Geogebra软件在中职数学的应用

吴慧兰 王丽琴

摘  要：学考背景下中职数学作为中职教育阶段的“老大难”学科，结合信息技术改善教学手段，促进教学效果显得尤为重要。Geogebra软件是一个集数学运算、图像绘制、动态演示等特点于一体的数学软件，在课堂操作应用中可以很好地将教学中一直存在的难点和痛点可视化，激发学生的学习兴趣，增加课堂的活力。文章基于“Z世代”中职学生的特点，以函数、几何、概率等章节的课堂教学为例，对Geogebra软件在中职数学课堂中的应用进行研究，研究表明使用效果显著。

关键词：Geogebra软件；中职学生；可视化

中图分类号：TP39；G434  文献标识码：A  文章编号：2096-4706（2023）24-0179-05

Application of Geogebra Software in Mathematics Teaching in Vocational Schools

WU Huilan， WANG Liqin

（Vocational College， The Open University of Fujian， Fuzhou  350013， China）

Abstract： Under the background of academic examination， secondary vocational mathematics， as a“difficult”subject in the secondary vocational education stage， combining information technology to improve teaching methods and promote teaching effectiveness is particularly important. Geogebra software is a mathematical software that integrates mathematical operations， image rendering， dynamic demonstrations， and other features. In classroom operation applications， it can effectively visualize the difficulties and pain points that have always existed in teaching， stimulate students' interest in learning， and increase the vitality of the classroom. This paper is based on the characteristics of vocational school students in the “Z era”， and takes classroom teaching of functions， geometry， probability， and other chapters as examples to study the application of Geogebra software in vocational school mathematics classrooms. The research shows that the use effect is significant.

Keywords： Geogebra software; students of secondary vocational school; visualization

0  引  言

随着科技的发展，新课程改革标准中提出了要大力推广信息技术与学科的整合。信息技术在教学中的应用从最初的PPT课件、微课、各类教学软件到现在的各类手机APP平台，教育信息化已经成为教育发展的一个大趋势。信息技术为我们提供了一个充满活力的学习环境。数学的学习中我们一直提倡数形结合的思想，将原本枯燥抽象的内容形象化生动化，因此数学可视化逐渐成为大家关注的焦点。唐慧荣学者定义：“将抽象的数学学习对象（抽象的概念原理、符号表征、结构关系、思想方法等）用图形、图像、动画等‘可看得见的、清楚呈现的表征形式表示出来，使人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解”[1]。本文借鉴了唐慧荣学者的观点，同时借助Geogebra软件实现数学可视化的目标，帮助学生解决数学问题，促进学生的思维能力发展，带领学生感受数学的美，即借助视觉想象力照亮数学的各种事实和问题[2，3]。

1  中职学生的特点分析

当前中职学校的在校学生普遍生于2005年之后，即Z世代。Z世代，别名“互联网世代”，是指1995—2009年出生的一代人，具有下面的特点[4]：兴趣优先，注重实用主义，注重画面、观感体验，依赖科技，追求化繁为简。Z世代中职生绝大多数是中考失利进入中职学校就读[5]，对选择的专业不了解，没有兴趣，在课堂上专注力低，将大部分时间花费在手机网络上。结合Z世代中职生的现状分析，以教師为核心的传统中职数学课堂很难吸引学生的注意力，达到预期的教学效果。因此，尝试将课堂主体转向学生，可能得到更好的效果。软件Geogebra的出现可以帮助学生更快、更好地成为课堂的主人，主要原因有[6]：第一，软件Geogebra是一款结合几何、代数、微积分的动态数学软件，具有强大的数学运算、图像绘制、动态演示等功能，弥补了几何画板在教学中的种种缺陷；第二，软件Geogebra是一款免费的开源软件，同时拥有手机版APP，界面好操作，对于Z世代中职学生来说上手简单，容易掌握，很大程度降低了数学知识认知的“门槛”；第三，软件Geogebra的使用可以进一步加深师生的学习交流，实现教学做合一[7]。

2  Geogebra软件在中职数学的应用实例

2.1  软件Geogebra实现函数概念和性质可视化

我国清朝数学家李善兰认为“凡此变数中函彼变数者，则此为之彼之函数”。函数的理论表述一般都是抽象的、晦涩难懂的，函数的图像性质则由于其变化性显得抽象难以理解，因此对于Z世代中职学生来说，找到合适的方法来帮助理解函数的概念和性质是非常必要的。软件Geogebra可以创设情境、绘制函数图像等，化抽象为具象，引导学生主动参与设计情境，提高学生的数学动手能力[3]。

例如，分段函数：

比较f （240）与f （300）的大小。解析：题目中的数据相对中职生来说较大，这种情况下，如果学生直接代入数据计算函数值，计算量较大容易出错，借助软件Geogebra可以更加简单地解答这个问题。第一步，运用软件Geogebra绘制这个函数的图像，如图1所示。通过观察图像，能够更加深入了解分段函数的特点，帮助学生加深对分段函数概念的理解：自变量在不同范围内取值，对应不同的解析式，对应的函数图像也不一样，每个自变量有且只有一个函数值与之对应[8]。第二步，可以看到函数是一直上升的，得到函数在区间[0，+∞）是单调上升的，很容易根据图像得到函数的单调性。第三步，根据函数的性质就可以直接获得答案。软件Geogebra可以将隐性数学知识显性化，降低函数概念和性质的学习难度，提高学生的学习兴趣。

2.2  软件Geogebra实现不等式问题可视化

一元二次不等式是中职数学的重要内容之一，对于中职学生的观察和计算等能力有较高的要求，通过运用Geogebra绘制一元二次函数图像，引导学生认识不等式的解对应的图像区域，可以有效地帮助学生理解图像法解一元二次不等式，降低一元二次不等式的难度[9]。

例如，探究一元二次不等式x2 - x - 6＞0的解集。解析：第一步，运用Geogebra绘制y = x2 - x - 6函数图像，如图2所示，找到x2 - x - 6 = 0方程的根，即函数图像与x轴相交的位置x = -2，x = -3。第二步，对函数图像进行分析讨论，x轴上方的图像区域所对应的函数值都大于零，x轴下方的图像区域所对应的函数值都小于零。第三步，验证上一步的结论，并写出不等式的解集，运用Geogebra绘制x2 - x - 6＞0的图像，发现与前面分析的对应的x的取值范围是一样的，结论得到验证，最后得到解集（3，+∞）∪（-∞，-2）。学生可以结合手机版Geogebra软件，快速绘制各种不同类型的一元二次函数，自主探究一元二次不等式的解法，缩短自主探究的时间，降低自主探究的难度，提高了学生自主探究、合作交流的能力。

2.3  软件Geogebra实现平面几何问题可视化

直线与圆的方程是平面几何的重要内容，也是中职数学的学习重点。在学习时，应了解直线和圆的三种位置关系和会判断直线与圆的位置关系，软件Geogebra可以直观地帮助学生理解并掌握这个知识点[10]。

例如：判断直线y = -x + b（b为常数）和圆（x - 3）2 + （ y - 4）2 = r2（r＞0，且为常数）的位置关系。解析：第一步，运用Geogebra绘制直线和圆，如图3所示，因为r、b为不确定的常数值，所以运用滑动条动态控制其大小，同时绘制圆心到直线的距离线段d。第二步，控制变量，通过动态实现直线慢慢趋近圆和圆慢慢趋近直线的现象，让学生直观地观察直线与圆的位置关系和r、b的相互影响，用最高效的方法，让学生明白掌握其中的联系。第三步，引导学生自主总结直线与圆的位置关系的判断依据。让学生体会数学动态变化的美，领悟代数和几何的美妙关联。

2.4  软件Geogebra实现动态函数问题可视化

含参函数，因其类型、图像的不确定性，又称为动态函数。动态函数广泛存在于中小学各类试题的压轴题中，同时也存在于中职学业水平测试卷中。深入研究动态函数问题，掌握动态函数的变化规律，也是中职学生的重难点之一。Geogebra软件绘图区可动态显示动点的运行轨迹，它的代数区可以实时更新对应问题的代数式和结果，这些功能可以很好地帮助中职生理解掌握动点问题[10]。

以2022年福建省中等职业学校学业水平考试数学等级性试卷压轴题第三小问为例。已知圆C：（x - 3）2 + y2 = 4，AB为圆C上的任意直径，圆D：（x + 2）2 + y2 = 1，P为圆D的动点，求  的最小值。解析：这个动态问题的求解对中职学生来说难度很大，首先P为动点，确定为动点问题，再者，AB是圆C的任意直径，不是固定的，在一定程度上给学生增加了难度。利用Geogebra软件将问题具象化，如图4所示，动态显示两个不确定的变量对结果的影响，直观的效果展示能够降低解题的难度。第一步，固定动点P（P为附着在圆D上的点），启动A点（A为附着在圆C上的点）的动画功能，改变直径AB的位置，观察  的值的变化，发现其值不变。第二步，固定直径AB的位置，启动点P的动画功能改变其位置，观察  的变化，发现其值随着点P的移动而变化。第三步，在前面兩步观察结果分析的前提下，再次移动点P，得到  取得最小值时，P的位置如图4所示。Geogebra软件的动态演示功能，大大降低了几何中的动点问题的学习难度，促使学生思考，形成解题思路，同时提高了学生的空间想象能力和发散思维能力。

2.5  软件Geogebra实现简单几何体可视化

几何学是数学学科最古老的分支之一，对中职学生的空间想象能力有一定的要求，本阶段学生的形象思维能力和抽象思维能力都处在发展阶段，Geogebra软件通过将虚拟模型具体化，让学生可以实践操作学习对象，既可以提升学生的学习兴趣，也能提升学生各方面的思维能力[10]。

例如：运用投影原理绘制下面简单几何体的三视图和直观图，如图5所示。解析：第一步，运用Geogebra软件绘制几何体，运用其动态显示功能，实现几何体360°旋转，学生可以直观地全方位观察几何体。第二步，通过对三视图（主视图、俯视图、左视图）的理解，引导学生设置三视图的方向。第三步，鼓励学生实际操作三视图的效果，俯视图如图6所示。Geogebra软件3D绘图和全方位旋转显示功能弥补学生对物体模型的想象空缺，增强学生对空间物体的想象能力。

2.6  软件Geogebra实现概率试验课堂可视化

概率与统计是近代数学的重要组成部分，其核心是研究随机变量，对数据进行分析，在培养中职学生的处理随机现象和数据的基本能力上能够发挥巨大的作用。Geogebra软件可以模拟概率中常用的实验，帮助学生直观地理解概率统计的概念思想，激发学生的学习兴趣[11]。

例如：在正方形区域内随机撒一把豆子，求落在区域A内的豆子数和总撒豆子数的比值如圖7所示。解析：第一步，运用Geogebra软件绘制正方形区域和区域A，如图8所示，利用滑动条设置撒豆的数目n，添加显示点散布在正方形区域内的功能，并用不同颜色显示（区域A内和非区域A内的颜色不一样），通过函数得到区域A内的豆子数目a，进而得到比值p = a / n。第二步，拖动滑动条，引导学生讨论探究不同的撒豆数对应的p值，分析p的变化规律。第三步，在多次重复实验中，发现p值在一个常数的附近上下浮动，从而引申出概率的概念。Geogebra软件的概率统计功能可以克服客观条件的限制，简化随机实验的重复操作，增强学生对概率理论的理解验证，提升学生的探究能力。

3  结  论

实践证明，Geogebra软件在中职数学教学的使用效果显著。数形结合可以激发学生对数学的兴趣，提高学生对数学的感知能力；界面简单操作可以提高学生动手实践、自主探索、合作交流等能力；动态演示可以提高学生的空间想象能力和培养学生的发散思维。新时代的中职数学课堂，不可完全依赖Geogebra软件，也不可不用Geogebra软件。应用Geogebra软件辅助教学时，教师应该深入挖掘，创设恰当的问题情境，合理使用信息技术，实现教学做合一。

参考文献：

[1] 唐慧荣.中学数学可视化教学研究 [D].金华：浙江师范大学，2010.

[2] 潘朝夕.“思维可视化”在初中数学教学上的应用 [J].兴义民族师范学院学报，2015（2）：121-124.

[3] 张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台 [J].数学通报，2018，57（7）：21-24+28.

[4] 钱钢，周彬.把握“Z世代”人群特点 创新对外文化推广策略 [J].对外传播，2021（8）：40-42.

[5] 张惠萍.新媒体时代中职生手机上网对身体健康的影响及分析 [J].卫生职业教育，2014，32（24）：112-113.

[6] 李佳宁.基于GeoGeBra的高中概率与统计教学设计研究 [D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2022.

[7] 刘丽.“教学做合一”目标下中职学校线上线下混合式教材设计研究 [D].秦皇岛：河北科技师范学院，2023.

[8] 刘会艳，孙书贞.应用GeoGebra探究“反比例函数的图像和性质”教学 [J].中国现代教育装备，2021（14）：48-50.

[9] 谢丽萍.Geogebra软件在中职数学课堂上的应用 [J].信息记录材料，2019，20（2）：171-172.

[10] 高学，李峰.利用GeoGebra软件开发高中数学实验课件 [J].中国教育技术装备，2020（21）：32-33.

[11] 钱文涛，赵军.GeoGebra软件让数学教学如虎添翼 [J].中国教育技术装备，2014（2）：54-56.

作者简介：吴慧兰（1993.06—），女，汉族，江西上

饶人，助理讲师，硕士研究生，研究方向：中职数学；王丽琴（1985.12—），女，汉族，福建闽侯人，讲师，硕士研究生，研究方向：中职数学。