关注结构·优化运算·发展素养

摘  要：圆锥曲线是高中数学学习的重要内容之一，是考查学生数学运算素养的重要载体. 基于2023年高考数学新课标Ⅱ卷第21题所蕴含的数学内容结构和数学认知结构探究解决问题的一般思路与方法，构建解决问题的数学方法结构. 优化解题运算过程，发展数学运算素养.

关键词：教学过程；构建结构；数学运算；核心素养

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0054-06

引用格式：刘守文. 关注结构·优化运算·发展素养：2023年高考数学新课标Ⅱ卷第21题解法探究及思考［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：54-59.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，平面解析几何的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法. 平面解析几何的基本特征是以坐标系为研究工具，通过数学运算来研究几何图形的位置关系和数量关系.

本文基于2023年高考解析几何试题中蕴含的数学内容结构和数学认知结构，遵循用坐标法研究几何图形的位置关系和数量关系这一基本思路和方法，从不同视角探究试题的解法，优化数学运算，构建解决解析几何问题的一般数学方法结构，发展学生的数学运算素养.

一、试题呈现

二、试题分析

三、试题推广

四、基于结构化视域的圆锥曲线复习备考建议

《标准》明确指出，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，促进学科核心素养的落实. 喻平教授指出，数学核心素养的成分难以在单个知识点上表现出来，它往往隐藏在知识体系、知识结构之中. 可见，单元教学是发展学生数学核心素养的路径之一，教学内容结构化是实施单元教学的有效策略.

1. 整合单元内容，优化数学内容结构

数学运算是研究平面解析几何的核心素养主线，贯穿于点、直线、圆锥曲线等数学知识学习的全过程，是联系平面解析几何知识内容的纽带. 新授课受新知发展逻辑顺序的约束，而复习内容不同于新授课，可以站在单元整体的高度，优化原有的内容结构，整合单元内容资源，突出数学内容本质，发展学生的数学运算素养. 例如，对该试题数学内容结构的构建，突出了平面解析几何的数学内容本质——利用几何图形建立直观、通过代数运算刻画规律. 平面解析几何首先是几何问题，离不开点、直线、曲线这些几何直观图形；平面解析几何还是代数问题，是通过点的坐标、直线、曲线的方程的联立来解决几何图形的位置和度量问题. 数与形贯穿于整个平面解析几何知识内容之中，几何问题与代数表征构成了平面解析几何不可或缺的内容结构.

2. 立足认知结构，构建数学方法结构

学生通过对问题内容结构的构建，将其内化为数学认知结构，在大脑中检索解决类似问题的一般经验与方法，并通过数学运算完成验证. 该题几种解法的算式结构的变化是在认知结构的调节、监控与指引下实现的，学生在运算过程中不断反思、探索优化运算的路径，步步递进、层层承接. 运算是数学的“童子功”，要重视运算的通性通法. 例如，思路1的直接求解运算，虽然计算过程烦琐，但是思路自然、算理简朴、实用性强，能够揭示数学内容的本质. 无独有偶，联系人教A版新、旧两版教材对平面解析几何“点到直线的距离公式”内容中点到直线的距离公式的推导过程的处理差异，《普通高中课程标准实验教科书·数学》（2004年）给出了用两点间距离公式推导点到直线的距离的探究思路，随后指出“上述方法思路自然，但运算较繁”，转到用“面积法”推导公式. 《普通高中教科书·数学》（2019年）没有回避“运算较繁”这个问题，引导学生参与这个问题的计算过程，重视对学生数学运算能力的培养，再进一步引导学生思考引起运算量大的原因，启发学生尝试优化运算方法. 从单元教学的视角来看，数学运算素养的发展不是一蹴而就的，而是落实在新授课、复习课等各种课型的教学实践中逐步发展的，其发展具有连续性和阶段性. 对于圆锥曲线的复习课，每节课的数学内容不尽相同，但问题本身蕴含的思想方法、问题解决的一般方法却有相似之处. 因此，立足数学认知结构，构建数学方法结构可以帮助学生跳出“知识千面”与“题目百变”的囹圄，站在数学思想方法的高度梳理知识、审视问题，能够更好地透过“问题现象”直达“知识本质”.

3. 整体把握结构，重构数学单元结构

数学内容结构、数学认知结构和数学方法结构不是独立存在的，而是相互关联、相互依存的. 学生将数学内容结构内化为数学认知结构，经过理解、整合，数学认知结构反向充实数学内容结构. 同时，由数学认知结构构建数学方法结构，通过对数学方法的归纳与推广，不断充实数学认知结构和数学内容结构，从而形成内容更丰富、认知更严密、方法层次更高的数学结构. 在这个良性循环重构的过程中获取“四基”、培养“四能”、发展数学核心素养. 其与“四基”、“四能”、数学核心素养的关系如图6所示.

[数学内容结构][数学认知结构][数学方法结构] [内化] [构建] [充实][充实][充实][归纳、推广] [获取“四基”] [培养“四能”] [发展数学核心素养][图6]

数学教科书是以基本单元内容为结构来编排的，单元内容结构是数学内容结构最重要的来源之一. 由于学生对教科书单元编排内容理解的深刻性存在差异，导致数学认知结构有差异，从而影响解决问题的数学方法的选取. 例如，该题思路2的解法4，借助教科书例题和探究内容的启发，挖掘、梳理教科书不同问题内容的相同解法结构. 受知识发生发展的逻辑顺序的制约，教科书无法将“3.1 椭圆”的例3和“3.2 双曲线”的探究内容放在一起探究，此处需要充分调动学生的认知思维，在单元视角下重构单元数学内容结构、单元认知结构和单元方法结构.

五、结语

卜以楼老师从结构化视角将复习课讲解归纳为三个层次：从有到有（对学过的知识进行结构梳理），从有到更有（对学过的知识进行创造性结构梳理），从无到有（让复习课成为新授课）. 笔者的理解是，从有到有体现了对原有数学内容结构进行固化、应用与梳理；从有到更有是对原有数学内容结构加入了认知成分，优化了原有的数学认知结构；从无到有打破了原有的数学结构，重新构建了更高层次的数学方法结构. 构建是基于基层构架逻辑的破与立，是对数学“四基”的原创性整合，是培养数学“四能”的重要手段，是数学核心素養得以发展的载体.

参考文献：

［1］李昌官. 试论数学教学的结构性原则［J］. 课程·教材·教法，2002（5）：35-37.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］喻平. 数学单元结构教学的四种模式［J］. 数学通报，2020，59（5）：1-8，15.

［4］章建跃. 利用几何图形建立直观  通过代数运算刻画规律：解析几何内容分析与教学思考（之一）［J］. 数学通报，2021，60（7）：7-14.