机械谐振系统实验平台动力学特性及实验方法研究

张永立 张永弟 赵月静 于冬梅

摘 要：

为了改善自动控制原理及相近课程的教学效果，促进一体化课程建设，研制了机械谐振系统实验平台。首先，建立了实验平台的数学模型，详细分析了所提出的机械谐振系统的非线性动力学特性，讨论了实验平台系统的L2稳定性和李雅普诺夫稳定性；其次，介绍了实验平台的软硬件组成及其实际应用方法；最后，用仿真实验和物理实验对机械谐振系统实验平台进行了验证。结果表明：通过机械谐振系统实验平台，能直观地展示二阶系统的时域响应特性与频率响应特性，以及PID、LQR和基于李雅普诺夫函数的抑振控制器的控制特性。所设计的机械谐振系统实验平台能够更好地辅助完成控制工程相关课程的教学任务，并为控制工程科研工作提供技术支持。

关键词：

系统建模；机械谐振系统；系统分析；稳定性；控制器

中图分类号：

TP13

文献标识码：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx01010

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

ZHANG Yongli1，2，ZHANG Yongdi3，ZHAO Yuejing3，YU Dongmei3

（1School of Automation and Electrical Engineering， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China；2Tianjin Key Laboratory of Information Sensing and Intelligent Control， Tianjin 300222， China；3School of Mechanical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：

In order to improve the teaching effect of automatic control principle and other similar courses， and promote the construction of integrated courses， a mechanical resonance system experimental platform was developed. Firstly， the mathematical model of the experimental system was established， the nonlinear dynamic characteristics of the proposed mechanical resonance system were analyzed in detail， and the L2 stability and Lyapunov stability of the experimental system were discussed. Secondly， the software and hardware components of the experimental platform and its practical application methods were introduced. Finally， the mechanical resonance system experimental platform was verified by simulation and physical experiments. The results show that the time domain characteristics， frequency characteristics of the second-order system and the performances of the stabilizing control based on PID， LQR or the Lyapunov function can be intuitively displayed by using the experimental platform. The mechanical resonance system experimental platform can better assist in completing the teaching task of the courses related to control engineering， and can provide technical support for the scientific research activities of the control engineering.

Keywords：

system modeling; mechanical resonance system; system analysis; stability; controller

機械谐振系统是控制理论教学与研究中的一个广为熟知的实例[1-4]，它属于刚体动力学系统，其运动遵循牛顿定律。典型的机械谐振系统有机械平移系统和机械旋转系统[5-6]。机械工程、车辆工程、建筑工程，乃至航空航天工程中的许多对象都可以简化为机械谐振系统，并对其进行相关控制算法研究[7-10]。利用机械谐振系统基本原理的工业应用包括：用于物料混合的振动器、摇床等；汽车的悬挂系统[11]、桥梁的减振设计、双自旋航天器、高层钢结构调频液体阻尼器的抗震控制等。

目前，在传统的自动控制原理教学过程中，一般采用MATLAB仿真和电控实验箱进行相关实验。MATLAB是仿真软件，电控实验箱是电子电路的实验装置，虽然可以展现控制基础原理的时域和频率特性，但必须借助示波器等装置才能较好地观察实验现象，实验方法抽象、直观性差，难以满足课程的教学要求[12]。本文研制的机械谐振系统实验平台可以同时进行控制基础理论的数字仿真与实物实验，并直观地展示抽象控制机理，从而实现理实一体化教学。此外，该实验平台也可以作为控制理论研究的实验验证平台。

1 机械谐振系统

1.1 结构特点

如图1所示，机械谐振系统实验平台主要包括：质块、弹簧和阻尼、伺服电机驱动系统、电控及上位机系统，其系统简图与系统3D简图对照关系见图2。

本文主要介绍机械谐振系统實验平台的实验原理，故对其结构仅作简要说明，其他详细内容请参考文献[12]。

如图2所示， k为弹簧弹性系数， m为质块的质量，m0为弹簧及其上端滑块5的质量，c为可调线性阻尼系数（以下简称阻尼系数），c0为偏心盘旋转副上的阻尼系数；托盘1通过导杆2与质块7联结，当弹簧上端固定不动时，可以通过托盘1向质块7施加作用力F-（t）；偏心盘由伺服电机驱动绕轴心旋转，其转动惯量为J，偏心盘与弹簧上端滑块5组成正弦机构4，弹簧上端滑块5由正弦机构4带着上下运动，从而得到位移x（t）=A0sin θ，其中A0为可调偏心距，θ=ωt；质块的位移y（t）可以通过激光传感器测量得到。

1.2 控制系统及其数学模型

忽略系统摩擦、弹簧及弹簧上端滑块的质量，以偏心盘旋转至水平位置、弹簧自然静止状态为零初始状态，选取不同的输入量，可以得到不同的系统模型。

1）F-（t）→y（t） 系统

如图2所示，当弹簧上端固定，可以通过托盘向质块施加作用力F-（t），使得位移y（t）发生变化，此时构成以F-（t）为控制输入，y（t）为输出的二阶系统，其数学模型为

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=F-（t）。（1）

于是，可得系统的传递函数：

GF-y（s）=Y（s）F-（s）=1ms2+cs+k=1kω2ns2+2ζωns+ω2n，[JY]（2）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

2）x（t）→y（t）系统

如图2所示，当弹簧上端位移x（t）作为系统输入，位移y（t）作为输出，其数学模型为

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=kx（t）。（3）

于是，可得系统的传递函数：

Gxy（s）=Y（s）X（s）=kms2+cs+k=ω2ns2+2ζωns+ω2n，（4）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

3）τ→y（t）系统

如图2所示，以伺服电机的输出转矩τ作为系统输入，位移y（t）作为输出，根据刚体力矩平衡方程有

Jθ¨+c0θ·+F（t）A0cos θ=τ，

式中：J为偏心盘的转动惯量；F（t）为滑块与偏心盘沿竖直方向上的作用力。且有

F（t）－kx（t）－y（t）－m0g=m0x¨（t），

即

F（t）=m0x¨（t）+kx（t）－y（t）+m0g，

又

x（t）=A0sin θ，

那么，有

Jθ¨+m0A20cos 2θθ¨+c0θ·－m0A20sin θcos θθ·2+kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θ=τ。[JY]（5）

将x（t）=A0sin θ代入方程（3），得：

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0sin θ=0。（6）

联立方程（5）和方程（6），取广义坐标q（t）=［θ，y（t）］T，得到系统的非线性动力学方程为

M（q（t））q¨（t）+[WTHX]C（q（t），q·（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=U，（7）

式中：

M（q（t））=J+m0A20cos 2θ0

0m；

C（q（t），q·（t））=c0－m0A20sin θcos θθ·00c；

G（q（t））=kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θky（t）－kA0sin θ；

U=τ0。

2 线性系统实验设计

这里仅对教学实验方法进行原理性讨论，不对具体实验步骤和过程进行详细描述。

2.1 经典控制理论教学内容

经典控制理论的内容主要包括：复域分析、时域分析、频域分析。系统的复域分析是从系统动力学模型出发，来研究系统的性能。复域分析主要包括：传递函数建立、结构图的建立与化简、系统稳定性与特征根之间的关系、阻尼系数的变化对特征根的影响、基于劳斯判据的稳定性分析、根轨迹分析实验等。

系统的时域分析主要包括：系统的阶跃响应、脉冲响应、系统性能指标的测定、误差分析、叠加原理、阻尼系数的变化对系统性能的影响等。

系统的频域分析是时域分析的拓展，主要包括：频率特性、奈氏图、波德图、奈氏判据、谐振特性等。

根据式（1）—式（4），可知F-（t）→y（t）系统与x（t）→y（t）系统均为典型的二阶线性定常系统。依托机械谐振系统实验平台，大多数经典控制理论的相关基础教学实验很容易根据熟知理论进行设计实现。

2.2 [HJ4.0mm]F-（t）→y（t）系统的根轨迹分析

根轨迹分析实验需要对系统的数学模型进行等效变换，受机械谐振系统实验平台的结构限制，难以进行180°根轨迹的测绘实验，需要变换为变参数的根轨迹测绘实验来验证根轨迹原理。

由方程（2）得，F-（t）→y（t）系统的特征方程为

ms2+cs+k=0。（8）

仅考虑系统稳定性的等效，特征方程（8）的等效单位反馈系统有2种形式，如图3所示。如图3  a）所示，等效系统1等效开环传递函数为

Ga（s）=kmss+cm。（9）

如图3 b）所示，等效系统2等效开环传递函数为

Gb（s）=csms2+km。（10）

由于系统中弹簧弹性系数k与质块的质量m难以连续调节，故无法根据式（9）绘制连续变化的根轨迹曲线。然而，系统的阻尼系数c是可以连续调节的，因此，可以根据式（10）绘制c从小到大变化的系统根轨迹。理论上，当c从0变化到无穷大时的系统根轨迹曲线如图4所示。

在实际中， 阻尼系数c的调节范围不能实现从0到无穷大的理想情况，只能在一个较小的范围内测试。系统中弹簧弹性系数k与质块的质量m通常是固定的，那么，实验中只要测定每一个连续调节的阻尼系数c，就可以计算得到对应的系统特征根，将特征根的变化曲线绘制出来与理论曲线作趋势对比，并分析二阶系统的振荡特性。经过实际测量，系统的阻尼系数变化可以达到欠阻尼、过阻尼的振荡特性，其根轨迹变化趋势与理想曲线一致。

2.3 x（t）→y（t）系统的频域分析

机械谐振系统实验平台可以通过伺服驱动进行谐波输入，根据式（4）可以得到系统的频率特性，输入量为x（t）=A0sin θ，其中A0为可调偏心距，即输入信号的幅值，θ=ωt。电机的转速范围为0～3 000 rad/min。根据控制理论可得输出为

y（t）=Asinωt+β。（11）

由于输入信号的频率和幅值均可测量，当ω从0逐渐变大时，采集y（t）信号的幅值与相位，对相关理论结果进行实验验证。

2.4 主动抑振控制实验

以x（t）为输入、y（t）为输出的x（t）→y（t）系统，可以实现对质块的主动抑振控制，即当质块受到外界干扰而产生振动时，可以通过输入x（t）对其进行镇定控制，使之快速消振。这种主动抑振控制在实际物理系统中有广泛的应用，汽车悬挂系统的主动消振就是一个典型的應用。

1）基于x（t）→y（t）系统的PID抑振控制实验

图5为PID抑振控制原理框图。PID抑振控制器是基于误差的控制器，PID参数整定可以采用试凑法，或者等幅振荡法等，一般不考虑伺服驱动机构的动力学特性，包括伺服电机的响应周期，以及偏心盘的转动惯量等因素。

由于系统具有非线性，所以PID抑振控制器在平衡点附近的小幅振荡控制效果比较好，如果振荡幅度比较大，会出现控制失败的情况。

2）基于平衡点线性化的LQR抑振控制实验

对式（5）—式（6）在平衡点θ=0、y（t）=0处进行线性化，得

J+m0A20θ¨+c0θ·+kA20θ－kA0y（t）+m0gA0=τ，[JY]（12）

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0θ=0。（13）

取状态变量

z=z1，z2，z3，z4T=θ，y（t），θ·，y·（t）T，

得到系统状态方程为

z·=[WTHX]Az+[WTHX]Bu，（14）

式中：

A=00100001－kA20J+m0A20kA0J+m0A20－c0J+m0A200kA0m－km0－cm；

B=001J+m0A200；u=τ－m0gA0。

利用MATLAB中的lqr（）函数很容易求得最优反馈增益K，从而得到反馈控制量：

u=－K[WTHX]z。（15）

图6为LQR抑振控制原理框图。由于系统存在非线性，因此，LQR抑振控制器与PID控制类似，在平衡点附近的小幅振荡控制效果比较好，如果振荡幅度比较大，会出现控制失败的情况。

3 非线性控制系统分析及其控制器设计

如图2 a）所示，如果将直接施加在弹簧上端的力F（t）、位移x（t），或者直接施加在质块上的力F-（t）作为系统的输入，输出为质块的位移y（t），那么系统是典型的线性系统。但是，如果以伺服电机的输出转矩τ作为系统输入，位移y（t）作为输出，系统在结构上增加了偏心盘输入机构，从模型上来看系统就变成了一个非线性系统。根据式（5）—式（6）可知：以电机输出转矩τ作为系统输入、位移y（t）作为输出的系统为非线性系统，即τ→y（t）系统。在τ→y（t）系统模型中，可以将F-（t）→y（t）系统与x（t）→y（t）系统分别看作机械谐振系统实验平台中的线性环节。F-（t）→y（t）系统与x（t）→y（t）系统的稳定性是熟知的，而τ→y（t）系统的数学模型中有三角函数项，具有明显的非线性特性。

3.1 τ→y（t）系统的无源性

定理1 当c0=0、c=0 时，式（7）所表示的τ→y（t）系统为无源系统，且无损耗；当c0>0、c>0时，τ→y（t）系统为严格输出无源系统。

[CX1]证明[CX] 机械谐振系统是一个弹簧储能系统，系统的动能为

κ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2。（16）

系统的弹性势能（忽略重力势能）为

σ=12kx（t）－y（t）2+m0gx（t）=

12kA0sin θ－y（t）2+m0gA0sin θ。[JY]（17）

系统的存储函数为

E=κ+σ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2+

12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ=

12q·T[WTHX]M（q（t））q·（t）+12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ，[JY]（18）

那么，有

E·=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12q·T[WTHX]M·（q（t））q·（t）+q·T[WTHX]G（q（t））=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=q·TU－[WTHX]Cq（t），q·（t）q·（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）=

τθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（19）

即

τθ·=E·+c0θ·2+cy·（t）2。（20）

因此，当c0=0、c=0 时，τ→y（t）系统为无源系统，且无损耗；当c0>0、c>0 时，τ→y（t）系统为严格输出无源系统。

3.2 τ→y（t）系统的稳定性

定理2 当c0>0、c>0 时，式（7）所表示的τ→y（t）系统为L2稳定，且其L2增益小于等于12c0δ。

[CX1]证明[CX] 当c0>0、c>0 时，由式（20）有

E·=τθ·－c0θ·2－cy·（t）2=

－12c0τ－c0θ·2+12c0τ2－c02θ·2－cy·（t）2，[JY]（21）

那么，有

E·≤12c0τ2－c02θ·2+cy·（t）2，（22）

取δ=minc02，c，有

E·≤12c0τ2－δθ·2+y·（t）2=12c0τ2－δq·（t）Tq·（t），（23）

即

q·（t）Tq·（t）≤12c0δUTU－1δE·。（24）

對方程（24）两边在0，ε范围内积分，得：

∫ε0q·（t）Tq·（t）dt≤12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－1δ∫ε0E·（t）dt，（25）

即

∫ε0q·T（t）q·（t）dt≤

12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－

1δE（ε）－E（0）。[JY]（26）

由于E（ε）≥0，且当a≥0、b≥0时，a2+b2≤a+b，因此有

‖q·ε‖L2≤12c0δ‖Uε‖L2+1δE（0）。[JY]（27）

由式（27）可知，τ→y（t）系统为L2稳定，且其L2增益小于等于12c0δ。

定理3 当c0>0、c>0，且输入τ=0时，式（7）所表示的系统在原点是稳定的。

证明 取式（18）所示的李雅普诺夫函数，当τ=0时，由式（19）得到：

E·=－c0θ·2－cy·（t）2≤0。（28）

因此，由李雅普诺夫稳定性定理可知，当τ=0时，系统在原点稳定。

3.3 τ→y（t）系统的闭环稳定性

构造李雅普诺夫能量函数，有：

V=E+κ2m0gA01+sin θ，κ2>0，（29）

那么

V·=E·+κ2m0gA0（cos θ）θ·=

τ+κ2m0gA0cos θθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（30）

令

τ+κ2m0gA0cos θ=－κ1θ·，κ1>0，（31）

取控制输入

τ=－κ1θ·－κ2m0gA0cos θ，κ1>0 ，κ2>0，（32）

将式（32）代入方程（30），得

V·≤0。（33）

因此，根据李雅普诺夫稳定性判据可知闭环控制系统稳定。

4 仿真与物理实验

机械谐振系统实验平台的结构参数如表1所示。该实验平台采用MATLAB与C++混合编程，交互性强且操作简单。在MATLAB中嵌入一个C++语言的mex函数库即可实现MATLAB与C++的混合编程。该系统采用C++语言按照S函数所拥有的固定程序格式编写，并设计出了S函数模块嵌入到系统后在Simulink下进行建模和仿真。

由于机械谐振系统实验平台的线性系统相关结论是熟知的验证性结果，所以，这里对线性部分的实验原理不作进一步讨论，仅针对τ→y（t）非线性系统基于李雅普诺夫函数的控制算法进行仿真验证，取初值

θ，y（t），θ·，y·（t）T=0，2，0，0T，κ1=0.25，κ2=－1，仿真曲线如图7所示。

图7中仿真结果表明基于李雅普诺夫函数的控制方法可以实现振荡消减，其中图7 a）表明电机转角的收敛位置在-90°，即弹簧上端滑块最终收敛于最低位置，此时系统势能最小。实验中，控制参数κ的选取并不唯一，不同的控制参数，其控制效果也不相同，此例主要说明所提实验平台的适用性，不对控制算法的优劣性进行深入讨论。图8所示为物理实验的系统变量响应曲线，在初始状态θ=0时的静止状态下，施加一个扰动，κ1和κ2的取值一般与仿真中的数值不同，需要重新整定；此外，物理实验响应曲线的幅值较小，是因为在物理实验中质块的初始扰动很小，不会超过±0.025 m。从图8可以看出，实际曲线与仿真曲线趋势是一致的。通过实例可以看出，本文所提出的机械谐振系统实验平台不仅适用于教学，也可以作为控制理论验证的实验平台。

5 结 语

工程实际中，很多物理系统都可以简化或抽象为一个二阶机械谐振系统，此外，国内外经典的自动控制类教材中，机械谐振系统作为二阶系统的典型案例，是经典控制理论讨论的重要内容之一。因此，机械谐振系统的研究在建筑、航空航天、精密仪器、海洋工程等领域都具有重要意义，对提高控制理论相关课程的教学效果具有重大的促进作用。

为了改善机械、自动化等专业中与控制理论相关课程的教学效果，本文基于实际工程中一种典型的二阶系统模型，研制了机械谐振系统实验平台。

本文首先介绍了机械谐振系统实验平台的结构原理，建立了不同输入条件下的数学模型。其次分别介绍了系统特性的时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法，及其实验原理。最后对PID、LQR等振动抑制控制器的设计进行了介绍，通过仿真和物理实验验证了其有效性。

机械谐振系统实验平台是从工程实际中物理系统中抽象出来的一种实验教学、科研设备，其结构简单、原理清楚，具有线性和非线性特征，可操作性和直观性较好，适用于高职、本科等高等院校自动控制原理、机器人、智能控制等相关课程的基础教学实验，是一种良好的教学科研实验载体。

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收稿日期：2023-05-19;修回日期：2023-10-21；责任编辑：王海云

基金项目：天津职业技术师范大学2022年度专业学位研究生课程案例库建设项目（15102/XJYJ2326）；2021年天津市研究生科研创新项目（2021YJSO2B16）；河北科技大学教改项目（2021-YB24）

第一作者简介：

张永立（1971—），男，河北石家庄人，副教授，博士，主要从事自动化专业教学与科研方面的研究。

通信作者：

張永弟副教授。 E-mail： zhydi@yeah.net

张永立，张永弟，赵月静，等.

机械谐振系统实验平台动力学特性及实验方法研究

［J］.河北工业科技，2024，41（1）：77-84.

ZHANG Yongli，ZHANG Yongdi，ZHAO Yuejing，et al.

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

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