一定是对称的吗——一道弹簧双振子问题分析

郭培东

(漳州台商区第一中学)

1 问题的提出

2023年福建省七地市第一次模拟考有一道弹簧双振子的题目.该类题目平常只需定性分析两振子的运动,定量关系在高中不作要求.该题的选项B、C 引起师生的热烈讨论.基于此,本文定量分析了两选项,并借用GeoGebra软件作了进一步讨论与验证,希望能给大家一些参考.

2 原题展示

原题如图1-甲所示,质量为m的物块P与物块Q(质量未知)之间拴接一轻弹簧,静止在光滑的水平地面上,弹簧恰好处于原长.现给物块P一瞬时初速度v0,并把此时记为0 时刻,规定向左为正方向,0～2t0时间内P、Q物块运动的a-t图像如图1-乙所示,其中t轴下方部分的面积大小为S1,t轴上方部分的面积大小为S2,则( ).

图1

A.物块Q的质量为

B.t0时刻物块Q的速度为vQ＝S2

C.t0时刻物块P的速度为

D.0～2t0时间内弹簧始终对物块Q做正功

3 定性分析

P、Q两物块从初始状态到t0时刻过程中,P做加速度逐渐增大的减速运动,Q做加速度逐渐增大的加速运动.再根据a-t图像与坐标轴所包围的面积的物理意义表示该过程的速度变化量,同时,由图像易得全程面积关于t＝t0轴对称,因此该过程P速度减少了,Q速度增加了,即t0时刻

可知选项B错误,选项C正确.

细致的学生马上就提出疑问:如何确定“全程面积关于t＝t0轴对称”.如果P、Q做的是简谐运动,则其位移、速度、加速度都按正弦函数变化,图像必然关于中间轴对称,但本题系统的运动类似“毛毛虫运动”,系统质心一直向前做匀速直线运动.假设P、Q做简谐运动,但题中平衡位置一直是变化的,这就说明假设错误,系统做的应该不是简谐运动.进一步考虑,如果P、Q振子相对于质心做简谐运动,那么图像是不是也就对称了,问题是否就能解决了? 由以上分析可以发现这里面图像的对称性并没有那么简单,基于此,下文针对该模型进行定量分析.

4 定量分析

如图2所示,取P、Q为系统,初始时系统的质心C位于坐标原点,以向左为正方向,建立一维坐标系.设弹簧原长为l0,劲度系数为k,为方便书写,物块P相关量下标为1,物块Q相关量下标为2.

图2

对物块P由牛顿第二定律得

对物块Q由牛顿第二定律得

对系统由动量守恒定律得

为把x2用x1表示,式③对t积分得

即

联立式①④得

系统质心C做匀速直线运动,,易得t时刻质心的位置.

物块P相对质心C的位置设为X1,则有

代入式⑤得

同理可得,Q相对质心C位置

Q相对质心C位移

Q实际位置

由S1、S2的表达式可知:两振子相对质心的运动确实是简谐运动,且振动步调完全相反,振动周期相同,都为.

将x1、x2的表达式代入式①②得

显然a1、a2都是正弦函数,图像必然关于中间轴对称了.

为形象地让学生理解两振子的运动,利用GeoGebra的函数功能画出相应函数图像,如图3、4所示.

图3 位置—时间图像

图4 相对质心C 位移—时间图像

5 在高考中的应用

例(2022年全国乙卷,有删减)如图5-甲所示,一质量为m的物块A与轻质弹簧连接,静止在光滑水平面上.物块B向A运动,t＝0时与弹簧接触,到t＝2t0时与弹簧分离,第一次碰撞结束,A、B的v-t图像如图5-乙所示.已知从t＝0到t＝t0时间内,物块A运动的距离为0.36v0t0.A、B分离后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,与一直在水平面上运动的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为θ(sinθ＝0.6),与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求:

图5

(1)第一次碰撞过程中,弹簧弹性势能的最大值;

(2)第一次碰撞过程中,弹簧压缩量的最大值.

分析本题参考答案为 (1);(2)0.768v0t0.

在讲解过程中,会有学生对题中的0.36v0t0这个数据是否科学产生疑问.下文通过两种方法验证一下.

方法1根据机械能守恒有

则只需验证从初始状态到压缩最短时间t′＝t0,由简谐运动相关规律有

联立式①②③可得t′＝1.01t0,数据得证.

方法2借助GeoGebra描绘出函数图像,并根据其积分功能直接算出函数图像包围面积.由式①得,赋值m＝1kg,t0＝4s,v0＝2m·s－1,则k＝0.13N·kg－1.对以上x1、x2的表达式进行微分,同时考虑B的初速度为1.2v0,可以得到A、B的速度表达式分别为

如图6所示,输入函数表达式得到两个v-t图像.

图6 速度—时间图像

输入框输入:积分(vA,0,4),就可以得到物块A在t0时间内的位移为2.88,即等于0.36v0t0,数据得证.

6 总结

本文从定性到定量两个维度分析了有初速度的弹簧双振子模型的运动规律,得出了弹簧双振子模型可等效为相对质心的弹簧谐振子模型,更有说服力也更加通俗易懂.同时借用GeoGebra的函数功能直观地画出振子的运动情况,简单地验证了高考中弹簧双振子模型数据的科学性.

(完)