八年级下学期“压轴题”选析

张立界

“压轴题”是试卷中的重中之重，常出现在填空题、选择题及解答题的最后，是整套试卷中让考生拉开差距的题目.本文试从方法和技巧方面找出解“压轴题”的突破口，以帮助同学们轻松应对这类“压轴题”.

不等式篇

<\server2photosSL8S8s3p6.tif><\server2photosSL8S8s3p6.tif>[解题思路点拨]

解不等式和解方程类似，去分母、去括号、移项等步骤和解方程几乎一样.但进行最后一步“系数化为1”时，若两边同时除以一个负数时，不等号要改变方向.如果系数里含有字母，则要对系数分情况进行讨论（大于0、小于0及等于0）.

对于和方程相结合的混合不等式组，我们可先解出方程，再代入不等式，最后解出不等式就行了.如果是给出不等式的解集，求不等式中参数的取值范围，我们可以把不等式化简到“系数化为1”这一步，观察不等号的方向，再对系数进行讨论.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif>[典型例析]

例1 解不等式：x＋2＋＞7＋.

分析：两边消去可解得x＞5．但原不等式中含有分式，故应考虑分母不为0的条件，即x≠6．

解：将原不等式变形为x≠6，

x＋2＞7，解得x≠6，

x＞5．所以原不等式的解集为x＞5且x≠6．

例2 若x满足不等式≤≤，求x能取到的最大整数．

分析：要先把原不等式化成常规不等式组.

解：原不等式可转化为不等式组

≤

， ①

≤

． ②

由①得x≥－，由②得x≤.所以－≤x≤.可见，x能取到的最大整数是0.

例3 解关于x的不等式：－2>．

分析：先去分母，两边同时乘以a2．因a≠0，故a2>0，去分母后不等号不改变方向.再对x的系数进行讨论，可得不等式的解集.

解：显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即（3+2a）x＞（2a+3）（a-1）．分三种情况讨论：

（1）当3＋2a＞0，即a＞－且a≠0时，解集为x>a－1；

（2）当3＋2a＝0，即a＝－时，不等式变为0·x＞0，无解；

（3）当3＋2a＜0，即a＜－时，解集为x＜a－1．

<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]

1． 已知关于x的不等式≤的解集是x≥，那么m的值是.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif><\server2photosSL8S8s3p6.tif>[解题思路点拨]

分解因式时，我们应先提公因式，再用平方差公式或完全平方公式，难以分解时再用拆添项法等.对于比较复杂的多项式，我们可以考虑用换元法.提公因式时，要一次提彻底，这样便于下一步分解.利用完全平方公式时，一定要先写成公式的形式，再用公式，这样不易出错.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif>[典型例析]

例4 分解因式：-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4．

分析：对于含字母的指数，要找到最小的指数，先提公因式，再应用完全平方公式或平方差公式进行分解.注意要分解彻底.

解：原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）=-2xn-1yn［（x2n）2-2x2ny2+（y2）2］

=-2xn-1yn（x2n-y2）2=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

例5 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

分析：把原式完全展开再分解较麻烦．我们可将x2+x看作一个整体．

解：设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10=（y-2）（y+5）

=（x2+x-2）（x2+x+5）=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

注：也可用y代替x2+x+1来进行分解，请同学们试一试.

例6 若x2＋xy＋y＝14，y2＋xy＋x＝28，x＋y的值为多少？

分析：通过解方程，很难分别求出x和y．但我们可整体求出x+y的值：把两个方程相加，通过完全平方公式进一步配方，再分解因式可得结果.

解：把x2＋xy＋y＝14和y2＋xy＋x＝28两边分别相加，得

x2＋y2＋2xy＋x＋y＝42，（x＋y）2＋（x＋y）－42＝0，（x＋y－6）（x＋y＋7）＝0．

所以，x+y=6或x+y=-7.

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2． 把多项式x2-y2-2x-4y-3分解因式之后，正确的结果是（）.

A． （x+y+3）（x-y-1） B． （x+y-1）（x-y+3）

C． （x+y-3）（x-y+1） D． （x+y+1）（x-y-3）

3． 分解因式：（x2－1）（x＋3）（x＋5）＋12.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif><\server2photosSL8S8s3p6.tif>[解题思路点拨]

化简分式最重要的工具是分解因式，只有分解因式后才能找出最简公分母，才能对分式进行约分.常用的化简技巧有拆分法、取倒数法、分步通分法、设参数法等.

使用拆分法时，要明确拆分是为了相互抵消，如果不能做到这一点，就没有必要拆分.使用取倒数法的前提是分子不为0，再者要整体取倒数，多项式各项分别取倒数是不行的.分步通分要起到一种多米诺骨牌的效应，达到逐步化简.设参数法要结合解方程组来使用，注意方程之间的加减消元，想办法求出参数或把参数消去.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif>[典型例析]

例7 化简：＋＋．

分析：三个分式的最简公分母比较复杂，可先将每个分式的分母分解因式．因每个分母的两个因式相差1，故可将每个分式拆分，然后再化简．

解：原式＝＋＋

＝

－

＋

－

＋

－

＝－＝．

例8 当a＝2时，求下式的值：＋＋＋＋＋．

分析：直接通分显然很复杂，可将各分式分步通分，逐步化简．

解：原式＝＋＋＋＋

＝＋＋＋＋

＝＋＋＋

＝＋＋＋

＝…＝．

将a＝2代入，原式＝．

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4． 若a+b+c＝0，化简a

＋

＋b

＋

＋c

＋

+2所得结果是（）．

A． 1B． -1C． 2D． 0

5． 若＝a，＝b，＝c，求＋＋的值.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif><\server2photosSL8S8s3p6.tif>[解题思路点拨]

相似问题可类比全等问题考虑，但其解法要比全等问题解法更灵活.首先要观察哪两个三角形可能相似，然后再根据已知条件，把有用的边想办法向两个三角形中转移.如果不存在相似三角形，我们要作辅助线构造相似三角形.常用的作辅助线方法有连接、延长、作平行线、作高、作角平分线等.

证相似的目的若是为了得到边与边之间的关系，在选边时要选择有用的边，有时需和全等结合，找出相等的边进行替换.

对于相似中的动态问题，我们要学会用静态的方法来考虑，在动中找出不变的量、不变的关系，这样动态问题就会迎刃而解.

<\server2photosSL8S8s3p6.tif>[典型例析]

例9 如图1所示，△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：＝.

分析：证明线段成比例，显然要证两三角形相似．而题中没有明显的相似三角形，故可利用角平分线构造相似三角形.

证明：过B作BE∥AC，且与AD的延长线交于E．如图2．

∵ AD平分∠BAC，∴ ∠1=∠2．

又∵ BE∥AC，∴ ∠2=∠3．

∴ ∠1=∠3， AB=BE．

显然△BDE∽△CDA，故＝．

而BE＝AB，所以＝.

例10 如图3，△ABC中，∠ABC=60°．点P是△ABC内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA．若PA=8，PC=6，求PB的长.

分析：由条件知∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，而PA、PB、PC分别是△ABP和△BCP的边，我们是否能证明这两个三角形相似呢？通过条件∠ABC=60°可得到∠BAP=∠CBP，从而问题出现“转机”.

解：∵ ∠APB=∠BPC=∠CPA，

∴ ∠APB=∠BPC=120°．

∴ ∠BAP+∠ABP=60°．

又∠CBP+∠ABP=60°（已知），所以∠BAP＝∠CBP．

∴ △ABP∽△BCP．

∴ ＝．PB2＝PA·PC＝8×6＝48，PB＝4．

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6． 如图4，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2．在BC上有100个不同的点P1，P2，…，P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P100E100F100G100．设内接矩形的周长分别为l1，l2，…，l100，则l1+l2+…+l100=．

练习题参考答案

1．

2． D（提示：原式＝（x－1）2－（y＋2）2）

3． 原式＝（x＋1）（x＋3）（x－1）（x＋5）＋12＝（x2＋4x＋3）（x2＋4x－5）＋12＝（x2＋4x）2－2（x2＋4x）－15＋12＝（x2＋4x－3）（x2＋4x＋1）．

4． B（提示：原式＝＋＋＋＋＋＋2＝＋＋＋＋＋＋

＋

＋

－1＝

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

－1＝（a＋b＋c）

＋

＋

－1）

5． 1（提示：根据比例的性质，由＝a＝，得＝．同理有＝，＝．三个式子相加）．

6． 400（提示：通过一个内接矩形，探求△ABC边长与内接矩形周长的关系）