具有两类平行顾客的灾难清空排队系统均衡分析

徐秀丽,张荣荣

(燕山大学 理学院,河北 秦皇岛 066004)

从经济学的角度研究排队系统的顾客止步行为已成为近年随机运筹和管理科学研究的热点.NAOR[1]首次研究了在简单线性收益函数下可见情形M/M/1排队系统中顾客的均衡策略.在服务系统中,由于故障出现可能导致在场的顾客全部消失,进而产生了清空排队.ECONOMOU等[2]研究了顾客到达率和清空发生率随外部随机环境变化而变化的清空排队系统,得到了顾客的均衡策略.张雪露等[3]在几乎可见情形下将马氏清空排队系统应用于交通服务中,得到了顾客的均衡进队策略.BU等[4]研究了具有启动时间和多重休假的M/G/1清空服务系统,得到了任意时刻系统的平均队长等性能指标,并对该系统进行了成本分析.

在清空排队系统中,故障发生时顾客可能并未接受服务而被迫退出,需要对顾客的损失给予一定的补偿,如航空公司因天气或其他不可抗力取消航班,此时航空公司会负责安排顾客食宿问题或提出其他解决顾客出行的办法.因而,ECONOMOU 等[5]在不可见情形下讨论了不可靠排队系统中顾客的均衡止步行为.BOUDALI 等[6]研究了顾客因灾难到达而被迫退队离开的M/M/1排队系统,且被迫退队的顾客可得到一定程度的补偿,服务台被修理完成后顾客才能进入系统,最后求得了顾客的均衡策略和社会最优进队策略.随后,BOUDALI等[7]考虑了更一般的情况,即在维修完成之前允许新到达的顾客进队.TIAN 等[8]在文献[7]基础上考虑了顾客到达时队长不可见的情形,得到了顾客的均衡止步策略.近期,LI等[9]在重试排队系统中考虑了系统发生灾难的情形,并在完全可见和几乎不可见两种信息水平下得到了顾客的均衡止步策略和社会最优策略.

此外,在实际生活中,顾客的类型往往不止一种,如在网络平台购物或其他服务中新老顾客的到达;在银行或其他类似服务系统中,企业顾客和个人顾客的到达;票务服务中心来自不同渠道的订单等.这些不同类型的顾客以不同速率到达系统,且两者完成服务得到的收益和等待带来的损失皆不相同.张淞钛等[10]研究了服务器不完全可靠的排队系统,该系统服务台的维修带有延迟维修特性,并得到了两类平行顾客的均衡策略行为.徐秀丽等[11]研究了完全可见情形下,具有完全故障和可中断启动关闭策略的排队系统中两类顾客的均衡策略和社会最优收益.

考虑到在各种网购平台大型店铺特殊节日的限时促销活动中,新老顾客的到达率不相同,但都会面临因后台崩溃而抢单失败的可能,而商家将通过发放优惠券作为补偿.在网络通信中,服务器可能会在不同类型信息的传输过程中遭受病毒的攻击,而使待传输的信息丢失或损坏,系统则通过及时抢修和处理,在一定程度上恢复部分信息,以此可视为补偿.基于上述背景,本文将两类平行顾客与灾难清空的系统相结合,基于线性收益-损失函数,在完全可见和几乎可见两种情形下,得到了顾客的均衡阈值策略以及系统单位时间的平均社会收益.最后,在数值分析中讨论了灾难到达率与顾客进队策略及系统平均社会收益的影响关系.

1 模型描述

考虑一个先到先服务(FCFS),容量无限的M/M/1排队系统.该系统中两类平行顾客的到达过程相互独立且分别是参数为λ1和λ2的泊松过程.服务台正常工作时,服务时间服从参数为μ的负指数分布.当系统发生灾难时,在场的顾客包括正在接受服务的顾客全部被清空,且灾难维修期间新到达的顾客不再进入系统.灾难发生的时间间隔及维修时间分别服从参数为ξ和η的负指数分布.在该系统中,顾客到达过程、灾难到达过程、服务过程及维修过程均相互独立.

将时刻t系统所处的状态记为(N(t),I(t)),其中N(t)和I(t)分别表示时刻t系统中的顾客数和服务台的状态,且I(t)=0,1分别表示系统处于灾难维修状态或正常工作状态.因此,随机过程{(N(t),I(t)),t≥0}是一个二维连续时间马尔科夫链,其状态空间为Ω={(0,0)}∪{(n,1),n≥0}.

假设顾客是风险中立的,顾客一旦进入系统不能中途退出或决定止步后不能再进入系统.本文关注顾客到达系统时的策略行为,即选择进入还是选择止步.记第j类顾客线性“收益-损失”函数为

Sj(n)=RsjPs+Rf(1-Ps)-CjE(W),j=1,2,

(1)

其中,Rsj表示第j类顾客在接受服务后所能获得的收益,Ps表示顾客接受服务后离开系统的概率,Rf表示因灾难发生而被迫退队的顾客得到的补偿,其在一定程度上可减轻顾客的不满,Cj表示第j类顾客单位时间的等待费用,E(W)表示顾客的平均逗留时间.

顾客需要根据到达系统时获取的信息作出决策,通过了解顾客是否知晓系统中的顾客数和自身顾客类型,将信息分为以下两种:

(1)完全可见情形:顾客到达时系统中的顾客数及自身所属顾客类型均可见;

(2)几乎可见情形:顾客到达时系统中的顾客数可见,自身所属顾客类型不可见(实际问题中可由系统分配).

2 完全可见下的均衡策略分析

在完全可见的情形下,到达的顾客知道系统中的顾客数,同时也知道自身所属的顾客类型.假定第j类顾客进入系统排队的阈值为Nj,j=1,2,即当系统中的顾客数N(t)≤Nj时,顾客选择进入;否则止步.不妨假设第一类顾客先止步,即N1≤N2.记λ=λ1+λ2,其状态转移图如图1所示.

定理1在具有两类平行顾客且灾难清空的完全可见M/M/1排队系统中,第j类顾客的均衡止步策略为Nj,j=1,2,则顾客的均衡止步策略为:

(2)

证明到达的顾客只在系统正常工作状态时才进入系统.因此考虑当系统处于状态(n,1)时,一个标记的第j类顾客选择进入系统,那么该顾客离开系统时有两种情形:一是接受服务后离开系统,此时该顾客的逗留时间为n+1个顾客接受服务的时间,记为Yn+1;二是系统发生灾难,则该标记顾客被迫退队离开,此时顾客的逗留时间为灾难发生的时间间隔,记为X.因此,第j类标记顾客在系统中的逗留时间为W=min(Yn+1,X).显然,Yn+1服从参数为(n+1,μ)的Erlang分布,X服从参数为ξ的负指数分布,且Yn+1与X相互独立.

由式(1)可知,在完全可见M/M/1排队系统中,当系统具有两类平行顾客且灾难清空时,当第j类顾客观察到系统状态为(n,1),进入系统接受服务或被迫离开时获得的平均收益Soj(n)可表示为

Soj(n)=RsjP(Yn+1

(3)

由模型假设计算得出:

(4)

(5)

将式(4)、(5)带入式(3)整理得:

(6)

注为满足第一类顾客先止步即N1≤N2,需满足A1≥A2,即

接下来求系统的平稳分布.当第j类顾客到达时观察到系统顾客数N(t)≤Nj时进入系统,令{P(0,0)}∪{P(n,1),n=0,1,…,N2+1}表示系统的稳态概率,可列出系统稳态平衡方程:

(7)

(λ+ξ)P(0,1)=ηP(0,0)+μP(1,1),

(8)

(λ+μ+ξ)P(n,1)=λP(n-1,1)+μP(n+1,1),n=1,2,…,N1,

(9)

(λ2+μ+ξ)P(N1+1,1)=λP(N1,1)+μP(N1+2,1),

(10)

(λ2+μ+ξ)P(n,1)-λ2P(n-1,1)+μP(n+1,1),n=N1+2,…,N2,

(11)

(μ+ξ)P(N2+1,1)=λ2P(N2,1).

(12)

定理2在具有两类平行顾客且灾难清空的完全可见M/M/1排队系统中,当所有顾客都遵循均衡阈值策略(N1,N2)时,系统的平稳分布为

(13)

(14)

定理3在具有两类平行顾客且灾难清空的完全可见M/M/1排队系统中,系统单位时间的平均社会收益为

(15)

其中,

证明由图1可知第一类和第二类顾客的有效到达率分别为

在具有两类平行顾客且灾难清空的排队系统中,顾客获得的收益由两部分构成:服务完成获得的收益Rsj;因灾难到达未接受服务而获得的补偿Rf.因此考虑一个到达的第j类顾客,该顾客获得的平均收益为Rsj和Rf的加权均值.由式(4)可知,任意一个到达的顾客观察到系统状态为(n,1)时,其接受服务的概率为P(Yn+1

由两类顾客的到达率及式(13)可知,两类顾客的平均队长分别为

将上述结果代入式(14),整理可得式(15).

3 几乎可见下的均衡策略分析

考虑一个标记顾客,在几乎可见情形下,该顾客到达时系统中的顾客数对该顾客可见,自身所属的顾客类型对该顾客不可见.假定两类顾客有相同的阈值策略Ne,即N1=N2=Ne,系统状态转移图如图2所示.

定理4在具有两类平行顾客且灾难清空的几乎可见M/M/1排队系统中,任意一类顾客观察到系统中的顾客数N(t)≤Ne时,选择进入系统,均衡阈值Ne有如下形式

(16)

证明几乎可见情形下,在具有两类平行顾客且灾难清空的排队系统中,第一二类顾客的到达率分别为λ1和λ2,因此考虑一个到达的顾客,该顾客为两类顾客中第一类顾客的概率为λ1/(λ1+λ2),为第二类顾客的概率为λ2/(λ1+λ2).令E(W)表示到达顾客进队的平均逗留时间,显然,E(W1)=E(W2)=E(W).根据式(1),可知到达顾客进队获得的平均收益为

根据式(4)和式(5),整理得到顾客的平均收益为

(17)

显然,Sa(n)是关于n的单调递减函数,所以顾客的均衡阈值Ne唯一.令顾客的平均收益Sa(n)=0,则可得两类顾客的均衡阈值Ne.

接下来求系统的平稳分布.在几乎可见情形下,当到达的顾客观察到系统中的顾客数N(t)≤Ne时进入系统,令{P(0,0)}∪{P(n,1),n=0,1,…,Ne+1}表示系统的稳态概率,可列出系统稳态平衡方程

(18)

(λ+ξ)P(0,1)=ηP(0,0)+μP(1,1),

(19)

(λ+μ+δ)P(n,1)=λP(n-1,1)+μP(n+1,1),n=1,2,…,Ne,

(20)

(μ+ξ)P(Ne+1,1)=λP(Ne,1).

(21)

解上述平衡方程可得下述结论.

定理5在具有两类平行顾客且灾难清空的几乎可见M/M/1排队系统中,当系统中到达的顾客均以均衡阈值Ne作为止步策略时,系统的平稳分布为

(22)

定理6在具有两类平行顾客且灾难清空的几乎可见M/M/1排队系统中,当任意到达的顾客均以阈值Ne作为止步策略时,系统单位时间的平均社会收益为

(23)

其中,

证明由图2可得到两类顾客的有效到达率分别为

因到达的顾客不知道自身所属的顾客类型,则两类顾客有相同的阈值策略,且两类顾客接受服务或被迫退队的概率相同.同样对于任意一个到达的顾客,其接受服务的概率为

由系统稳态分布可知,两类顾客的平均队长分别为

根据式(14),可分别得到几乎可见下两类顾客单位时间的平均社会收益,整理可得式(23).

4 数值分析

本节基于上述研究结果,在完全可见和几乎可见两种信息精度下,分析了两类顾客个体均衡阈值和系统单位时间的平均社会收益对灾难到达率ξ的敏感度.

设Rs1=9,Rs2=7,Rf=6,C1=7,C2=6,μ=4,图3表明完全可见情形下两类顾客的均衡阈值Nj随灾难到达率ξ的变化趋势.首先,个体的均衡阈值与两类顾客的到达率无关.其次,在完全可见情形下,顾客以均衡阈值进队需满足条件ξ≥Cj/Rf,因而由图3可以看出,随着灾难到达率的增大,两类顾客的均衡阈值在逐渐减小,说明此时顾客因灾难获得的补偿小于在系统中等待付出的成本,则新到达的顾客不愿意进入系统,若要增加系统中的顾客数,系统管理者需要提高对顾客的补偿.

设Rs1=8,Rs2=7,Rf=6,C1=7,C2=6,μ=4,η=2,λ1=1,λ2=2,图5为几乎可见情形下两类顾客的均衡阈值Ne与灾难到达率ξ的相关关系图.当两类顾客不知自身顾客类型时,有相同的均衡阈值.总体阈值在ξ=1处取得极值,在ξ=1左侧阈值随灾难到达率的增加而增加,在ξ=1右侧阈值随灾难到达率的增加而减小.

5 结 语

本文研究了在具有两类平行顾客的灾难清空排队系统中顾客均衡策略行为.在完全可见和几乎可见两种信息精度下,基于顾客收益-损失函数,得到了个体均衡阈值策略和系统单位时间的平均社会收益.最后,通过数值算例得到了灾难到达率对顾客阈值策略和系统平均社会收益的影响,可为相关灾难清空排队系统的优化提供一定参考.