尺规操作悟规律 事实演绎推结论

2024-03-02 16:12申思顾晓东
江西教育B 2024年1期
关键词:尺规三边段长度

申思 顾晓东

【课前思考】

“三角形的三边关系”是苏教版小学数学教材四年级下册第七单元中的教学内容。“三角形任意两边长度的和大于第三边”是三角形边的重要性质,也是本单元的教学难点。主要引导学生任意选3根小棒进行围三角形的操作实验,探索发现三角形的三边关系。《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“新课标”)对本课教学给出了新思路,主要体现为两点:一是利用尺规作图方法探索三角形任意两边之和大于第三边,二是从已知的基本数学事实出发说明三角形的三边关系。尺规作图是直观几何向欧几里得几何过渡的重要桥梁,利用尺规作图选作三角形,能让学生充分经历在严谨的几何操作实践中逐步感悟、发现数学命题的过程。进而再从已知的“两点之间线段最短”这一基本事实出发,通过演绎推理说明数学命题的正确性,从而培养学生初步的推理意识。在“新课标”理念的指导下,我们在课前先安排四年级学生认识圆、使用圆规,指导学生掌握尺规画三角形的技能,进而对现行苏教版小学数学教材中“三角形的三边关系”一课进行新的教学尝试。

【教学过程】

一、创设情境,激活旧知,引出问题

1.情境激旧知,引出事实

师(呈现去体育中心打羽毛球的情境图,如图1):从体育中心大门口到羽毛球馆有两条路,走哪条路最近呢?请用学过的数学知识解释一下其中的道理。

生:走下面那条路最近,因为两点之间线段最短。

2.抽象识关系,导入问题

师:图1中除了能看到点和线,还能看出什么?

生:图1中还有三角形。

生:AC+BC>AB。

师:同学们用数学的眼光发现了一个三角形及其三条边之间的一种关系。那么,三角形三条边之间究竟有什么关系呢?今天这节课我们就来研究这个问题。

【设计意图】教师从现实生活出发,提出“选择路径”这一现实问题,并启发学生利用生活原型抽象出几何元素“点”“线”“形”,进而自然引出“关系”。这样的设计能让学生感受数学来源于生活,学会用数学的眼光观察世界,搭建数学与现实世界的桥梁,从而更容易找到新知识的支撑点,既激发了学生的学习兴趣,也为后续探究活动的展开做好铺垫。

二、尺规作图,分层探索,感悟规律

1.初探,完成尺规作图

任务一:3条同样长的线段,能围成三角形吗?

学生从4条不同长度的线段中任选一条,用直尺和圓规画一画,再与同学交流作图方法。

师(课件动画演示):为什么这样找交点?

生:第一条弧表示弧上任意一点到左端点的距离是4 cm,第二条弧表示弧上任意一点到右端点的距离是4 cm。这个交点到左端点的距离是4 cm,到右端点的距离也是4 cm,所以它是三角形的第三个顶点。

师:如果选择其他长度的线段,也能像这样画出三角形吗?从中你们得出了什么结论?

生:3条同样长的线段,都能围成三角形。

2.再探,完成尺规作图

任务二:3条不同长度的线段,能否围成三角形。

教师要求学生从图2中的4条线段中任选3条,用直尺和圆规画一画,再与同学交流自己的发现。

学生4人小组按序号每人研究一种选法,然后尝试尺规作图,能围成的,画出三角形,并标上数据;不能围成的,画出作图痕迹,也标上数据。

教师组织学生展示作品(如图3)并解释:为什么有的能围成三角形,有的不能围成呢?

生:图3-②,3 cm和4 cm这两条线段太短了,两条弧没有交点,3+4<8,说明3条线段不能首尾相接围成三角形。

生:图3-③,3 cm和5 cm的线段也短了一点,两条弧的交点刚好在8 cm的线段上,3+5=8。把上面两条线段连接起来,刚好与8 cm的线段重合,也不能围成三角形。

生:图3-①,3 cm和4 cm加起来超过5 cm了,两条弧有交点,3+4>5,所以能围成三角形。图3-④和图3-①一样的情况。

【设计意图】数学操作活动可以帮助学生直观地理解数学,感悟数学本质。尺规作图作为学习三角形三边关系的有效抓手,解决了以前课堂中摆小棒引起的误差问题,使活动更加严谨。任务一中的尺规作图画的是等边三角形,旨在复习已学尺规作三角形的方法和原理,并明确3条等长线段能围成三角形;任务二是自由选择3条不同长度的线段利用尺规作三角形,从不同结果中直观感悟、体会“为什么有的能围成三角形,有的不能围成三角形”,并且借助数形结合,帮助学生更清晰直观地发现三角形3条边之间存在的特殊关系。

三、由形到数,多轮观察,逐步归纳

1.由“一般”入手,观察、发现结论

师:观察图形,能围成三角形的3条线段有什么共同特点?

生:能围成三角形的3条线段,两条较短线段长度的和大于最长线段。

师:再来看看不能围成的两种情况呢,可以怎么说?

生:不能围成三角形的3条线段,两条较短线段的长度和小于或等于最长线段。

2.回到“特殊”,检验、拓展结论

师:回头看任务一研究的结果,这里没有较短线段和最长线段,它符合我们刚才得到的结论吗?

生:符合。任意两条线段长度的和都大于第三条线段。

师:你这里的“任意”是什么意思?能具体说说吗?

生:分别把每条线段看成最长的线段,都可以得到4+4>4。

师:你能用一句话说说这3条线段之间有什么关系吗?

生:任意两条线段长度的和都大于第三条线段。

3.再回“一般”,验证、归纳三边关系

师:回过头来看任务二中围成的两个三角形,它们符合“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”这个结论吗?

生:符合,3+5>4,4+5>3。

师:通过刚才的一种关系,你们很快地得到了另外两种关系。这两种关系怎么看出来的?

生:可以通过计算得到。

生:5 cm是最长的线段,最长的线段加其中一条较短线段,一定大于另一条较短线段。

师:另一个也是同样的情况。看来“两条较短线段长度的和大于最长的线段”实际上就是“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”。

师:再来看任务二中不能围成的情况,你们也能完整地说一说3条线段之间的关系吗?

生:3+4<8,8+4>3。

生:3+8>5,5+8>3。

师:这里也有两条线段长度的和大于第三条线段,为什么不能围成三角形呢?

生:不是任意两条线段长度的和大于第三条线段,就不能围成三角形。

师:这些线段围成三角形以后,它们就变成了三角形的边,由此我们可以得出,三角形任意两边长度的和大于第三边。

【设计意图】从直观经验到抽象概括,是提高学生数学核心素养的必由之路。基于前两次探究活动,学生对3条线段能否围成三角形有了初步的感悟,这为学生后续抽象概括三角形三边关系奠定了感性基础。如何处理“两条较短线段长度的和大于最长的线段”与“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”之间的关系,是本节课的关键。教师从形入手,对数进行分析、对比,多次追问、制造认知冲突,用等边三角形化解“任意”这一难点,引导学生在“一般—特殊—一般”之间走个来回,经历“思考—交流—验证—归纳”的思维过程,让探究活动富有层次性和挑战性,促进了深度学习的发生,发展了几何直观和抽象概括能力。

四、动态验证,事实演绎,说理推导

1.几何画板动態演示,估算验证发现

师:对于任何一个三角形,3条边之间都有这样的关系吗?

(教师出示几何画板,任意拉动顶点)

师:不管变成哪种三角形,3条边之间的关系会不会改变呢?

生:不会。

(学生举例,估算验证)

师:三角形是千变万化的,但是三角形的三边关系是不变的。

2.回归数学基本事实,演绎推导结论

师:我们回到课堂刚开始时的这幅图(如图1),根据AB两点之间线段最短,我们已经发现了三角形的3条边之间的一种关系。如果换两个点观察,还能发现什么呢?

生:观察A、C两点,AB+BC>AC。

生:观察B、C两点,AB+AC>BC。

师:把这3个关系合并成一句话,就是我们今天学习的“三角形任意两边长度的和都大于第三边”。

【设计意图】教学中,为了体现数学的严谨性,教师基于“新课标”要求,尝试让学生开展简单的演绎推理,推导出结论。教师结合课始教学情境,让学生再次从数学事实出发,进行推理分析,学生经历演绎说理过程,能感悟推理结果与上面的研究结果“殊途同归”。这样的设计不仅可以聚焦数学规律的本质,让学生经历数学化的过程,体会数学知识的内在联系,发展推理意识,也凸显了数学与生活的联系,让学生感受到数学源于生活又高于生活。

五、优化习题,变式拓展,延伸认知

1.初步应用,判断说理

师(出示图4):哪组线段可以围成一个三角形?说说判断理由。

生:只有第三组可以围成三角形,2+5>6。另外两组最短的两条边的长度和小于或者等于第三边。

(教师引导学生想象尺规作图结果,再以课件出示作图结果)

师:我们来看2cm、2cm、5cm这个情况,如果改变其中一条线段的长度,你们能使它们围成一个三角形吗?如果要围成一个等腰三角形呢?

生:把5 cm变成1 cm或3 cm。

生:把一条2 cm的线段变成5 cm,就能围成等腰三角形。

2.变式应用,明确范围

教师课件出示习题(如图5),学生逐一判断说理。教师追问:第三条边除了可能是6 cm,还可以是多少?

生:可以是5 cm、7 cm、8 cm……也可以是小数。

(教师课件动画演示第三条边的各种可能,得到范围:4<x<20,如图6所示)

3.拓展延伸,体会价值

师:在一个三角形中,一条边的长度为12 cm,其余两条边的长度和是14 cm。这两条边的长度分别可以是(    )cm和(     )cm?

生:可能是7 cm和7 cm、6 cm和8 cm,也能取小数。

师(动画演示整数和小数的各种情况):这些答案中有没有隐藏的规律呢?把三角形的第三个顶点连起来会得到什么图形?

生:椭圆。

师(课件播放木工画椭圆的视频,如图7):智慧的木工师傅就是运用这样的知识画出椭圆的。

【设计意图】巩固应用环节中设计了“判断”“变式”“拓展”三个层次的应用,由浅入深、由易到难,不仅考查了学生对“任意”两字的理解,更考查了学生用数学知识解决实际问题的能力,既融入了本课知识,又结合了椭圆的实际应用情况,让学生充分感受数学知识的应用价值,激发学生学习数学的兴趣。

【课后反思】

一、尺规操作体验感悟,发展几何直观

数学操作活动具有直观性和操作性,能帮助学生积累数学活动经验,是发展数学思维能力的重要载体。本节课一共经历了两次操作活动:第一次是借助尺规画一个等边三角形,借机复习已经学过的尺规作图的方法和原理,便于在后面的探究活动中进行迁移。第二次是用尺规判断不同长度的线段能不能围成三角形,由此引出全课的核心环节,从特殊到一般,让学生初步感知三角形的3条边之间存在一定的关系,通过观察、猜想、操作、计算、想象、说理等方法分析问题,渗透数形结合、变中有不变等数学思想方法,完整经历数学知识的发现过程,积累数学活动经验。在之后的教学环节中虽然不再进行动手操作,但是在推理论证、练习提升中,要么时刻结合操作结果,要么想象或动态演示尺规作图结果,始终关注学生的操作体验。学生经历了完整的几何操作过程,能在关联性、整合性、逻辑性的数学学科实践活动中发展几何直观。

二、基于事实演绎说理,培养推理意识

推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。学习是一个内化的过程,教师应善于引导学生在面对新的挑战、新的问题时,能自主地关联已有的知识结构和已有经验,结合多元表征寻找最优方案,并将新旧知识进行联结整合,进而把握数学的本质。本课培养推理意识主要体现在引导学生从生活经验出发,演绎推理说明结论。在学生经历观察、想象、操作、说理、验证、反思的过程,并找出三角形三边关系的一般性结论后,回到课堂导入的教学情境,通过变换不同的观察点,引导学生发现三角形三边关系与“两点之间线段最短”这一基本事实是相通的。这样的学习过程实现了直观操作到抽象推理的思维跨越。

(作者单位:江苏省无锡市育英实验小学 江苏省无锡市滨湖区教育研究发展中心)

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