基于HPM视角的高中数学探究性教学

苏佳敏 桂国祥

摘  要：以球的体积公式探究教学为例，根据新课程理念，按照历史发生的顺序恰当地重构教学思路，循序渐进、激发兴趣，使学生经历刘徽、祖暅探索球体积公式的过程，加强对学生方法、态度、探究能力和逻辑思维能力的培养，培育科学精神和创新意识，促使其更好地适应当前高考数学以数学文化为背景、强调思维方法的考查趋势．

关键词：数学史；数学探究；球的体积

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0029-06

引用格式：苏佳敏，桂国祥. 基于HPM视角的高中数学探究性教学：以球的体积公式教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：29-34.

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：“数学文化应融入数学教学活动. 在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中……将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.”球的体积是高中立体几何中的重要内容，而各个版本的教材都将对球的体积公式的起源、探究、推导的内容放在课后阅读材料中. 有的教师不重视对课后阅读材料的研究，照本宣科，将几何公式直接灌输给学生，导致学生缺乏思考，“生硬”地接受结论，思维僵化. 事实上，教材的编排方式给教师提供了很大的发挥空间，教师可以依据新课程理念，恰当重构教学思路，沿着前人研究的思路展开，使学生经历数学知识发生发展的过程，发散思维、直观感受、推理论证，在探究课堂中培养数学核心素养，也在一定程度上感受古人的智慧，从而渗透数学文化，培养学生的科学精神、探究能力和逻辑思维等. 当前，高考數学命题常以数学文化为背景，强调对数学思维方法的考查. 对此，课堂中要注重数学文化与数学探究，从而更好地培养学生的理性思维，加强数学应用.

二、案例呈现

1. 问题提出

在球的体积公式的探究性教学中，许多教师通过讲述祖暅原理引入半球体的参照体来推导球的体积公式，但并未抓住探究课堂的实质，依旧是强行灌输，学生缺乏思考. 祖暅原理是如何来的？又是如何找到这样的参照体的？其他的参照体是否可以？对这些问题未进行过多阐述. M.克莱因曾言：“数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诊释. 换句话说，它并不仅仅是从显明叙述的公理推演出毋庸置疑的结论来.”他十分重视数学史对数学教育的重要价值，他认为历史上数学家曾经遇到的困难是现今的学生也极有可能遇到的，因而数学家解决问题的途径对课堂教学具有重要的指导和借鉴意义. 因此，可以以问题驱动的方式，对球的体积公式按照数学家的探索思路展开研究，以探究式的教学方式循序渐进地激发学生的探索兴趣，从而促使学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围，使学生真正成为课堂的主体.

2. 感悟刘徽创造牟合方盖

《九章算术》中记载的“开立圆术”表示：圆与其外切正方形的面积之比为[S圆∶S正方形=π∶4]，在底面直径与高相等的圆柱中内切一个球，沿着中心轴切开，截面恰好是一个正方形里内切一个圆（如图1），所以该圆柱与其内切球的体积之比为[V球∶V圆柱=π∶4]. 取[π=3]，球的直径为[d]，则[V圆柱=34d3]，所以[V球= 916 d3]. 它的出发点是认为球的体积是其外切圆柱体积的[34]. 刘徽对其注释时发现问题，并巧妙利用“截面法”反驳这一推论，并创造新的几何体——牟合方盖，得到球的体积应该为其外切“牟合方盖”体积的[π4].

[图1]

教师用我国古代数学家刘徽在给《九章算术》写注时发现的错误引入，并提出问题：有没有办法证明这个结论错在哪里呢？

学生思考后提出猜想：对于球及其外切圆柱，沿中心轴切开，截面刚好是一个圆与其外切正方形，如果不沿中心轴切开，则不是一个圆与其外切正方形.  教师用信息技术软件展示，将这个几何体从竖直方向层层切开（如图2），发现除了过中心轴的截面刚好是一个圆与其外切正方形外，其他层都是一个小圆嵌在一个长方形里，它们的面积之比要小于[π∶4]，所以叠加起来，球与圆柱体的体积之比也小于[π∶4]. 刘徽用“截面法”反驳了这一推论，其中蕴含了转化的思想. 在这个探究过程中，学生深刻感受到数学文化的内涵，增强了文化自信. 由学生自主思考刘徽反驳推论的思路，引发学生深度思考“截面法”中蕴含的极限思想.

[图2]

教师继续提问：可以找到球的一个外切几何体，使球与之体积的比值恰好等于[π∶4]吗？

学生思考数学家们遇到的难题，教师在恰当的时机采用信息技术软件展示对一个正方体从上下和左右两个方向做内切圆柱（如图3），它们相交的部分形成了一个新的几何体——牟合方盖（如图4）. 在古代，“牟”是相同的意思，“盖”是雨伞的意思，所以牟合方盖指的就是把两个方形的雨伞合在一起. 我们在牟合方盖里放入一个内切球，同样用“截面法”（如图5）切割，能够发现什么现象呢？

[图3][图4][图5]

学生发现无论是从上到下还是从左到右，每个截面中，圆与正方形的面积的比值都是[π∶4].

教师总结：由于截面中圆与正方形的比值都是[π∶4]，所以球与其外切牟合方盖的体积之比也是[π∶4]. 如果可以求得牟合方盖的体积，就可以得到球体的体积.

由于求解牟合方盖的体积比较复杂，刘徽最终并未解决这个问题. 学生在此环节经历中国古代数学家所遇到的困难，经历知识发生发展的过程，感受创立牟合方盖的创新思维. 将数学史融入课堂，深度学习随之发生，可以使学生体会数学家在认识正确的数学规律时所迸发的创造性思维，以及科学精神与科学态度，加强学生对数学文化的理性认识，从而形成积极的探索态度.

3. 解决牟合方盖体积，提出祖暅原理

教师提问：你有求解牟合方盖体积的思路吗？

学生思维碰撞后，教师引导学生了解中国古代数学家祖暅沿用刘徽的思想，巧妙地取正方体与内切牟合方盖这个几何体的八分之一（如图6），他没有直接求八分之一牟合方蓋的体积，而是研究八分之一的正方体（边长为[r]）与八分之一的牟合方盖的体积之差，并用平行于底面的平面在高[h]处将其截开. 教师提出开放性问题，在培养学生抽象能力的基础上，进一步培养他们的几何直观素养，使学生感受数学家突破难点的过程，引导学生沿着数学家的探索思路揭示球的体积公式中蕴含的数学本质，培养学生的探究能力.

[D][C][B][A][O][r][r][r][h][图6]

思考：图6所示阴影部分的面积为多少？

学生代表回答：[S阴影=r2-AB2=r2-r2-h2=h2].

学生自主思考探索后，教师再讲解祖暅的思路.  祖暅发现底边为[r]、高也为[r]的倒立方锥（如图7）在高[h]处的截面是一个正方形，其面积[S阴影=h2]. 根据“截面原理”他提出：两个同底等高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等. 这就是著名的祖暅原理——“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.

[h][D][C][B][A][r][r][图7]

那么，根据祖暅的思路，可以求解牟合方盖和球的体积了吗？

学生动手计算：因为[r3-18V牟=13r3]，所以[V牟=][r3-13r3×8=163r3].

根据《九章算术注》中的[V球∶V牟合方盖=π∶4]，可以得到球的体积公式[V球=43πr3]. 学生通过计算得出两者的体积，数学运算素养得到了培养. 同时，也让学生体会到了得到一个数学公式背后需要付出的努力，让他们感受数学家们的发散思维，以及对数学的刻苦钻研精神和不断探索的科学品质，增强民族自信与文化自信.

4. 利用祖暅原理再探球的体积公式

前面讲解了刘徽与祖暅的思路，教师引导学生感受数学家的探索历程，从而推导出球的体积公式. 球的体积公式并不是真正由学生自主探索出来的，为避免灌输式教学，设计实验探究环节，学生受数学家们探索思路的启发，举一反三，自主探索发现球体的参照体，找到比牟合方盖更简便的几何模型来解决球的体积问题.

利用祖暅原理，你还可以想到用其他的几何体来求半径为[R]的球的体积吗？要想计算球的体积，需要找一个同底等高，且处于同一高度的截面面积与球恒相等的几何体作为它的参照体. 由于球比较特殊，根据其对称性，取其一半进行思考. 学生学习过简单的旋转几何体，容易想到圆柱和圆锥.

学生所想的几何体当中，哪个可以作为半球的参照体呢？从圆柱和圆锥的顶点和底面出发思考，同一高度的横截面的面积明显不相等.

如图8和图9，教师通过几何画板软件动态演示，引导学生观察同底等高的半球与圆柱、半球与圆锥在同一高度的横截面的面积明显不相等，验证其不满足祖暅原理，说明这两个几何体皆不可以作为半球的参照体.

[图8][R半球 = 5.72厘米  h半球 = 5.72厘米

r半球截面 = 5.33厘米

S半球截面 = 118.97平方厘米][半球][R圆柱 = 5.72厘米  h圆柱 = 5.72厘米

r圆柱截面 = 5.72厘米

S圆柱截面 = 136.81平方厘米][圆柱]

[图9][R半球 = 5.72厘米  h半球 = 5.72厘米

r半球截面 = 5.29厘米

S半球截面 = 117.10平方厘米][半球][R圆锥 = 5.72厘米  h圆锥 = 5.72厘米

r圆锥截面 = 3.55厘米

S圆锥截面 = 52.65平方厘米][圆锥]

教师继续引导学生观察几何画板软件中的这三个几何体，并提问：它们的体积之间存在怎样的大小关系？学生容易发现圆柱的体积比半球的体积大，而圆锥的体积又比半球的体积小. 根据学生对圆柱体和圆锥体的学习基础，采用“先猜后证”的学习模式，联系已经学过的知识，进行知识迁移，更加直观地发现需要组合体才可以达到目的，从而引导学生动手操作，进行装沙实验. 通过动手实践形成知识，发展学生的直观想象素养，提升学生解决实际问题的能力.

教师与学生动手操作，用高与底面半径都为[R]的半球、圆柱、圆锥和若干细沙进一步验证.

学生展示：把圆锥嵌入圆柱中形成组合体，在半球容器内装满细沙，然后将其倒入组合体中，刚好装满，总结得出半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积.

实验存在误差，需要从理论层面推理论证. 教师用几何画板软件直观展示底面半径与高都为[R]的半球与圆柱圆锥的组合体，用平行于底面且高度为[l]的平面去截这两个几何体（如图10）.

[图10][隐藏对象][R]

教师提问：半球与参照体分别被平面截得的阴影部分面积该怎么求？

学生作答：[S半球截面=πr2=πR2-πl2 0≤l≤R]，[S参照体截面=S大圆-S小圆=πR2-πl2 0≤l≤R]，符合祖暅原理，所以半球的体积等于同底等高的圆柱的体积减去同底等高的圆锥的体积，所以[V半球=πR3-13πR3=][23πR3]，所以[V球=43πR3].

用几何画板软件直观展示是将信息技术与数学课程深度融合，有助于学生发现半球与参照体在同一高度截面面积的等量关系，运用转化与化归的思想对球的体积进行严格地推理论证，训练学生思维的严谨性，帮助他们更好地掌握知识点.

5. 反思拓展球的体积公式的论证过程

回顾球的体积公式的证明过程，可以发现，当将半球的截面面积公式表示为一个固定的圆减去一个逐渐变化的圆时，可以构造出一个圆柱中挖去一个同底等高的圆锥的组合体. 那么，半球截面面积的表达式是否可以改为一个固定的正方形减去一个逐渐变化的正方形的面积的差呢？类比先前的构造方式，你能想到什么样的组合体？

学生思考后回答：一个底面为正方形的四棱柱中挖去一个同底等高的四棱锥（如图11）. 将圆改为正方形，可以构造出一个棱柱中挖去一个同底等高的棱锥. 令该棱柱底面边长为[πR]，高为[R]，当平行于底的平面在高[l]处将其截开，得到阴影部分的面积为[S截面面积=πR2-πl2=πR2-πl2 0≤l≤R]，则其与半球截面的面积相等，这两个几何体的高也相等，由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=23πR3]，所以[V球=43πR3]. 则该组合体也可以作为半球体的参照体来推导球的体积公式.

[图11]

当截面面积为两个三角形或两个长方形的面积之差时，是否也可以找到相应的参照体来推导球的体积公式呢？

学生课下思考当截面面积改为两个长方形面积之差时（如图12），令长方体底面长为[πR]，宽为[R]，高为[R]，当平行于底面的平面在高[l]处将其截开，得到阴影部分的面积为[S截面面积=πR×R-πl×l=πR2-πl2 0≤l≤R]，

则其与半球截面面积相等，这两个几何体的高也相等. 由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=23πR3]，所以[V球=43πR3].

[圖12]

当截面面积改为两个三角形面积之差时（如图13），令三棱柱底面的直角边长分别为[πR]与[2R]，高为[R]，当平行于底面的平面在高[l]处将其截开，得到阴影部分的面积为[S截面面积=12×2R×πR-12×2l×πl=πR2-πl2][0≤l≤R]，则其与半球截面面积相等，这两个几何体的高也相等. 由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=][23πR3]，所以[V球=43πR3].

[图13] [2l]

将探究活动延续到课后，更好地发展学生的数学思维. 通过课后探究，学生在课堂上所体会到的数学思想与方法得以拓展应用，有利于发散思维，打破思维定式，促进学生实践能力和创新意识的发展.

三、教学反思

1. 数学史融入探究式教学有助于学生完成复杂背景的数学题

笔者于2023年6月在南昌市第一中学进行实践授课，课前、课后分别进行了问卷调查与访谈，并与对照班进行对照实验. 对照班采取教材中不要求推导公式的教学思路，给予相应公式的应用练习；实验班在本节课后除了继续探究其他几何体是否可以作为半球体的参照体外，还完成了几道以“牟合方盖”“祖暅原理”为背景的数学题. 在实验班，课堂上参照数学知识的历史发展进程来预测学生可能的认知困难，有针对性地提出相关教学策略，学生对新知的探究知其来龙去脉，参与探究过程. 根据后测访谈，了解到学生看到复杂的数学史背景题目时，心理负担减轻很多，做题过程更加游刃有余，正确率与效率明显提升，对新知的理解水平有所提升. 可以看出，将数学史融入球的体积公式的教学实践，能够有效提升学生对知识的理解水平，更好地完成新高考下的数学文化类题目.

2. 探究性学习融入数学史可预测学生的认知错误

探究性学习强调让学生主动探究发现，获得新知. 在这个过程中，学生会遇到很多困难，这些困难也恰恰是历史上的数学家们所遇到的. 由此，教师能预测学生可能遇到的困难，通过融入数学史给学生提供思路，帮助学生理解知识的来龙去脉，构建设计理念，确定探究路径，渗透数学精神，培养学生良好的数学学习态度.

本节课依据教材内容进行扩充，重现刘徽发现《九章算术》里的错误，构造牟合方盖推导球的体积公式，之后祖暅计算出牟合方盖的体积提出祖暅原理. 利用祖暅原理，学生探究发现新的几何体作为半球体的参照体，推导出球的体积公式，并拓展创新. 整条学习链完整，内容的引出合理自然，解决了球的体积公式的推导问题，也让学生感叹中国古代数学家的智慧，比死记硬背球的体积公式的教学更加高效. 学生既学到了系统的数学知识，也体会了数学知识发生发展的过程，恰当地培养了学生良好的数学思维习惯，激励他们不断创新.

3. 数学史融入教学要重视揭示数学思想与方法

数学思想与方法是素质教育的重要内容，注重数学思想与方法可以更好地培养学生的创造力、数学思维品质和科学观念等. 在球的体积公式的探索过程中，多次运用了转化思想. 在《九章算术》中，人们将空间问题转化为平面问题，从而推导出公式. 在此基础上，刘徽利用截面法，再次将问题转化为平面，并利用了极限思想来证明牟合方盖的合理性. 虽然刘徽未正式提出极限的概念，但是在魏晋时期数学家们已经开始利用极限思想来解决数学问题，让人非常震惊. 两百多年后的祖暅，在刘徽的基础上提出了祖暅原理，同样利用了极限思想. 学生自主探究，运用转化与化归思想将半球体转化为圆柱和圆锥的组合体，使得这两个几何体在等高处的截面面积恒相等. 历史上，数学家们在解决数学问题时，运用了很多数学思想与方法. 教师应该加以挖掘，让学生在感受数学思想与方法的同时，为古人的智慧而惊叹，佩服他们刻苦钻研、孜孜不倦的精神，在课堂中潜移默化地融入恰当的思政教育，鼓励学生不断创新，在科学的道路上奋勇向前.

4. 探究性学习可以恰当地进行课后延伸

探究性学习充分发挥学生的主体作用，要求学生能够善于发现问题，从数学的角度分析问题，并通过合作探索解决问题，积累经验，培养创新意识与能力. 在本节课的课堂上，教师通过问题驱动带领学生探索. 但是这是不够的，还要利用课堂上学习的数学思想与方法将探索延伸到课后，实现对知识的拓展和应用. 教师和学生在课堂上共同找到符合祖暅原理的半球体的参照体，将这个问题进行延伸，可以让学生课后继续探索，发散思维，思考将截面面积用两个正方形、两个长方形或两个三角形的面积差进行替代，是否也可以找到相应的参照体，并推导出球的体积公式. 如果可以找到参照体并推导球的体积公式，就是学生的创新与发现.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］孙宏安. 数学学科核心素养视角下的数学文化：学习《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》［J］. 中学数学教学参考（上旬），2022（9）：4-6.

［3］汪晓勤，林永伟. 古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值［J］. 自然辩证法研究，2004（6）：73-77.

［4］李宇祎.“牟合方盖”研究［J］. 雁北师范学院学报，2003（5）：107-108，112.

［5］張乐瑛. HPM视角下球体积公式推导的教学设计［J］. 中学数学（高中），2019（7）：7-9.

［6］KLINE M，CARL B. Boyer-in Memoriam［J］. Historia Mathematica，1976（3）：387-394.