一致性视角下分数除法运算教学的坚守与突围

郝高峰 王永涛 童燕

【摘 要】基于计数单位的一致性视角，当前分数除法运算教学表现出鲜明的阶段性和个性化特征。文章结合对一致性和阶段性关系的讨论，以现行北师大版数学教材“分数除以分数”教学为例，在尊重教材的基础上创新教学实践，理顺多样化算法与通用算法之间的关系，坚守直观辅助教学、通用算法优先等有效经验，适时分阶段引入形式化推理、演绎推理等，构建长程学习路径，实现突围，以期达成一致性与阶段性的有效统一。

【关键词】分数除法；一致性；阶段性；计数单位；坚守与突围

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的颁布，在全国基础教育界掀起了一轮又一轮学习和践行新课标理念的浪潮。具体到小学数学课堂教学，关于一致性，尤其是数与运算一致性的讨论高潮迭起，基于计数单位视角重构数与运算教学已成为大家的共识。然而，在落实新课标理念的过程中，我们发现用计数单位统领除法的教学实践，特别是分数除法的教学则稍显力不从心，新的“不一致”悄然出现。

一、问题与现状

基于计数单位视角理解加法、减法运算的算理顺理成章，即不论是整数、小数，还是分数的加减法都是对相同计数单位的个数进行累加或递减运算。比如异分母分数加减法先通分，就是为了转化成同分母分数，也就是计数单位相同的分数后，再对其个数进行相应运算。在实际教学中，教师只要基于以前的教学经验强化计数单位即可。即便是第二级运算中的乘法，因脱胎于加法运算，其一致性表现为计数单位相乘得到新的计数单位，个数相乘得到新的个数。教学中亦可与原有教学双线并行，相得益彰。比如，分数乘分数时，分子相乘的积做分子，实际算的就是积中计数单位的个数；而分母相乘的积做分母，实则确定的是积的计数单位。于是，加、减、乘法都可统一为两步，即定单位和算个数。实际计算中，也常常表现为先算个数，再定单位。整体来看，加、减、乘法在运算上表现得比较一致。对于除法，整数和小数除法的算理要基于计数单位去解释并开展教学也并非难事，即单位相除确定新的单位，个数相除得到新的个数，或统一单位后个数间进行除法运算。但分数除法因其现行通用算法为“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”，与基于计数单位一致性的算理解释出入较大，表现出极强的个性化特征。再加上分数除法算理的解释呈现出多样化的特点，一方面造成对运算一致性建构的直接干扰；另一方面，也使得教师教学难免顾此失彼，给教学实践中具体方法的选择和取舍带来一定困扰。

二、分析与思考

（一）现行教材对分数除法算理教学的实践

（二）基于演绎推理的除法算理一致性建构

巩子坤等学者从数的概念与运算的本源性、一致性与整体性出发，统整核心概念、基本规

（三）一致性和阶段性关系的讨论

新课标指出，核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。［6］事实上，整体性、一致性和阶段性是事物发展的普遍规律，数学学习当然也不例外。整体性是基础，它决定了数学内部逻辑的一致性。又因为事物是发展变化的，数学学习也就必然会表现出一定的阶段性。这样，一致性和阶段性统一于整体性之下，就构成了事物发展的两个辩证的维度，即共性和个性。而数学的无限发展正是在诸多对立面的辩证运动中得到实现的［7］。因此，数学教学需要关注阶段性和一致性，科学地处理局部知识与整体知识、阶段发展与长远发展的关系。［8］

基于这样的认识，数的概念与运算整体上应该基于计数单位和计数单位的个数进行建构，这体现了其内在逻辑的一致性。由于四则运算之间的衍生关系，第一级运算加、减法集中表现出一致性的一面。而第二级运算中的乘法在保持一致性的前提下已经展露出一定的阶段性。到除法运算，尤其是分数除法，阶段性表现得更为突出，一致性反而有所内敛。这也耦合了事物发展的一般规律。需要特别指出的是，一致性与阶段性之间也是有层级的。在某一阶段内，往往会表现出新的一致性，新的一致性内部又会产生阶段性（如图1）。

（四）新一致性视角下分数除法教学的其他几种可能

方法1：运用商不变规律

生普遍容易理解。

方法2：“经分”法

方法3：分子相除商做分子，分母相除商做分母

方法4：根据运算的意义，借助直观推理

三、实践与建议

由上文分析不难发现，基于计数单位建构数的概念与运算一致性框架，从一致性视角审视数的运算教学有着积极的现实意义，它是促进学生数感、运算能力、符号意识、推理意识、模型意识等诸多数学核心素养形成的关键。由于事物发展变化的普遍规律，一致性和阶段性相伴相生。分数除法运算在保持基于计数单位这一核心概念的基础上，表现出了更多的阶段特性，其算理和算法呈现出多样化的特点。而基于计数单位进行分数除以分数运算时，算理过于抽象，算法操作性不强，与小学生擅长形象化思维的现实不符。因此，在分数除法教學中，教师不能盲目冒进。一方面，教师要坚守已经过实践检验的好的做法；另一方面，教师要全面理解一致性，构建长程学习路径，在合适的时机寻求突围，最终实现二者的和谐共存。

（一）坚守直观助力算理理解不动摇，形式化推理突围

现行教材多采用分物或速度等现实情境，借助面积图、线段图等直观模型助力学生理解分数除法算理，这种方式顺应了小学生的思维特点，经受住了实践的检验，是需要教师坚守的。但教学中发现，这些现实情境对数据的要求比较严苛。因此，教材一般通过选取特殊数据，通过不完全归纳，甚至类比、猜想等方式，规避掉可能与实际不符的一般数据进行说理。这样的处理方式，降低了学习的难度，有助于保护学生学习数学的兴趣。但也因为其缺少比较严密的逻辑证明而显得美中不足。以现行北师大版数学教材为例，教材借助分饼情境（如图3）和长方形的面积模型（如图4），引导学生直观理解一个整数除以单位分数，可以转化为乘这个单位分数的倒数。这种方式符合学生的实际，但以此就得出“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”的结论还是略显仓促。

需要指出的是，有人认为过多的形象化思维训练会阻碍学生抽象思维能力的发展。事实上，抽象思维能力的培养不仅要靠抽象的逻辑推理活动，也要有一定量的具象思维活动的加持。即在抽象中可以培养抽象，在具象中也可以培养抽象。

（二）坚守通用算法教学为主不动摇，多样化算法突围

“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”是当下分数除法运算的一个通用算法，它也适用于小数和整数除法。教学中，教师不能因为它与基于计数单位建构的数与运算一致性表现得不一致而将其置之高阁，转而另起炉灶追求表面的一致性，引导学生使用上文中提到的方法2——“经分”法或操作性不强的“单位相除得到新单位，个数相除得到新个数”的方法。相反，教师一定要坚守通用算法教学为主不动摇，因为这是经受住实践检验的具有普适性的算法，且符合求简的人性。但也不能将分数除法简单地理解为算法的训练和掌握，而应该将其放到解决问题的大背景中，这样的教学才会更加地开放和灵动，也才会成为培养学生核心素养的契机。

（三）坚守短程凸显阶段性不动摇，长程实现一致性突围

因为分数除法运算的特殊性，它可以承载更多的育人价值。如果跳出通用算法教学的羁绊，从一致性视角审视它时，会发现其表现出的阶段内通用算法与基于计数单位所建构的数的运算框架的不一致，恰恰促进了人们对一致性的深度理解，即一致性也是有阶段性的。因此，分数除法教学不应该被禁锢在一节课或一个单元以内，而应该构建一个更加长程的学习路径。短程内凸显它的个性，正视阶段性；长程中揭示它的共性，关注一致性，在坚守中逐步突围。

以现行北师大版数学教材为例，笔者以为，分数除以分数的教学大致可以分为以下几个阶段。（1）通用算法教学阶段。五年级下学期新课教学时，结合具体情境，借助几何直观、不完全归纳、类比推理等初步理解算理算法，适时用商不变规律等做形式化证明，尽可能完善逻辑结构，构建相对完整的逻辑体系。这一过程可持续至整个教材单元的学习，重在学懂通用算法。（2）多样化算法辅助阶段。五年级下学期单元复习（也可提前至练习课）时，选择合适的时机引导学生用上文中的多种方法（不建议过早介入一致性框架中提到的演绎推理）尝试计算。这一阶段可再细分为学生自主生成和教师刻意设计两个层次。这一阶段不以追求方法的“多”为目的，贵在适宜，强调学通方法。其间，教师需及时点明算法间的关联，让学生初步体会不同算法间的一致性。这个阶段可持续至期末复习。（3）灵活应用阶段。主要指在具体的解决问题及计算过程中，学生会熟练运用通用算法，并灵活选择不同的方法进行计算。比如，面对同分母分数相除时只除分子，分子和分母分别有倍数关系时用分子、分母分别相除，化小数方便计算时化小数计算等。学生在应用的过程中反刍算理和算法，体悟其一致性。这一过程贯穿六年级上学期，可一直持续到后续学习中，重在一个“活”字。（4）总结提升阶段。这个阶段建议放至六年级下学期总复习，可适当增加若干课时［9］，帮助学生总结提升，也可以根据情况适当提前。教师可以引导学生尝试基于运算本源，借助运算律及等式性质进行演绎推理，点透分数除法运算基于计数单位的一致性，让学生再次梳理已学的不同算法，初步感受一致性与阶段性的辩证关系（如图6）。

需要强调的是，分数除法基于计数单位的一致性建构需要经历一个循序渐进、循环往复、逐步深化的过程。以上四个阶段各有侧重，但又没有绝对的界限。它们之间可以根据学生的实际情况灵活调整。

四、结语

综上所述，一致性和阶段性是事物发展所表现出来的普遍规律，它不是简单的整体一样，固化标准。其实质就是共性与个性的二元对立统一，即一致性中会展露阶段性，一定阶段内又可能出现新的一致性。整体来看，本质上又具有一致性。而一致性视角下分数除法运算的教学既不是因循守旧地故步自封，也不是全盘否定地推倒重来。它应该以学生核心素养的形成为旨归，以解决问题为抓手，基于学生实际，继承以往教学中注重直观、通用算法先行等可行经验，进一步完善推理逻辑体系，丰富一致性框架的内涵，重视课程内容的连续性、整体性和递进性［10］，帮助学生深刻理解算理，掌握算法，在坚守中逐步实现突围。以上思考或许还不够成熟，也可能过于肤浅甚至有失偏颇。之所以冒昧地提出来，是因为目前关于这个话题的讨论还不够丰富和深刻，一线教师十分迷茫。希望经过讨论，能更好地促进一致性框架在小学数学教学实践中落地，从而有效推动学生核心素养的发展。

参考文献：

［1］赵莉，王春英，史宁中. 分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对教学的启示［J］. 数学教育学报，2021（3）：46-51.

［2］巩子坤，史宁中，张丹. 义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］. 课程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

［3］巩子坤，张希，张丹，等. 基于演绎推理的分数除以整数学习路径研究［J］. 教学月刊小学版（数学），2022（9）：48-53.

［4］張希，张丹，邵汉民，等. 基于演绎推理的一个数除以分数学习路径研究［J］. 教学月刊小学版（数学），2022（11）：58-62.

［5］顾志能. 运算一致性的困境剖析和理性思考［J］. 小学数学教师，2023（4）：42-48.

［6］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［7］郑毓信. 新数学教育哲学［M］. 上海：华东师范大学出版社，2015.

［8］魏光明. 长程设计：关注阶段性和一致性［J］. 江苏教育（小学教学），2014（5）：57-58.

［9］赵莉，吴正宪，史宁中. 小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践：以“数与运算”总复习为例［J］. 课程·教材·教法，2022（8）：122-129.

［10］徐伟. 结构化视域下数学有序课堂构建的实践研究［J］. 中小学课堂教学研究，2023（5）：51-54.