帮你梳理“分解因式”

吕朋东

分解因式是分式约分和通分的基础．复习这部分知识时，同学们应注意从以下几点把握．

一、分解因式的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．分解因式时要注意以下三点．

1． 分解因式的对象是多项式，即等式左边必须是多项式．

2． 分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式．例如，2x＋2y＝2x1＋

就不是分解因式．

3． 分解因式与整式乘法是互逆过程．

例1 下面从左到右的变形中是分解因式的是（）．

A． a（a2－b＋2）＝a3－ab＋2aB． a2－a－3＝a（a－1）－3

C． a2－4b2＝（a－2b）（a＋2b）D． a2－4a－7＝（a－2）2－11

解析：分解因式的结果应是几个整式的积的形式，由此可排除A、B、D，故应选C．

二、提公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成整式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．

1． 公因式的确定

在多项式中，如果每一项都含有相同的因式，就把这个因式称为公因式．多项式各项的公因式的确定应该根据以下两点．

（1） 各项系数为整数时，取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；（2） 对于字母，取各项都含有的相同字母，字母的指数取其次数最低的．

2． 提公因式的步骤

确定公因式的方法前面已经说过，提取公因式时可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式．

在用提公因式法分解因式时，当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号．提出“－”号后，多项式的各项都要变号．如果多项式中的某一项与公因式相同，提公因式后，括号内的这一项变为1．

例2 （2007年·太原）分解因式：a3＋a2＝ ．

解析：多项式原来有几项，提公因式后第二个因式就应该有几项．当多项式的某一项正好是该多项式的公因式时，提出后要用1来补项．在这里，a2是多项式a3＋a2的公因式，所以a3＋a2＝a2（a＋1）．

例3 （2007年·上海）分解因式：2a2－2ab＝ ．

解析：系数的最大公约数为2，对于字母，取各项都含有的字母a，字母的指数取其次数最低的， 所以公因式为2a．所以2a2－2ab＝2a（a－b）．

三、运用公式法

运用公式法分解因式，是利用某些数学公式将多项式分解因式．主要用到的公式有平方差公式（a2－b2＝（a＋b）（a－b））和完全平方公式（a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2）．

例4 （2007年·福州）分解因式：x2－6x＋9＝

解析：经过观察知，这个多项式可以写成完全平方式的形式，所以可以直接用公式法分解因式．所以x2－6x＋9＝（x－3）2．

例5 （2007年·宁夏）分解因式：4x2－y2＝ ．

解析：由于4可以写成22，所以可以先将4x2变换成（2x）2，然后再利用公式法分解因式．所以4x2－y2＝（2x）2－y2＝（2x＋y）（2x－y）．

四、选择合适的方法分解因式

由于多项式的形式多种多样，所以分解因式时要选择恰当的方法．一般可遵循下列步骤进行．

1． 先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式．

2． 再看多项式的项数：（1） 当多项式为两项时，可以考虑用平方差公式分解因式；（2） 当多项式为三项时，可以考虑用完全平方公式分解因式．

3． 要分解到每个因式都不能再分解为止．

例6 （2007年·北京）把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，正确的是（）．

A． a（x－2）2 B． a（x＋2）2 C． a（x－4）2 D． a（x＋2）（x－2）

解析：这个多项式有公因式a，可以先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．所以，ax2－4ax＋4a＝a（x2－4x＋4）＝a（x－2）2，故选A．