多结点力矩分配法精确计算研究

吴 昊

(西南交通大学土木工程学院，成都 610031)

力矩分配法是经典位移法的一种派生方法，由Hardy Cross 于1930 年提出[1]，主要适用于连续梁和无侧移超静定刚架等，计算时采用与位移法相同的基本结构，以杆端弯矩为目标，通过逐次放松约束，逐步逼近精确解，而且由杆端累计分配弯矩能够方便地估算结点角位移，概念直观，方法实用，适于手算，目前在中小型结构初步设计、定性分析和电算结果校核等场合仍发挥重要作用。电算技术的快速发展对结构分析方法的精度和效率提出更高要求，研究表明[2]，力矩分配法是增量形式的Jacobi 迭代法在求解位移法线性方程组中的应用，收敛性好，但用于多结点结构时只能得到渐近解，与结构力学的精确解不相符，且计算轮数一般不低于两轮。

万度[3]采用修正的转动刚度和传递系数对敞口刚架和连续梁的力矩一次分配法进行了研究，该方法可简化力矩分配法的计算过程。刘茂燧等[4]以多跨连续梁作为单元，通过推导连续梁杆端转动刚度和传递系数递推公式，经过一次分配即可得到任意跨连续梁杆端弯矩精确解。Dowell[5]根据杆端分配弯矩和传递弯矩的计算特点，基于收敛无穷几何级数取极限的方法得到了力矩分配法求解一般连续梁和无侧移刚架结构的闭合解公式。刘天一等[6]利用等比数列求和的方法，推导了含有3 个刚结点结构杆端弯矩的力矩分配法精确计算公式。朱晓江等[7]提出了力矩分配法的方程解法，将力矩分配法的渐近计算过程转化为求解以各结点历次分配力矩代数和为未知量的方程组，从而得到杆端弯矩精确解。以上研究对于完善多结点力矩分配法的应用具有重要意义，但计算过程相对繁琐，且对于一般多结点结构缺少广泛适用性。

本文在传统力矩分配法基础上提出一种以分配结点为约束对象、分层移除结点约束的计算策略，在不求解联立方程条件下建立外载荷与杆端弯矩精确解之间的直接联系，可为进一步考虑受弯杆轴向和剪切变形影响以及开展有侧移结构力矩分配法精确解研究等提供参考。

1 基本思路

多结点力矩分配法应用的关键在于选取合理的放松策略以及确定相应的力矩分配系数和传递系数，为保证结点放松时转动刚度和传递系数已知，传统力矩分配法要求相邻结点不同时放松且力矩分配与传递完成后将结点在变形后的位置上再次固定，继续放松相邻结点时产生的传递弯矩会使固定结点再次获得弯矩增量即新的结点不平衡力矩，相当于每次放松结点只有一个或一组不相邻刚结点满足力矩平衡，由此可知，这种轮流放松结点的策略虽然能使结点不平衡力矩不断减小，但有限次循环内无法将其完全消除。

结点不平衡力矩产生的根本原因在于结点附加约束和结点协调变形，如果采取将附加约束移除的去约束方式，即结点放松后保持放松状态至计算结束，继续放松其他结点过程中已放松结点能够时时处于平衡状态，传递弯矩会使已放松结点产生转角增量，但不会在其中引起新的不平衡力矩，当放松最后一个或一组结点时，所有结点变形完全恢复至最终平衡位置，基本体系与原结构的差异全部消除。因此，与单结点力矩分配法一样，所得杆端弯矩为精确解。以下结合图1(a)所示受一般载荷作用的连续梁进行说明。

图1 两结点力矩分配法计算示意

上述计算过程可总结为分配结点不平衡力矩反号后经分配与传递使结点连续进入平衡状态，各杆端通过结点协调变形获得弯矩增量。放松结点1 时，因远端结点2 处于放松状态，杆端转动刚度和传递系数均未知，有必要推导相应的计算公式。

2 转动刚度和约束刚度、分配系数和传递系数

等直杆AB转动刚度SAB定义为A端发生单位转角时引起的A端弯矩，其大小与杆件线刚度i=EI/l和远端支承情况有关，远端结点固定以及远端只与基础相连的无侧移杆转动刚度为常数，当远端为可动刚结点时，结点受力变形过程中其他汇交杆由于变形协调会产生约束作用，这种弹性约束可采用转动弹性支座进行等效，弹性支座转动刚度系数可由同一刚结点其他汇交杆（以下称结点余杆）转动刚度进行计算并定义为约束刚度，记作kr，反映结点余杆对杆端转动的约束作用大小。单刚结点（如连续梁刚结点等）的约束刚度即相应的杆端转动刚度。

远端为转动弹性支座且约束刚度kr的等直杆AB近端A发生单位转角时的杆端弯矩，即形常数可由位移法或单结点力矩分配法进行计算，如图2 所示。

表1 等直杆转动刚度和传递系数

图2 远端转动弹性支承等直杆弯矩形常数

3 计算要点

本文所提出的力矩分配精确计算方法采用与传统力矩分配法相同的杆端内力符号和计算假定，但在基本结构选取、放松约束的方式以及力矩分配系数和传递系数确定方面有所不同。

（1）固定结点

附加刚臂将结点临时固定，施加载荷计算固端弯矩。需要强调的是，不平衡力矩Rip=0 的结点，如相连各杆均无载荷且无集中力偶作用的结点等，无论是否附加约束，基本体系中其转角位移均为0，因而可不作为分配结点，即选取基本结构时可只对不平衡力矩不为0 的结点附加约束，而不影响计算结果，将原结构等效为远端固定、转动弹性、铰支或滑动等4 类基本杆件的组合。当结构中有悬臂、带轴向支杆等弯矩静定杆，或有对称性可以利用时，先进行必要简化。

（2）放松结点

为确保结点放松时转动刚度和传递系数已知或可计算，将所有分配结点划分为若干计算层，其中，远端只与基础相连杆件所连分配结点归为首层，相邻分配结点归为新的一层，依次向内分层，每层含1 个或多个分配结点。按照同层相邻分配结点不同时放松但可间隔放松或依次放松、放松后不重新固定的原则，从首层结点（始结点）开始，由外向内逐层移除结点约束，直到放松末层结点（终结点）。

始结点放松时，相邻分配结点均处于固定状态，可能有相邻结点处于放松状态；其他层结点放松时，至少有一个远端结点处于放松状态；终结点放松时，所有结点全部处于放松状态。各分配弯矩使相应远端产生传递弯矩和转角增量，其他汇交杆通过协调变形获得弯矩增量，计算时将传递弯矩反号后按各汇交杆转动刚度的比例分配，并继续向同层和下一层相关放松结点传递和分配，经过一系列的结点平衡后最终传向支座。因此，分配弯矩向放松结点的传递过程为单向传递。

（3）叠加

将各杆端固端弯矩、分配和传递弯矩叠加得最终杆端弯矩，进而用叠加法作弯矩图。

4 算例

例1：用力矩分配法计算图3 所示三跨连续梁。

解：该结构具有2 个刚结点，采用传统力矩分配法计算时，所有结点均作为分配结点，基本结构如图3(b)所示，从C结点开始，通过轮流放松结点进行力矩分配与传递，主要过程及结果（计算三轮）列于表2 中，弯矩单位为kN·m。

表2 传统力矩分配法计算

采用本文方法计算时，由载荷作用特点，可只取C结点作为分配结点，按单结点力矩分配法进行处理，基本结构见图3（c），而且，因结点B处不平衡力矩为0，无需计算相应的转动刚度和分配系数。计算C结点处分配系数时，B结点处于放松状态，由kr=SBA=EI分别代入式（1）和 式（2）可 得SCB=8EI/7 和CCB=0.25 ，SCD为已知，相应的分配系数µ，传递系数C，固端弯矩MF，分配与传递弯矩等主要结果见表3所示，弯矩单位为kN·m，各杆端最终弯矩均为精确解。

表3 精确力矩分配法计算

对比表2 和表3 可知，传统力矩分配法尽管分配系数计算简单、传递系数为常数，但过程繁琐，计算量大，结果近似，而本文方法计算量小，结果精确。

例2：用力矩分配法计算图4 所示六跨连续梁。

图4 六跨连续梁结构

解：由载荷作用特点，取全部结点作为分配结点并按顺序分层，可选顺序包括B→F（5 层）、F→B（5 层）和B→D←F（3 层）等，为减少力矩分配与传递次数，选B→D←F顺序，即以结点D为中心将分配结点分为3 个计算层，结点B和F为首层，C 和E为第2 层，D为末层，同层分配结点均不相邻，可同时放松，当放松第2 层及末层结点时，转动刚度和传递系数需计算确定。转动刚度S，分配系数µ，传递系数C，固端弯矩MF，力矩分配和传递过程以及位移法结果等如表4 所示，弯矩单位为kN·m。

表4 六跨连续梁精确力矩分配法计算

由表4 可知，各层刚结点下方只有一条平衡线，即最终平衡时只经历一轮完整力矩分配和传递过程，结点约束全部移除，相应的不平衡力矩全部消除，所得结果与位移法完全一致，为精确解。

例3：已知各杆EI为常数，用力矩分配法计算图5 所示刚架，并作弯矩图。

图5 无侧移超静定刚架

解：由载荷作用特点，取所有刚结点作为分配结点并分为2 个计算层，结点A，C和E为首层，D为末层，其中，首层各结点均不相邻可同时放松。由于E结点为复刚结点，D结点放松时的传递弯矩反号后按EF杆，EI杆的转动刚度比例分配并向支座传递。具体计算过程和最终弯矩图分别如图6 和图7 所示。

图6 力矩分配与传递计算过程

图7 弯矩图（单位：kN·m）

5 结论

（1）将分配结点依次分层并按照同层相邻结点不同时放松、放松后不重新固定的原则逐层移除约束的计算策略，一方面能够使各分配弯矩直接或通过已放松结点向支座传递，从而快速消除结点不平衡力矩，另一方面各分配结点只经过一轮完整力矩分配和连续传递变形即恢复至最终平衡位置，结果精确，计算量小。

（2）按顺序放松结点时，分配弯矩和向各放松结点的传递弯矩可由远端转动弹性支承等直杆与约束刚度有关的转动刚度和传递系数计算得到，公式形式简洁，便于应用。

（3）各分配弯矩向放松结点的传递是以支座为终点的单向连续传递过程，传递弯矩使结点产生转角增量，结点余杆通过协调变形获得弯矩增量，计算时将传递弯矩反号后按结点余杆转动刚度的比例分配并向相邻结点传递和分配，直至支座。