不同类型绝对值不等式问题的解法

郭翠芳

【摘要】不等式在中职数学中一直是不容忽视的存在，可以结合不同知识点采用不同形式考查，如与导数有关的不等式恒成立问题、与函数有关的不等式求解集问题.其中与绝对值有关的不等式求解集问题属于一类基础性问题，是学生应该学习和掌握的题型.根据绝对值不等式解析式的不同形式，本文主要分为三种不同类型进行分析解答，以此帮助学生了解掌握解答绝对值不等式问题的思路，达到解题效率和准确率的提升.

【关键词】高中数学；绝对值不等式；解题技巧

解绝对值不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式.现举例谈谈解绝对值不等式的几种常用方法.

1  fx≤≥a型

形如fx≤≥a的不等式求解集，求解时一般会根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到类似－a≤fx≤a的常规不等式后，运算求解即可得到具体解集.求解这类不等式，具体步骤为：①将不等式绝对值符号去除，得到形如－a≤fx≤a的不等式；②运算求解等价转化的常规不等式，即可求得不等式的解集.

例1  解不等式x－22x－12≤0.1.

剖析  首先将绝对值符号里的不等式化简，其次去掉绝对值符号得到等价转化的常规不等式－110≤－1x≤110，求解该常规不等式得到的具体解集，即对应原不等式的解集.

解  因为

x－22x－12=x－22x－x2x

=－1x，

所以解原式等价于解－1x≤110，

则有－110≤－1x≤110，

解不等式可得x≥10或x≤－10，

故不等式解集为xx≤－10或x≥10.

变式  求不等式3x+2＜4的解集.

解  去掉绝对值符号可得－4＜3x+2＜4，

解不等式得－2＜x＜23，

所以不等式解集为x－2＜x＜23.

2  fx≤≥gx型

当不等式形式与fx≤≥gx类似时，可以通过分类讨论来求解相关解集，在不同范围对应的fx的取值不同，可以将其不等式等价转化为fx＞gx（fx＞0）和fx＜－gx（fx＜0）两个常规不等式后，进而解答得到具体解集.解该类不等式的一般步骤为：①令绝对值解析式为0，得到变量具体值；②根据绝对值内容大于0或小于0的情况，将不等式看作两个常规不等式并解答；③综合所有解集，得到满足题意的不等式解集即可.

例2  求不等式x－1＞2x+3的解集.

剖析  首先对绝对值内解析式进行分析，令x－1=0可知具体分界点，其次将绝对值内x－1分为两种情况得到对应常规不等式，即x－1＞2x+3和1－x＞2x+3，分别求出对应解集，综合分析即可得到满足题意的不等式解集.

解  令x－1=0可得x=1，

①当x＜1时，x－1＜0，

则不等式等价于1－x＞2x+3，

解得x＜－23，

故不等式解集为xx＜－23；

②当x＞1时，x－1＞0，

则不等式等价于x－1＞2x+3，

解得x＜－4与x＞1矛盾，故不等式解集为空集，

综上，不等式解集为xx＜－23.

变式  解不等式x2－2x＞2x－3.

解  令x2－2x=0，

可得x=0或x=2，

①当x≤0或x＞2时，x2－2x＞0，

则不等式等价于x2－2x＞2x－3，

解得x＜1或x＞3，

②当0＜x＜2时，x2－2x＜0，

则不等式等价于2x－x2＞2x－3，

解得－3＜x＜3，

综上不等式的解集为：

xx≤0或x＞3或0＜x＜3.

3  fx≤≥gx型

求解形如fx≤（≥）|g（x）|的绝对值不等式问题，一般有两种求解思路：一种是考虑采取不等式两边同时平方，根据平方后得到的不等式运算求得解集，适用于解析式较为简单的不等式；另一种则是根据解析式画出对应图象，结合图象求解符合题意的解集，适用于平方后不等式复杂不能解答的一些绝对值不等式.根据绝对值不等式的具体结构特点，应采用不同思路求解对应解集.

例3  解不等式x－2＞2x+1.

剖析  采取不等式两边同时平方思路求其解集，两边平方后可去掉绝对值符号得到不等式x－22＞2x+12后，展开化简，求得不等式解集，即对应原绝对值不等式的解集.

解  两边平方可得x－22＞2x+12，

化简可得x2+83x－1＜0，

配方可得x+432＜259，

解得－3＜x＜13，

故不等式解集为x－3＜x＜13.

变式  求不等式x+2＜x2+4x的解集.

解  分别画出fx=x+2和gx=x2+4x的图象，如图1所示，

令x+2=x2+4x，

解得x=±17－32，

令－x－2=x2+4x，

解得x=±17－52，

结合图象可得gx图象要在fx图象上方，

则有x＞17－32，

或x＜－17－52，

图1

或－17－32＜x＜17－52，

故不等式解集为

xx＜－17－52或－17－32＜x

＜17－52或x＞17－32.

4  结语

去掉绝对值符号是求解绝对值不等式解集的关键，不同类型的绝对值不等式去除绝对值符号方式不同.熟悉并掌握每一种绝对值不等式类型，有助于学生对绝对值不等式求解集问题的理解，同时能提高解题的效率，应引起学生的关注和重视.

参考文献：

［1］侯有岐.绝对值不等式中求参数范围问题常见题型分类解析［J］.高中數理化，2023（5）：1-4.