含奇异势和记忆项的四阶抛物方程解的整体存在性与爆破

杜欣蕾,杨晗

(西南交通大学数学学院,四川 成都 611756)

1.引言

本文考虑如下具有奇异势项和记忆项的四阶抛物方程的初边值问题

其中Ω ∈RN(N>2)是一个具有光滑边界的有界域,ν是∂Ω上的单位外法向向量.参数p,q,s满足

g为R+上的非负函数满足以下约束条件

近年来,许多学者致力于对抛物方程初边值问题的研究[1-5].文[1-3]研究了如下具有任意初始能量的四阶抛物方程的初边值问题

当p,q满足以下条件时

文[1]在亚临界和临界初始能量下,由Faedo-Galerkin方法结合修正的势阱法得到了问题(1.4)的整体解u并建立了∥u∥2的衰减估计,用凸方法证明了问题(1.4)的解在有限时刻爆破.在超临界初始能量下,利用微积分不等式分别得到问题(1.4)的解的整体存在性和有限时刻爆破的充分条件.文[2]利用微分不等式研究了问题(1.4)在亚临界初始能量下∥u∥2,∥∆u∥2,∥u∥q+1以及能量泛函的指数衰减.文[3]通过构造辅助泛函得到问题(1.4)在亚临界和临界初始能量下解在有限时刻爆破的阈值结果.

对于含有记忆项的四阶抛物方程,文[4]研究了如下方程的初边值问题

在ρ ≥1,β=γ=1,p>1,f(u)=|u|p-1u且g(t)满足约束条件(1.3)时,讨论问题(1.5)的解的整体存在性及爆破.当初始能量有正上界时,采用Faedo-Galerkin方法得到问题的整体解,利用不等式放缩得到能量泛函指数衰减.当初始能量为负或初始能量非负有上界时,通过构造辅助泛函得到问题(1.5)的解在有限时刻爆破并估计了爆破时间上界.

文[5]研究了如下含奇异势的二阶拟抛物方程的初边值问题

其中0≤s ≤2,2

据作者所知,关于含奇异势且具有记忆项的四阶抛物方程相关问题鲜有研究.因此,本文考虑初边值问题(1.1)在不同初始能量下解的整体存在性及爆破.利用Sobolev嵌入定理结合Hardy-Sobolev不等式克服奇异势项|x|-sut带来的困难.根据Aubin-Lions紧性定理得到非线性项的收敛性,于是,由Faedo-Galerkin方法得到问题(1.1)的整体解,利用微分不等式得到能量泛函的衰减估计.随后,根据凸方法及构造辅助泛函得到问题(1.1)的解在不同条件下的爆破结论.

本文结构安排如下:第二节引入相关符号以及证明文章主要结论所需公式引理;第三节给出问题(1.1)的整体解及能量泛函的衰减估计;第四节证明解的爆破.

2.预备知识

对于上述定义,成立如下引理.

引理2.1若g(t)满足约束条件(1.3),则E′(t)<0.

证对问题(1.1)第一式两边同时关于ut做内积,利用分部积分法并结合g(t)的性质易证.

引理2.2(稳定集引理) 令参数p,q,s满足约束条件(1.2),则当u0∈W且0

证此引理的证明与文[10]引理2.8类似,此处略去.

引理2.3(不稳定集引理) 令参数p,q,s满足约束条件(1.2),则当u0∈V且E(0)<θd(0<θ<1)时,有

(i)对t ∈[0,T],有u(x,t)∈V;

(ii)关于d成立如下估计式

证(i)的证明方法参见文[10]引理5.1.下证(ii).

根据E(u(t))的定义(2.1)可知

为说明本文主要结论,还需借助如下引理.

引理2.5[7-8]假设ψ(t)∈C2[0,T) 是一个非负函数满足ψ′(0)>0,ψ(0)>0以及

其中0

且当t →T-时有ψ(t)→∞.

3.解的整体存在性

本节采用Faedo-Galerkin方法证明问题(1.1)解的整体存在性,利用引理2.6建立能量泛函的衰减估计.在给出主要定理之前,首先介绍弱解的定义.

下面给出本节主要结论.

定理3.1假设参数p,q,s满足约束条件(1.2),函数g(t)满足(1.3),u0∈W,0

此外,若存在正的可微函数ζ(t)使得

则能量泛函E(t)满足如下衰减估计

证首先证明弱解的整体存在性.令{ωi(x)}表示(Ω)空间中的一组标准正交基,于是在(Ω)中构造问题(1.1)的近似解为

其中ξim是一组给定常数.当m →∞时,有

根据Peano定理可知问题(3.5)局部解的存在性.下面进行先验估计.

回顾性质(1.3)显然有

由此易知能量不等式(3.2)成立.将(2.3)代入(3.6),即

由引理2.2,对足够大的m以及0≤t

利用(3.11)可得如下估计

其中dim(Ω)表示Ω的直径.

根据一致性估计(3.8)-(3.12)易知该局部解可延拓为整体解,并且对任意T>0有

于是由(3.13)第二、第五式结合Aubin-Lions紧性定理有

于是χ=|∇u|p-2∇u,ℵ=|u|q-2u.

为说明对任意T>0,上述u是问题(1.1)的一个弱解,令函数ϕ ∈C1([0,T];(Ω))具有如下形式

在(3.18)中令m →∞,由收敛关系(3.13)有

接下来估计能量泛函的衰减速率.

对问题(1.1)第一式两边同乘ζu并在Ω×(T0,T∗)(∀T∗>T0)上进行积分

代入(3.20)整理得

对等式(2.1)两边同乘2ζ并在(T0,T∗)上积分之

将(3.21)代入(3.22)整理得

下面分别对(3.23)右端项进行估计.

回顾(2.8)并利用Young不等式可知

对(3.2)两边关于时间求导可得

根据(2.3),显然成立

将(3.25)-(3.26)代入(3.24)有

利用g(t)的性质并结合(3.3)易证如下估计

由Young不等式结合(3.26),(3.28)可得

将(3.27)-(3.28)及(3.30)-(3.32)代入(3.23)计算得

于是对足够小的σ,存在c>0使得

根据引理2.6,由T∗的任意性易知(3.4)成立.

4.解的爆破

本节研究问题(1.1)的解在E(0)<0及E(0)<θd,I(0)<0时的爆破.为说明主要结论,需引入有限时刻爆破定义.

定义4.1(有限时刻爆破) 令u是问题(1.1)的一个弱解,若存在T<∞使得则称u在有限时刻T爆破.

下面给出本节主要定理.

定理4.1令u是问题(1.1)的一个弱解,参数p,q,s满足约束条件(1.2),函数g(t)满足条件(1.3)且0

其中L(t)见定义式(4.1).

证定义泛函

其中λ1>0,λ2>0.

对(4.2)式求一阶导

由Schwartz不等式和H¨older不等式易知

对(4.2)求二阶导,

定理4.2令u是问题(1.1)的一个弱解,参数p,q,s满足限制条件(1.2),函数g(t)满足约束(1.3)且满足

则当u0∈V,E(0)<θd(0<θ<1)时,u在有限时刻T处爆破,且

其中ι为正常数在证明中给出,κ见定义(4.10)式.

证构造泛函

由L(t)的定义(4.1)式结合Young不等式有

由E(t)的定义(2.1)式可知

将(4.9)代入(4.8),回顾引理2.3

因为N>s,所以有如下关系式成立

其中ι为正常数.于是

对(4.12)两边从0到t进行积分,计算得

则根据(4.13),当t →T-时有L(t)→∞.