“四画”数学——构建“画中有话”课堂

安徽马鞍山市含山县环峰第二小学（238100） 肖安群

小学生的思维以形象为主，数学的深层认识却需要抽象思维，两者之间就存在“层差”，加上基于小学数学多数结论的形成以归纳为主，发展学生的逻辑推理能力是一个大难点。另外，基于数学问题解决及模型运用的需要，学生要用数学信息表达生活内容，但因其综合度高，小学生难以完成，需要给小学生一个适合的元认知策略，以辅助他们完成。这些问题可以通过画数学这一手段来解决：把抽象的数学具象化，在画中厘清结构、洞察关系、感悟本质、提升思维，最终提升学生的数学素养。

一、画异同——明白内在一致性

（一）画出整数、小数和分数运算的一致性

整数、小数和分数的计算算理有着内在统一性，这个内在统一性可以通过画数学的方式统一起来，建立结构化教学方式。

例如，教学42÷2 时，教材是采取“分一分”的方法来呈现思考过程的，即先把4 捆小棒（4 个十）平均分两份，每份2 捆（2 个十），再把2 根小棒（2 个一）平均分两份，每份1 根（1 个一），这是按照“十”与“一”两个计量单位上的量的多少进行平均分。笔者将教材例题改编为32÷2 和35÷2 进行教学：对于32÷2，由于3 个十不能平均分为2 个整十，要“拆整为零”，在对2 个十进行平均分后，把剩下的1 个十拆开，与个位上的2 个一合为12 个一后再平均分，这样把高级单位降为低级单位，可以创造继续平均分的条件（如图1）；对于35÷2，有两次这样的降位过程，第一次是十位余下1 个十到个位，第二次是1 个一余到十分位，这两次降位，可以利用元和角之间的关系，用画图策略厘清算理（如图2）。

图1

图2

对比这3 个算式的教学，抓住计数单位这个根本原理，通过画图，用降位的方式，按计数单位逐位平均分，算理上便形成了一致性，使平均分的轨迹得以显现，计算背后的道理也得以形象化。

（二）画出数与运算的一致性

数与运算是一致的，终极指向都是计数单位上的量的多少。例如，教学9+7 时，可以从两个角度来理解计算过程。首先，“分”与“合”算理的理解，把7分为1和6，其中的1和9合成1个十，再和剩下的6 个一合成16，可以通过圈小棒图来理解“满十进1”的道理。其次，是在计数器上画一画，将这一抽象概括的过程清晰地展示出来：满十进1 后，这个1 在十位，表示1 个十，6 在个位，表示6 个一，合起来是16，这是个两位数，每个数位上的位值不同，计数单位也就不同。

学生通过画能够真正明白：加法计算时要“满十进1”，这是计算的法则，同样也是计数和数数的要求，两者道理是相通的。所以说，数与运算具有一致性。

二、画思路——悟出本质和道理

解决问题的方法背后，往往有着深奥的道理。通过画数学，学生能将模糊的思维画清晰，顿悟相关条件之间的内在联系，能透过表面洞察知识背后的本质。

（一）画出数学方法背后的道理

例如，在教学“搭配问题”中，用2 件不同的上衣和3 条不同的裤子搭配，共有6 种不同的搭配方式，算式是2×3=6，那为什么算式恰好是2×3=6？直接理解这个乘法算式的道理对学生来说很难，但通过画图和连线，能让知识变得形象（如图3）。

（二）画出数学现象背后的本质

在探究除法竖式的秘密中，俞正强老师问学生：“加、减、乘法都是把需要计算的数写成上下两排，再画一道横线，最后把结果写在横线下面，那为什么除法的结果是放在算式的最上面？”俞正强老师解释：其中的关键是除法的竖式能有效展现平均分的过程。为了说清这个道理，俞正强老师正是用画数学的方式来解释。如将6个桃子平均分给3只小猴，每只小猴拿到几个桃子？画出的思路如图4所示：第一行的图示表示被除数6，即原来有6个桃子；第二行的图示表示6个桃子被3只小猴拿走了，每只小猴拿到2个桃子，即2×3=6；第三行的图示表示原有的6 个桃子都被拿走了，剩下0 个桃子，即6-6=0（个）。

图4

很少有人去质疑除法竖式为什么这样写，大都认为这样的格式是天然生成的，但若细问成因，则难究其根。而用画图的策略，则能明白过程、直达本质、答疑解惑。

三、画过程——丰富模型意识

画数学的过程往往会运用到思维模型。学生会调用自己的生活经验和模型策略经验，不自觉地将问题对象模型化。以乘法分配律教学内容为例。

师：通过计算，我们知道了2×（5+3）和2×5+2×3的结果相等，它们的结果为什么相等呢？有什么办法来说明呢？

生1：我是画购买笔和练习本的情况来理解的（如图5）。

图5

图6

图7

师：你们画得非常棒！对于算式2×（5+3）=2×5+3，你认为对吗？又该怎样说明呢？

生4：这个算式是错的，可以用钱数来说明（如图8）。

图8

数学模型是对生活原型的概括和提炼，它是以合适的数学符号和数学语言，精准表达事物的特征、相互关系和存在的规律。数学学习的基本过程之一就是自主建立数学模型，对小学生来说，依据生活经验和模型经验，由具体的情境素材提炼成抽象的数学模型，再经历画的过程，可使原先堵塞的环节被打通，学习思路豁然开朗。

四、画重点——形成高阶思维

日本数学家米山国藏认为，学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学思想和方法等随时发挥作用，使他们终身受益。然而在实际教学中，多数教师都有这样的苦恼：用怎样的方式才能有效促使学生拥有深刻的数学思维呢？研究表明，后天的经历和学习对思维的提升有很大的帮助。针对小学生的年龄特征，画数学可以有效地提升学生的思维层次。

（一）经历画的过程，让探究深一些

教学要求学生画出圆柱（如图9-1）的展开图。

图9-1

生1：这个圆柱的展开图是1个正方形和2个圆。

生2：不对，这个圆柱的展开图是1个长方形和2个圆。

生3：这个圆柱的展开图是1 个长方形和2 个圆，长方形的长等于圆的周长（πd），长方形的宽等于圆柱的高。由于长方形的长比圆的直径的3 倍多一些，所以我画的图示中长方形的长比圆的3 段直径的长度长一些（如图9-2）。

图9-2

生1 只感受到展开图的大致形状，却把握不住展开图与立体图形之间的内在联系；生2 能够修正生1的错误，知道展开图的长不是对应着直径；生3在画图中，能将长方形的长准确对应圆的直径的3倍多一些的关系，思维层级明显上升。这样的作图分析过程，能让学生把抽象的对应关系在具体的图示中显现出来，助力思维的提升。

（二）经历画的过程，让算理浅显易懂

隔位退位减法是教学的一大难点，学生难以理解借1的必要性和借1的方法。以“201-186”为例，笔者和学生共同画图（如图10-1）。结合图示，笔者组织学生进一步讨论：201-186 的竖式中有两个退位点，这两个退位点在图示中的哪里？基于讨论，笔者和学生继续完善图示（如图10-2）。

图10-1

图10-2

通过这个完善过程，将抽象的退位对应关系用流程图表达出来，用形的变化表达数的变化过程，把问题的本质形象地展示出来，使抽象的算理与图的轨迹一一对应，让算理变得浅显易懂。

（三）经历画的过程，让思维转向

数与形的对应，还可以设计为逆向思考形式。例如，教学折线统计图后，让学生将原龟兔赛跑故事以及将故事新编设计成折线图（实线表示乌龟的运动轨迹，虚线表示兔子的运动轨迹）。

生1：我是按原故事来画折线图的，乌龟最终赢得了比赛（如图11-1）。

图11-1

生2：我将故事进行新编，兔子虽然偷懒了，但它乘胜追击，最终两者同时到达终点（如图11-2）。

图11-2

生3：我也将故事进行新编，兔子没有偷懒，迅速到达了终点。当然，乌龟很有毅力，最终也坚持到达了终点（如图11-3）。

从让学生看图说意到画图表意，开放性的教学让学生的思维更广阔、创新点更多、思维层级更高。

（四）经历画的过程，学会推导结论

部分教师在教学3 的倍数的特征时，让学生在百数表中通过猜想和归纳得出结论后，就结束探究活动，迅速进入应用练习环节，原因是这部分教师认为这个特征只能用中学代数知识来证明，小学生推导起来难度太大。

笔者在教学这一课时，运用画图的策略，将每个数位上的算珠3 个3 个地圈起来后，在余下的算珠中找到了“数字和”，用画图支持了“数字和”的判断结论，打破了小学生不能讲清数字和道理的论断。

经历画的过程、看形想数，学生能进一步明确对应关系，找到数量关系的联结点，让条件之间的隐形对应关系显性化，提升思维层级。画数学，如同一台“X 光机”，让看不见的深层理论关系浮出水面，凸显成像。

孔凡哲认为，数学认知结构是有主观能动性的组织，人形成一定的数学认知结构后，一旦出现新的数学信息，就会立即用相应的数学认知结构对所面临的信息进行加工处理，从而表现出数学认知结构的能动性，其中，同化和顺应是学生原有数学认知结构和新的学习内容相互作用的两种基本形式。而画出思维的过程，特别容易实现这种同化和顺应（如图12）。

图12

综上所述，画出数学学习的过程，打开数学思考的大门，就是为思维搭梯子，为方法找钥匙，为拓展开窗户。由图出发，不止于图，图思结合，螺旋上升，走向抽象和逻辑推理，数学学习将会变得无比有趣。