换底公式的应用

魏燕

【摘要】换底公式是对数运算问题中比较常用的一个重要公式，借助同底化处理，方便直接利用对数的基本运算性质，在代数式的化简与求值、证明性、应用性与创新性等问题中都有很大的用处.本文结合实例进行合理剖析，巧妙转化，正确化简，综合应用，引领并指导数学教学与解题研究．

【关键词】对数；换底公式；解题技巧

对数运算中的换底公式logab=logcblogca（a > 0，且a≠1；b > 0；c > 0，且c≠1），是对数中一个非常重要的运算公式，其目的是完成不同底数的对数式之间的变形与转化，然后再运用对数的运算性质等对同底数的对数进行合理变形与运算．在实际应用换底公式时，可正向应用、逆向应用、变形应用或综合应用等，使用的关键是恰当选择底数，进而利用对数的运算性质进行对数式的化简、转化与计算等．

1  代数式化简问题

例1  化简：（log23+log53）·（log35+log95）·lg2．

分析  根据题意，由于要化简的代数式中各对数式的底数不相同，选取同底利用换底公式进行转化，进而结合关系式的变形与对数的运算性质加以应用，进而实现代数式的化简目的．

解析  利用换底公式，可得

log23+log53·log35+log95·lg2

=lg3lg2+lg3lg5·lg5lg3+lg52lg3·lg2=

lg3（lg2+lg5）lg2lg5·3lg52lg3·lg2

=32（lg2+lg5）=32lg10=32，

故填答案：32．

点评  对于不同底对数式的代数式化简问题，底数的统一化是变形与转化的基本策略，借助换底公式是实现代数式化简的基本手段．利用换底公式时，经常利用题中已有的底数，或常用对数、自然对数等的底数来进行同底化处理．

2  关系式求值问题

例2  已知a，b，c为正实数，实数x，y，z满足ax=by=cz，且1x+1y+1z=0，则abc的值为．

分析  根据题意，结合联等式引入参数，通过指数式与对数式的互化，并利用换底公式进行同底化处理，代入对应方程并结合对数的运算性质加以变形与转化，进而得以确定相应代数式的值．

解析  由于a，b，c为正实数，实数x，y，z满足ax=by=cz，

设ax=by=cz= k ＞0，

由指数与对数的互换，并结合换底公式进行化简，

由ax=k，可得x=logak=lgklga；

由by=k，可得y=logbk=lgklgb；

由cz=k，可得z=logck=lgklgc，

而由于1x+1y+1z=0，

则有lgalgk+lgblgk+lgclgk=0，

即lga+lgb+lgclgk=lg（abc）lgk=0，

所以lgabc=0，

解得abc=1，

故填答案：1．

点评  利用换底公式进行同底化的目的就是方便关系式的变形，为进一步的数学运算提供条件，而对数的基本运算性质的应用才是对应运算与求值等的灵魂．借助换底公式的同底化变形与应用，经常为代数式的化简、关系式的求值等指明方向．

3  证明性问题

例3  设实数x，y，z＞0，且满足3x=4y=6z．

（1）求证：1z－1x=12y；

（2）比较3x，4y，6z的大小关系．

分析  （1）根据题意，结合题设中的联等式引入参数，借助指数式与对数式的互化，并利用换底公式进行同底化处理，结合所证的关系式由复杂一边向简单一边变形与转化，得以合理证明；（2）在指数与对数的互换的基础上，结合换底公式，改变不同代数式所对应的对数式的底数（真题相同），结合底数的大小关系，利用对数的性质加以大小关系的比较．

解析  （1）設3x=4y=6z=t，

由于x＞0，y＞0，z＞0，

可得t ＞1，即lgt＞0，

由指数与对数的互换，并结合换底公式进行化简，

可得x=log3t=lgtlg3，

y=log4t=lgtlg4，

z=log6t=lgtlg6，

所以1z－1x=lg6lgt－lg3lgt=lg6－lg3lgt=lg2lgt=12×lg4lgt=12y，

故原等式成立；

（2）由（1）得x=log3t，

y=log4t，

z=log6t，

结合换底公式，

可得3x=log33t，

4y=log2t，

6z=log66t，

而33=1281，2=1264，66=1236，

所以3x＜4y＜6z．

点评  在证明一些涉及对数运算的关系式、不等式等问题中，借助换底公式，可以解决不同对数关系式中的相同底数、相同真数等问题，结合关系的链接与应用，综合对数运算、对数性质等相关的知识来综合与应用．

4  创新性问题

例4  已知函数f（n）=log（n+1）（n+2）（n∈N*），定义使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼数”，若k∈1，2023，则这样的“企盼数”共有个．

分析  根据题意，合理构建函数g（k），结合换底公式对f（k）进行同底化变形，进而利用相消法化简g（k），结合整数的性质以及参数的取值限制，结合指数幂的运算与大小关系的判断来分析与确定对应的“企盼数”即可．

解析  令函数g（k）=f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），

结合换底公式，可知

f（k）=log（k+1）（k+2）=lg（k+2）lg（k+1），

所以g（k）=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×…×lg（k+2）lg（k+1）

=lg（k+2）lg2

=log2（k+2），

要使g（k）为整数，则需k+2=2n，n∈N*，

由于k∈1，2023，

即（k+2）∈3，2025，

即2n∈3，2025，

而22=4，23=8，…，210=1024，

211=2048＞2025，

所以可取n = 2，3，…，10，即这样的“企盼数”共有9个，

故答案填：9．

点评  在解决有一定规律的对数式问题中，合理巧妙利用换底公式对相应的对数关系式进行合理的恒等变形，巧妙转化，是解决此类函数关系式问题的一个常见思维技巧．换底公式的应用，对复杂有规律的对数关系式的化简有奇效，也是解答与本题相类似的问题的一个关键与技巧．

5  结语

对数运算中的换底公式，借助同底对数式的统一变形，实现不同底对数式之间的关系，合理串联起对数的相关概念、基本性质以及运算法则等，在基本运算、基本应用等方面都有很好的用处，实现对数式的化简等化归与转化，进而全面提升数学品质，提高数学能力，培养数学核心素养．