核心素养下高中数学“微专题”复习的实践探究

作者简介：徐燕（1979～），女，汉族，浙江杭州人，浙江省杭州市萧山区第三高级中学，研究方向：高中数学教学。

摘  要：文章基于核心素养背景下，针对高三二轮复习，以探究“多元变量最值问题”，给出微专题的实践探究——立足基础，探究本质；类比归纳，寻求创新；链接拓展，提升品质，探究多元变量最值的解题策略。学生掌握消元法、判别式法、三角换元法、基本不等式等常用方法，了解齐次式、几何法（余弦定理、几何意义）、向量法等特殊解法，实现数学学科内知识的融合和应用，培养学生的转化与化归思想，渗透数学运算和逻辑推理核心素养。

关键词：微专题；多元变量最值；核心素养

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1673-8918（2024）08-0076-05

一、 问题的提出

对于高中数学学科而言，核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等能力。这些数学学科核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体。高三复习课的任务是帮助学生整合知识和方法，形成知识体系与方法策略，领悟数学思想。但是在高三二轮复习教学中，对专题复习笔者有以下三点困惑：①专题复习定位高，部分高三教师对高考的命题耳熟能详，力图使自己的教学一步到位，故选题定位过高，这些专题“专”而不“微”，学生望尘莫及，失去学习信心；②高三二轮专题复习时间紧，综合性强，思维前后跨度大，部分教师只顾训练题型，忽略思维关联，不去突破“类”的束缚，对提高解题能力没有多大帮助；③专题复习是再炒一遍“冷饭”，教师经常是讲压轴题，就题讲题，直接灌输解题方法，专题课复习任务繁重，学生也提不起学习的兴趣。如何改善这些现象，更好地发挥数学的内在力，笔者在专题的选择和研究上做了尝试和改进，复习教学中设计“微专题”来研究解题策略，更好地在数学教学中实现数学的思维价值。

二、 微专题概念界定

微专题是针对一个知识点或一类问题进行探究和定点突破的专项研究，也是围绕复习的重点和关键点设计的。通常选择一些角度新、切口小、热点高、针对性强的复习专题，力求解决复习课中的小问题、真问题和实际问题。

基于核心素养的微专题的特点是教学不受教材限制，具有灵活性和时效性。灵活性体现在内容上，其不受当前的章节内容制约，其次是时间上的灵活性，可以在复习的任何阶段出现。时效性是关注学生当前的学情，不生搬硬套复习教材，随时帮助学生整合自己已学过的知识，优化和构建新的知识网络。

基于核心素养的微专题教学对高三的二轮复习更加行之有效，下面笔者以“多元变量最值问题”为例，探究其解题策略。

三、 核心素养下高中数学“微专题”复习的实践探究

（一）立足基础，探究本质

“微专题”不等同于“专题”，专题可以分为大专题、小专题和微专题。要设计一个好的微专题，则应根据整合知识结构和内容，關键是选择好题型或知识点，题不在多，而在于精，即所选的例题和习题不但能把握高考考向，还要能体现数学的核心知识、方法和思想。精选“微专题”的最终目的是帮助学生解决一轮复习中的缺陷。因此，如何选择好的微专题，用微专题去解决什么，期望微专题教学后能达到什么效果，教师在设计微专题的时候都要预设好，在课前要充分挖掘教材，掌握学生的学情，做好题型的整合。

纵观近几年的全国高考卷中，很多题型源于教材，是基础知识的整合、加工和改编，目的是回归学生的最近发展区，巩固原有知识与方法，出题充分体现了以课本为本的原则。高三教师要深度挖掘教材例题、习题，从课本出发，设计微专题，使二轮复习更加行之有效。

【典例1】双变量是近年来求最值问题的命题热点，这类问题形式多样，解法灵活，值得我们去探究。下面我们来看一个例题。已知正实数x，y满足x+y-xy=3，求x+y的最小值为    。

师：已知条件为二元含一次、二次的非齐次式，目标是求二元一次的最值。我们可以采用什么方法求最值？

生异口同声说：可以采用消元，转化为函数求最值。

师：下面我们进行分小组讨论，可以采取哪些方法？看哪个小组方法最多？

生1：消元从函数的角度入手，通过消元或其他手段把原问题变成一元函数的最值问题。

可根据条件“x+y-xy=3”，通过变形化简y=x+3x-1，因为x，y是正实数，x>0（x+3）（y-1）>0，x>1，y>1。

x+y=x-1+4x-1+2≥2（x-1）·4x-1+2=6，当且仅当x=y=3时取等号，x+y最小等于6。

师：很好，通过消元转化成函数求最值，那解决函数最值我们还有其他解法吗？

生2：老师我也要补充，当前面一个同学转化成f（x）=x+y=x+x+3x-1时，我们也可以用导数来求函数的最值f′（x）=（x+y）′=1+-4（x-1）2（x>0），f（x）在（0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，所以f（x）在x=3时取到最小值6。

师：很好，还有其他解法吗？

生3：从配凑基本不等式入手，通过条件“x+y-xy=3”转化成（x-1）（y-1）=4，则令x-1=t，则y-1=4x-1，解得t>0，原式可转化为t+4t+2≥2t·4t+2=6，当且仅当x=y=3时取等号，x+y最小等于6。

生4：老师，我也有补充，利用不等式思想将积转化为和的形式，再解不等式方程。由题可知x+y=xy+3≤x+y22-3，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，于x+y>0，解得x+y≥6，当且仅当“x=y=3”时取等号，故x+y的最小值为6。也可以利用和转化为积，即x+y=xy-3≥2xy，得（xy）2-2xy-3≥0，xy≥3，x+y≥2xy≥6，当且仅当“x=y=3”时取等，故x+y的最小值为6。

生5：老师，可以从方程思想入手，令x+y=t>0，则x=t-y，将其代入题设x+y-xy=3中，并化简得y2-ty+t+3=0，把它看成关于y的一元二次方程，方程有正根，而y+y=t>0，yy=t+3>0，因此只需Δ=t2-4×（t+3）≥0（t>0）即可，解得t≥6，所以x+y的最小值为6。

【设计意图】题中含有两个变量，且约束条件的方程只有一个，无法求解两个变量的值，因此，消元是求解的一个突破口。消元法和换元法都是从这个思想出发的。利用函数思想和导数思想将题目转化为解决函数最值的问题，其中将涉及函数和导数的定义域、单调性等知识点，体现了数学学科的知识迁移与融合，培养了学生转化与化归思想。利用判别式法则体现了方程的思想，利用方程有解求解目标的范围。利用基本不等式法是考查学生的变形能力和配湊能力，充分培养逻辑推理的核心素养。所以需要仔细研究再设计微专题，从学生复习思维发展区出发，挖掘学生在复习阶段的知识内在联系，从而能引起学生知识上的增长，也能激发学生的探究热情，还能提升学生的数学思维，让学生更好地回归出题的本质。

（二）类比归纳，寻求创新

设计“微专题”的最终目的是要达到学生“做一题，通一类”的效果，形成一套基本解题策略。不能单一地停留在就题论题，不分析、不归纳、不总结解题方法。所以还需设计更具挑战性的“微专题”，在教师的引领下，学生能够自主尝试对问题进行探究，建立合适的数学模型，归纳出新的解题方法，将数学知识迁移到新的数学情境中，体会数学思想在一般性的基础上拓展学生的思维能力。因此，在研究本例题以后，笔者进一步引导学生通过类比归纳，提升自我，寻求创新的解题策略。

师：如果将条件改为二元二次齐次式，目标是求解二元一次的最值，我们将如何处理？

【典例2】（2022年·全国·高三专题练习）已知x，y为实数，若4x2+y2=1-xy，则2x+y的最大值是    。

师：此题条件下判别式法和基本不等式法是否仍然适用？消元法与方程换元法是否仍能求解？有没有更好的处理方法？请同学们小组讨论。

生1：利用判别式法可以求解，令2x+y=t，则y=t-2x，将其代入题设4x2+y2=1-xy中，并化简得6x2-3tx+t2-1=0，把它看成关于x的一元二次方程且x为任意的实数，所以由方程有解，Δ=（3t）2-4×6（t2-1）≥0，可得-2105≤2x+y≤2105，故2x+y的最大值为2105。

生2：利用基本不等式先求解xy的范围，从而求解（2x+y）2的范围。

1=4x2+y2+xy≥4xy+xy=5xy，当且仅当2x=y=105时取等号，可得xy≤15，（2x+y）2≤85，即-2105≤2x+y≤2105，∴2x+y≤2105。

生3：还可以利用三角换元，从平方关系“sin2θ+cos2θ=1”出发，观察题设条件4x2+y2=1-xy，配方可得152x2+y+x22=1，设152x=cosθ，y+x2=sinθ，从而x=215cosθ，y=sinθ-cosθ15，则2x+y=315cosθ+sinθ=2105sin（θ+φ），sin（θ+φ）SymbolNC@［-1，1］，2x+y∈-2105，2105，故2x+y的最大值为2105。

生4：可以利用齐次式，观察题设条件为二元二次齐次式，将结论“2x+y”平方后也得到二元二次齐次式，利用1的代换得（2x+y）2=（2x+y）21=4x2+y2+4xy4x2+y2+xy，上下同除y2，（2x+y）2=4xy2+4xy+14xy2+xy+1，换元令xy=t，利用函数分离思想求最值，f（t）=4t2+1+4t4t2+1+t=1+3t4t2+1+t，设当t=0时，f（t）=1；当t≠0时，f（t）=1+34t+1t+1，因为4t+1t∈（-∞，-4］∪［4，+∞），所以f（t）∈［0，1）∪1，85，所以f（t）SymbolNC@0，85，故2x+y的最大值为2105。

生5：从构造余弦定理入手，由4x2+y2=1-xy整理得（2x）2+y2-12=2（2x）y·-14，不妨设x>0，y>0，则令a=2x，b=y，c=1，cosC=-14，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosθ，要求2x+y的最大值即求a+b的最大值为2105。

观察下图，由几何直观易知当a=b时a+b取到最大值，此时a2+b2-c2=-12ab，计算可得a=105，故（2x+y）max=2a=2105。

生6：从向量入手，由题可知152x2+y+x22=1，令a=x2+y，152x，b=1，315，则｜a｜=1，所以2x+y=a·b≤｜a｜·｜b｜=｜b｜=12+3152=2105，故2x+y的最大值为2105。

【设计意图】此例题具有典型意义、一题多解，通过该例题的研究，学生学会从不同角度将问题进行分析、思考，转化为一般问题，从而提升自身的转化与化归能力以及逻辑推理能力，渗透数学逻辑推理的核心素养。方法总结：对形如Ax2+By2+Cxy+D=0（其中A，B，C，D为常数）的形式，求mx+ny的最值（其中m，n为常数），常规的选用判别式法，令mx+ny=t，消元后代入原方程，利用一元二次方程有解求判别式；一般如果可以配方，也可以选择三角换元，换元后求利用三角函数的取值范围最值问题，进而提升学生转化与化归的思想，这两种方法学生较容易掌握，操作简便。另外，当A，B同号时，也可以利用余弦定理进行转化，这也是比较直观的方法，从而可以培养学生数形结合的能力，利用图形较直观地进行求解；如果是特殊情形，可以采用齐次式和向量进行求解，但比较局限。通过这个典型题例，学生能掌握多元最值问题解法的多种形式，在解题中进行策略探索，不断建构自己的知识网络体系，完善自己的数学思维结构和模型，从而提升数学运算和逻辑推理核心素养。

（三）链接拓展，提升品质

数学中的一些新的解题思路和方法是对已有的通性通法的改进和拓展，是为了启发学生多层次、多角度地感受数学问题的异曲同工之妙。一题多解，是为了激发学生的学习兴趣，提升学生良好的思维品质，促进学生的核心素养。微专题的设计要充分考虑学生已有的数学水平，用以满足不同层次的学生的需求，保证每一位学生在复习中达到收益最大化。因此，教师通过“链接拓展，提升品质”的微专题设计来满足学生的分层需求，提升学生的数学思维品质，培养学生的探究新知能力。

师：我们将条件变成三元变量的齐次式，但目标是三元非齐次式，再来求最值。同学们，解决此类问题的核心思想是什么？你会选择用哪种方法？

【典例3】（2021年4月·杭州二模·T15）已知x>0，y>0，z>0，且x2+y2+z2=1，则（z+1）22xyz的最小值为    。

生：解决求三元非齐次分式的最值，基本方法还是消元，利用不等式消元，1-z2=x2+y2≥2xy，所以（z+1）22xyz≥（z+1）2（1-z2）z=z+1（1-z）z。由于已知条件与目标均为三元变量，可以利用基本不等式进行消元，现目标为不齐次的分式函数，可利用换元法或者配凑法将其转化为对勾函数，从而求解函数最值。设m=z+1∈（1，2），则z=m-1，所以z+1（1-z）z=m（2-m）（m-1）=m-m2+3m-2=1-m+2m+3≥1-22+3=3+22，當且仅当“m=2”时取等，故（z+1）22xyz的最小值为3+22。

利用方程思想设z+1（1-z）z=m，则mz2+（1-m）z+1=0，则可以看成是关于z的一个一元二次方程有正实数根z1+z2=m-1m>0z1z2=1m>0Δ=（1-m）2-4m≥0，则解得m≥3+22。

【设计意图】“微专题”注重学生获取处理数学问题的能力，通过三元变量求最值，学生能领悟目标思想的重要性，正确掌握消元的方法，再根据目标挑选适合的解法。掌握多种解题思路有助于锻炼学生的思维，提高学生分析解决问题的能力，学会从多种方向、角度思考问题，灵活解题，不断巩固基本知识与方法，增强运算能力，提升转化与化归的思想，自然突破学习难点，形成数学素养，达到“润物细无声”的效果。

通过以上3个典例的实践探究，笔者总结了解决多元变量最值的方法。

方法一：代数法

①多个变量先消元到两个变量（消元前必须先找到变量间的等量关系或不等关系）。

②两个变量可以用：基本不等式：两个正数和与积的形式。

三角换元：形如（x-a）2+（y-b）2=r2。

判别式：关于变量的二次方程有解Δ≥0。

方程换元：积为定值的双变量方程等（能因式分解）。

整体消元：齐次分式、齐次方程等。

向量：利用相应向量数量积运算、模长。

③若不行，再消元转化为一个变量：研究函数最值：基本函数（图象）、复合函数（换元）、其他函数（导数）。

方法二：几何法（将代数问题转化为几何问题，利用几何直观求最值）。

四、 结论

微专题形式的复习课在中学数学中具有广泛的应用，能细微精准地聚焦考点，高效地针对某一具体知识点开展复习，能促进学生构建数学知识网络，完善知识结构。本研究通过微专题复习的形式，探究多元变量最值问题的解题策略，不仅能够将各个方面的知识内容联系起来，还有助于我们探索数学的本质，发散数学思维，具有深刻的意义。而数学核心素养的培养与提升也不是一蹴而就的，教师需要在日常教学中不断渗透和落实。通过对多元变量最值问题解题策略的探索，学生能不断提高解题能力，借助运算促进数学思维的发展，渗透数学思想方法，提升数学核心素养。微专题不是小问题，也不是几个类似的问题简单组合而成，其是知识的再构建，是一种为学生理解数学本质而构建的复习策略，帮助学生构建良好的认知结构，促进学生深度学习，让学生更能把握数学学习方向，更容易突破重点、难点。通过微专题教学，有利于培养学生的探究能力，有利于培养学生的创新能力，有利于提高学生思维品质。

参考文献：

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