段外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承的打滑率比普通圆柱滚子轴承低，受冲击载荷阶段保持架打滑率变化比普通圆柱滚子轴承小，保持架质心轨迹更稳定；冲击载荷峰值增大，整体结构受力增大，导致内、外腔油膜压力增大，油膜力增大。

2.3 弹性环结构参数对保持架动态特性的影响

对以下2种工况分析弹性环结构参数对外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架打滑率的影响：1） 变转速工况，径向载荷为5 kN，转速在0.13～0.14 s从6 000 r/min升至10 000 r/min，在0.15 s开始下降，并在0.16 s 时降至6 000 r/min；2） 冲击载荷工况，转速为7 000 r/min，初始载荷为5 kN，在0.13～0.14 s 受到10 kN 的冲击载荷，0.15～0.16 s冲击载荷消失，径向载荷返回至5 kN。

2.3.1 弹性环凸台宽度

弹性环一侧凸台数量为8，凸台高度为0.36 mm，弹性环凸台宽度分别为5，7，9，11，13 mm。

弹性环凸台宽度对保持架打滑率的影响如图16 所示：在平稳阶段，保持架打滑率在凸台宽度为11 mm 时最小；在变转速和冲击载荷工况下，保持架打滑率的变化量在凸台宽度为11 mm时最小。说明在凸台宽度为11 mm 时阻尼效果最佳。

图16 凸台宽度对外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承保持架打滑率的影响Fig.16 Influence of boss width on cage slip rate of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring

弹性环凸台宽度分别为5，11 mm 时，变转速和冲击载荷工况下保持架的质心轨迹分别如图17、图18 所示：凸台宽度越大，保持架质心轨迹越稳定，保持架打滑率越小。

图17 变转速工况下凸台宽度对外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹的影响Fig.17 Influence of boss width on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

图18 冲击载荷工况下凸台宽度对外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹的影响Fig.18 Influence of boss width on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

产生上述现象的原因为：过小的凸台宽度导致弹性环刚度过小，弹性环的支承刚度在圆周上分布不均，这会使ERSFD的阻尼效果减弱，油膜力减弱，轴承稳定性降低，保持架打滑率增大，保持架质心轨迹混乱。

2.3.2 弹性环凸台数量

弹性环凸台宽度为5 mm，凸台高度为0.36 mm，弹性环一侧凸台数量分别为8，10，12，14，16。

弹性环凸台数量对保持架打滑率的影响如图19所示：在平稳阶段，保持架打滑率在凸台数量为12时最小；在变转速和冲击载荷工况下，保持架打滑率的变化量在凸台数量为12时最小。说明弹性环凸台数量为12时阻尼效果最好。

图19 凸台数量对外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架打滑率的影响Fig.19 Influence of boss number on cage slip rate of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring

凸台数量分别为8，12 时，变转速和冲击载荷工况下保持架的质心轨迹分别如图20、图21 所示：凸台数量越多，保持架质心轨迹越稳定，保持架打滑率越小。

图20 变转速工况下凸台数量对外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹的影响Fig.20 Influence of boss number on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

图21 冲击载荷工况下凸台数量对外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承保持架质心轨迹的影响Fig.21 Influence of boss number on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

随着凸台数量的增大，凸台的间距减小，弹性环刚度增大，说明改变弹性环凸台数量与凸台宽度时，保持架打滑率与质心轨迹的变化规律一致。

3 结论

建立了外圈带有ERSFD的圆柱滚子轴承动力学分析模型，分析转速、冲击载荷以及弹性环结构参数对保持架动态特性的影响，得到以下结论：

1）在相同工况下，外圈带有ERSFD 的圆柱滚子轴承的保持架打滑率比普通圆柱滚子轴承的小，运行更稳定。

2）转速和冲击载荷对外圈有无ERSFD的圆柱滚子轴承保持架动态特性均影响较大。随着变转速峰值的增大，保持架打滑率逐渐增大；随着冲击载荷峰值的增大，保持架打滑率逐渐减小。

3）随着凸台宽度和凸台数量的增大，保持架打滑率均先减小后增大；过大或过小的的弹性环刚度会使ERSFD 的阻尼作用降低，所以要选择合适的弹性环结构参数。在此模型中最优参数为：凸台宽度5 mm、凸台数量12。