不等式(组)整数解的讨论

2008-08-26 11:26李世绪
关键词:因式公因式最大公约数

李世绪

分解因式是分式约分和通分的基础.复习这部分知识时,同学们应注意从以下几点把握.

一、分解因式的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式时要注意以下三点.

1. 分解因式的对象是多项式,即等式左边必须是多项式.

2. 分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式.例如,2x+2y=2x1+

就不是分解因式.

3. 分解因式与整式乘法是互逆过程.

例1 下面从左到右的变形中是分解因式的是().

A. a(a2-b+2)=a3-ab+2aB. a2-a-3=a(a-1)-3

C. a2-4b2=(a-2b)(a+2b)D. a2-4a-7=(a-2)2-11

解析:分解因式的结果应是几个整式的积的形式,由此可排除A、B、D,故应选C.

二、提公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成整式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

1. 公因式的确定

在多项式中,如果每一项都含有相同的因式,就把这个因式称为公因式.多项式各项的公因式的确定应该根据以下两点.

(1) 各项系数为整数时,取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数;(2) 对于字母,取各项都含有的相同字母,字母的指数取其次数最低的.

2. 提公因式的步骤

确定公因式的方法前面已经说过,提取公因式时可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.

在用提公因式法分解因式时,当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号.提出“-”号后,多项式的各项都要变号.如果多项式中的某一项与公因式相同,提公因式后,括号内的这一项变为1.

例2 (2007年·太原)分解因式:a3+a2= .

解析:多项式原来有几项,提公因式后第二个因式就应该有几项.当多项式的某一项正好是该多项式的公因式时,提出后要用1来补项.在这里,a2是多项式a3+a2的公因式,所以a3+a2=a2(a+1).

例3 (2007年·上海)分解因式:2a2-2ab= .

解析:系数的最大公约数为2,对于字母,取各项都含有的字母a,字母的指数取其次数最低的, 所以公因式为2a.所以2a2-2ab=2a(a-b).

三、运用公式法

运用公式法分解因式,是利用某些数学公式将多项式分解因式.主要用到的公式有平方差公式(a2-b2=(a+b)(a-b))和完全平方公式(a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2).

例4 (2007年·福州)分解因式:x2-6x+9= .

解析:经过观察知,这个多项式可以写成完全平方式的形式,所以可以直接用公式法分解因式.所以x2-6x+9=(x-3)2.

例5 (2007年·宁夏)分解因式:4x2-y2= .

解析:由于4可以写成22,所以可以先将4x2变换成(2x)2,然后再利用公式法分解因式.所以4x2-y2=(2x)2-y2=(2x+y)(2x-y).

四、选择合适的方法分解因式

由于多项式的形式多种多样,所以分解因式时要选择恰当的方法.一般可遵循下列步骤进行.

1. 先看各项有无公因式,有公因式的先提取公因式.

2. 再看多项式的项数:(1) 当多项式为两项时,可以考虑用平方差公式分解因式;(2) 当多项式为三项时,可以考虑用完全平方公式分解因式.

3. 要分解到每个因式都不能再分解为止.

例6 (2007年·北京)把代数式ax2-4ax+4a分解因式,正确的是().

A. a(x-2)2 B. a(x+2)2 C. a(x-4)2 D. a(x+2)(x-2)

解析:这个多项式有公因式a,可以先提公因式,再利用完全平方公式分解因式.所以,ax2-4ax+4a=a(x2-4x+4)=a(x-2)2,故选A.

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