高中数学教科书中的留白分析

孙丹丹 徐亚楠

摘  要：教科书留白为学生提供了自主探究的空间，使得学習内容由封闭走向开放. 以人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》中的留白为载体，探究了教科书中的留白类型. 研究发现，教科书中的留白可以分为方法之白、论证之白、陈述之白、应用之白、发现之白五种类型，每种类型都存在不同的子类，有着不同的教学价值.

关键词：高中数学；教科书；留白

中图分类号：G634     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0009-04

引用格式：孙丹丹，徐亚楠. 高中数学教科书中的留白分析：以人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：9-12.

留白是一种中国艺术创作的常用手法，留空白以给人想象之余地，成就以无胜有的美学意境. 教学中也有留白艺术. 教学留白，指在教学过程中教师不将内容完全讲给学生，而是给学生留下自主思考的空间，让学生补入自己的理解. 在教学过程中，若学习内容设计得太满，教师大量讲授，学生就没有自主思考和自我消化的时间，容易造成被动接受，而适当的留白就是为学生提供思考的空间，给学生以表达和创造的机会，可以调动学生学习的自主性和积极性，同时生成课堂讨论素材.

教科书是教师教学的重要参考资料，深刻影响着教师的教学设计和实施. 教科书如何留白影响了教师在教学中如何留白. 教科书留白指教科书中一些推导过程和结论没有完全呈现出来，或者只问不答. 留白可以增加教科书及教师与学生之间的互动，为学生留出自主探究的空间，使得学习内容由封闭走向开放.

本文将以人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“人教A版教科书”）中的留白为载体探究教科书中的留白类型. 浏览人教A版教科书，发现留白常因问题或任务而起，主要集中在提示框、思考框、探究框三个栏目，思考框和探究框穿插在教科书的正文中，提示框常在正文边侧. 因此，本文聚焦以上三个栏目中的留白，不关注练习、习题、阅读与思考、探究与发现等栏目. 判断留白的依据是教科书给出问题或任务而没有给出解决方法，参考已有研究对留白的分类，本文将归纳教科书中的主要留白类别，分析其特点及潜在价值.

一、方法之白

方法之白指教科书已给出一种问题解决方法，引导学生用另一种或多种方法来解决问题. 例如，“3.1.2 函数的表示法”一节中，例题要求用解析法表示某分段函数，人教A版教科书给出了结合图象判断分段函数解析式的方法，在提示框中给出留白问题：你能用其他方法求出[Mx]的解析式吗？引导学生探索其他求解方法.

方法之白根据留白空间大小的不同可以分为指引类留白和开放类留白. 指引类留白，指教科书给定了问题解决方法的思考角度. 例如，在“5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质”一节中，例题要求比较两对同名三角函数值的大小，人教A版教科书给出了借助正弦函数及余弦函数单调性解题的方法，在提示框中鼓励学生从单位圆的角度比较函数值的大小，提示了另一种问题解决的思考角度. 开放类留白，指教科书鼓励学生用其他方法解决问题，但没有任何提示，学生可以采取任何方法. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一节中，人教A版教科书从向量的角度证明了余弦定理，在提示框中以问题“你能用其他方法证明余弦定理吗？”引导学生思考证明余弦定理的其他方法，但是没有给出方法上的提示.

方法之白引导学生采取不同的方法解决问题，促使学生多角度地思考，有助于拓展学生的思维，锻炼学生思维的灵活性. 不同角度的思考还可以建立不同知识之间的关联，促进学生建构贯通的知识网络.

二、论证之白

论证之白指让学生解释教科书新知或问题解决过程中已经给出的某种说法或做法的缘由. 例如，在“4.1.1 n次方根与分数指数幂”一节中，人教A版教科书讨论了正数和负数的奇次方根及表示、正数的偶次方根及表示. 随后指出负数没有偶次方根，但并没有解释，在提示框中给出留白问题：为什么负数没有偶次方根？又如，在“5.5.2 简单的三角恒等变换”一节中，例9要求学生求解形如y = asin x + bcos x的三角函数式的周期与最值，在第（1）小题中，人教A版教科书直接将[y=sinx+][3cosx]变形为[y=212sinx+32cosx]，而没有给出具体步骤，在提示框中给出留白问题：你能说说这一步变形的理由吗？

论证之白根据论证类型的不同分为论实类留白和论伪类留白. 论实类留白即论证某种正确说法或做法的合理性，这些说法或做法往往是教科书正文知识或问题解决过程的一部分. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一节中，例8求解三角形，由[sinC=22]解得角C有两个值，在提示框中给出留白问题：为什么角C有两个值？让学生论证解题过程中的细节. 论伪类留白即论证某种说法或做法为什么不正确，这些说法或做法基于正文内容提出，往往是学生可能存疑的迷思概念. 例如，在“9.2.4 总体离散程度的估计”一节中，人教A版教科书给出用平均距离刻画离散程度，在提示框中给出留白问题：想一想，为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？总距离与平均距离形成对比，旨在让学生通过论证为什么“总距离”不行而对“用平均距离刻画离散程度”的合理性有更深入的思考.

论证之白常在正文边侧以问题的形式引出，不打断正文的逻辑主线. 论实类留白使学生关注到正文容易被忽视的知识细节；论伪类留白通过反向陈述促进学生思考正文定义或问题解决的合理性. 论证之白可以推动学生对细节的关注，将学生可能存在的疑惑或错误显性化，在说理论证的过程中加深学生对知识的理解，使学生养成严密的思考习惯.

三、陈述之白

陈述之白旨在让学生阐述对某个或某几个主题的理解或认识，不指向问题解决，个性化较强，不同学生可能有不同的表述，常出现在知识学习之后. 例如，在“9.1.1 简单随机抽样”一节中，人教A版教科书给出抽签法和随机数法，在提示框中给出留白问题：比较随机数法与抽签法，它们各有什么优点和缺点？又如，在“6.4.3.1 余弦定理”一节中，人教A版教科书给出了借助向量运算推导余弦定理的过程，在提示框中给出留白问题：从这里的推导过程，你感受到向量运算的力量了吗？

陈述之白往往涉及不同主题之间的关联，根据所陈述主题关系的不同分为横向类留白和纵向类留白. 横向类留白指促进学生思考同一主题内平行子主题的区别与联系等. 例如，在“1.1 集合的概念”一节中，人教A版教科书在介绍完自然语言、列举法、描述法后，在思考框中给出留白问题：举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点. 纵向类留白即让学生阐述前后知识的关联. 例如，在“3.1.1 函数的概念”一节中，人教A版教科书在讲述完函数的概念及例题后，在思考框中给出留白问题：至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号[y=fx]，明确了函数的构成要素. 比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？引导学生联系初中阶段和高中阶段所学的函数的定义，对比前后所学的知识.

陈述之白注重学生对知识的个人理解及体会，常涉及不同知识或同一知识的前后比较，是一种跳出知识细节的审视，有助于促进学生思考知识间的区别与联系，包括横向关联和纵向关联，在比较辨析中明晰不同知识的本质，深化理解. 此外，陈述之白有助于锻炼学生的表达能力，特别是数学语言与自然语言的融合.

四、应用之白

应用之白即引导学生使用刚学习的概念、方法、结论等解决问题，通常在新知学习之后. 例如，在“1.1 集合的概念”一节中，人教A版教科书给出了描述法的概念，在提示框中给出留白问题：你能用这样的方法表示偶数集吗？让学生应用刚学过的描述法表示偶数集. 又如，在“4.1.2 无理数指数幂及其运算性质”一节中，人教A版教科书给出探索[52]的值的过程，在思考框中给出留白问题：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如[23]，说明它也是一个确定的实数吗？要求学生应用已有思路探索[23]的值.

应用之白根据问题解决所用知识类型不同可分为知识应用类留白和结论应用类留白. 知识应用类留白即引导学生应用刚学过的数学知识或方法. 例如，在“1.2 集合间的基本关系”一节中，人教A版教科书讲解完空集的概念后，在提示框中给出留白问题：你能举出几个空集的例子吗？利用空集的概念举例. 结论应用类留白即引导学生将数学结论进一步应用到生活或其他学科中. 例如，在“9.2.3 总体集中趋势的估计”一节中，例4给出借助100户居民用户的月均用水量估计全市居民用户的月均用水量的平均数和中位数的解题过程，在提示框中给出留白问题：假设某个居民小区有2 000户，你能估计该小区的月用水总量吗？引导学生将例题结论进一步应用到实际问题的解决中.

应用之白一般出现在概念、方法、结论后，旨在让学生在刚接触新知后解决简单问题，在应用练习中进一步理解概念、熟悉方法. 相对于课后练习，这些应用难度较小，大多数是已有应用的同类问题或简单变式. 数学结论在生活或其他学科中的应用则是数学结论在非数学情境中的延伸，体现了数学与生活及其他学科的密切关联.

五、发现之白

发现之白即引导学生观察发现一些结构的规律、特点或者引导学生发现其他事实. 例如，在“7.1.2 复数的几何意义”一节中，人教A版教科书在复平面内画出了两个特殊复数对应的点和向量，并计算出了它们的模，在提示框中给出留白问题：点Z1，Z2有怎样的关系？引导学生发现Z1，Z2实部相同、虚部互为相反数的规律，从而引出共轭复数的概念及特点. 又如，在“9.2.4 总体离散程度的估计”一节中，人教A版教科书给出了标准差的定义，但是并没有指明标准差的取值范围，在提示框中给出留白问题：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？促使学生自主发现问题的结果.

发现之白根据补白内容对上下文知识所起的作用不同分为铺垫类留白和延伸类留白. 铺垫类留白即发现的规律或事实被用在进一步的知识讲解或问题解决中，包括引导学生发现问题的特点，以启发问题解决思路. 例如，在“5.5.2 简单的三角恒等变换”一节中，例8要求证明[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β]，

[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2]. 提示框中给出留白问题：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？引导学生观察式子特点以选择适当的公式解决问题. 延伸类留白指引导学生在新知学习或问题解决的基础上发现更多相关的事实结论或一般规律. 例如，在“7.2.2 复数的乘、除运算”一节中，例4计算了两个共轭复数的乘积[2+3i2-3i]的值，在提示框中给出留白问题：若z1，z2是共轭复数，则z1z2是一个怎样的数？启发学生基于具体问题解决发现共轭复数相乘所得结果为实数的一般规律.

发现之白引导学生发现规律、特点及事实结论，新知讲解或问题解决前的发现会成为进一步学习讨论的素材，对问题条件的特点洞察会启发问题解决思路，新知讲解或问题解决后的发现会拓展教科书上与知识点相关的结论或规律，得到一些值得关注的事实.

六、分析比较

大部分留白以问题引出，难度适中，着眼于学生思维的最近发展区，不仅能激发学生的思考，启发学生的思维，还可以引导学生参与到知识的建构中来，给学生带来学习的成就感.

各留白类型的主要信息如表1所示.

留白类型的内涵确定不只考虑了知识和性质，因为知识和性质往往存在重合. 例如，应用方法解释论证、应用新知发现新知、应用新知解释论证等. 因此，留白分类也考虑了所留之白与教科书知识的关系，关注了留白对数学学习的价值，使同一种类别的价值尽可能聚焦. 论证之白重在解释论述已有说法或做法的缘由及合理性，通过论述使已有表述有理有据；应用之白重在过程，通过应用过程熟悉和巩固新知；发现之白重在规律或事实，通过观察分析，发现问题解决思路或值得关注的结论. 例如，“6.2.4 向量的数量积”一节在给出向量的数量积定义及数量积的交换律、分配律后，在思考框中给出留白问题：设[a，b，c]是向量，[a · bc=ab · c]一定成立吗？为什么？该留白需要学生运用数量积的定义发现向量积的结合律不成立，发现不成立的过程其实也是论证其为何不成立的过程. 但是由于论证之白是论述教科书已有说法及做法的缘由或合理性，因而这不属于论证之白，虽然该留白需要学生应用数量积的新知，但其側重点不在过程，而在于让学生发现结论——向量积的结合律不成立，因而归为发现之白.

本文给出了一种教科书留白的分类方式，需要在实践中进一步检验完善. 不同内容模块、不同版本教科书的留白有何特点？教师在实际教学中应该如何应用教科书留白？这些留白对学生的数学学习有什么价值？这些都是值得未来进一步研究的议题.

参考文献：

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